将n和球放在m个箱子中的几种类型

将n 和球放在m 个箱子中的几种类型
一共有球是否相同，箱子是否相同，是否允许空箱，共8种情况．
1.球同，盒不同，无空箱C n －1m －1
使用插板法：n 个球中间有n －1个间隙，现在要分成m 个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n －1个间隙选出m -1个间隙即可． 例1 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，且不能为空箱，共有多少种不同的放法？
解：挡板法 8个小球排在一排，共有7个空位，只要在7个空位中放置两块挡板，共有C 27=21中不同的放法．
2.球同，盒不同，允许空箱C n+m －1m －1
我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m 个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有个相同的球，要放入m 个不同的箱子，没有空箱．也就是第1种情况
例2 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？
解1：当没有空箱时，由例1可知有21种不同的放法；
当只有一个空箱时，空箱有3种选择，相当于将8个小球放在2个箱子中，共有C 17种不同的放法，共有3×7=21种；
当两个空箱时，相当于8个小球放在1个箱子中，只有唯一的放法，所以有3×1=3；
因此共有21+21+3=45种不同的放法．
解2：假设共有11个小球，其中3个已经放在了箱子中，问题转化为11个小球，放在3个箱子中，不能
有空箱，共有C 210
=45种不同的放法； 解3：将8个小球放在一排，共有9个空位，先在9个空位中插入一个挡板，有9种方法，然后挡板和原
来的小球又形成了10个空挡，在插入一个挡板，有10种放法，由于挡板相同，所以共有9×102
=45种不同的放法．
3.球同，盒同，无空箱
相当于将n 分解成m 个数的和
例3 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？
解：将8个小球分成3堆，有1-1-6，1-2-5，1-3-4，2-2-4，2-3-3五种不同的放法．
例4 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？
解：在上例的基础上，增加了空箱这一情况，增加1-7，2-6，3-5，4-4，0-8这五种情况，所以不同的放法有5+5=10种．
5.球不同，盒相同，无空箱
将n 个不同的球分成m 堆
例5 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，每个盒子至少一个，共有多少种不同的放法？
解：由例3可知，共有5种不同的组合：
当分成1-1-6时，不同的放法有C 68 C 12A 22
=28种； 当分成1-2-5时，不同的放法有C 58·C 23=168种；
当分成1-3-4时，不同的放法有C 48C 34=280种；
当分成2-2-4时，不同的放法有C 28·C 26A 22
=210种； 当分成2-3-3时，不同的放法有C 28·C 36A 22
=280种；
所以不同的放置放法共有28+168+280+210+280=966种．
例6 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？
解：本题在上例的基础上多了空盒这一情况；
当有且只有一个空盒时，即将8个小球分成两堆，共有1+7，2+6，3+5，4+4几种可能，
共有C 18+C 28+C 38+12
C 48=127； 当有两个空盒时，只要一种情况；
因此不同的放法种数为996+127+1=1094. m n
例7 8个不同的小球放在3个不同不同的盒子中，共有多少种不同的放方法？
解：第1个小球有3种放法；第2个小球也有3种放法，
因此8个小球共有38=651种不同的放法．
例8 8个不同的小球放在3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种不同的方法？ 解：本题是在例5的基础上增加“放入盒子”这一步骤，由乘法原理，共有966A 33=5796种．。