2019高考大一轮(全国人教数学文科)课件 第8单元 解析几何 第47讲 双曲线

[解析] C 根据题意可设双曲线的方程为 x2 y2 2－ 2＝1a>0，抛物线的准线为 x＝－4， a a 代入双曲线的方程得 16－y2＝a2①.因为 |AB|＝4 3，所以 y＝± 2 3.代入①得 16－ (± 2 3)2＝a2，解得 a＝2.所以 C 的实轴长 为 2a＝4，故选 C.
[答案] 12 6
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2 ． [2015· 全国卷Ⅱ] 已知双曲线过点 (4 ， 1 3)，且渐近线方程为 y＝± x，则该双曲线 2 的标准方程为________．
[答案] x －y2＝1 4
2
[解析] 根据双曲线的渐近线方程 y＝ 1 x2 ± x ， 可 设 双 曲 线 方 程 为 － y2 ＝ 2 4 λ(λ≠0)，将点(4， 3)的坐标代入得 λ x2 2 ＝1，所以双曲线方程为 －y ＝1. 4
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6．[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程； 2 (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 2 ，求圆 P 的方程．
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解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而 y2＋2＝x2＋3. 故 P 点的轨迹方程为 y2－x2＝1.
P 的半径 r＝
x0－y0＝－1， x0＝0， 3.由 2 2 得 y0－x0＝1 y0＝1，
此时，圆 P 的半径 r＝ 3.故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3.
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■ [2016－2015] 其他省份类似高考真题
x2 y 2 1 ． [2016· 天津卷] 已知双曲线 2－ 2＝ a b 1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条 渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的 方程为( ) x2 2 y2 2 A. 4 －y ＝1 B．x － 4 ＝1 3x2 3y2 3x2 3y2 C. 20 － 5 ＝1 D. 5 － 20 ＝1
RJA
双曲线
第47讲 PART 08
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶 点、离心率、渐近线） ．
教学参考
考情分析
考查方向 考例 考查热度 双曲线的定义、焦点 2015· 全国卷Ⅰ16 双曲线的定义 ★★☆ 三角形 2015· 全国卷Ⅱ15、2013· 新 双曲线的标准方 双曲线的标准方程 ★★☆ 课标全国卷Ⅱ20 程 2015· 全国卷Ⅱ15、2014· 新 课标全国卷Ⅰ4、2013· 新课 双曲线的简单几 渐近线与离心率 ★★★ 标全国卷Ⅰ4、2012· 课标全 何性质 国卷10 直线与双曲线的 求弦长、参数值、最 2015· 全国卷Ⅰ16 ★★☆ 位置关系 值等
考点
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■ [2016－2011]课标全国真题再现
1．[2015· 全国卷Ⅰ] 已知 F 是双曲线 2 y C：x2－ 8 ＝1 的右焦点，P 是 C 的左 支上一点，A(0，6 6) ，当△APF 周 长最小时，该三角形的面积为 ________．
[解析] 由已知得 a＝1，c＝3，则 F(3，0)，|AF|＝15.设 F1 是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，即点 P 是 线段 AF1 与双曲线的交点时， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2 最 1 小，即△APF 周长最小，此时，sin∠OAF＝5，cos∠PAF 23 4 6 ＝1－2sin2∠OAF＝25， 即有 sin∠PAF＝ 25 .由余弦定理得 |PF|2 ＝ |PA|2 ＋ |AF|2 － 2|PA||AF|cos ∠ PAF ，即 (17 － |PA|)2 ＝ 23 1 |PA|2＋152－2|PA|×15×25，解得|PA|＝10，于是 S△APF＝2 1 4 6 |PA|·|AF|·sin∠PAF＝2×10×15× 25 ＝12 6.
|x0－y0|＝1， |x0－y0| 2 2 2 (2)设 P(x0， y0)， 由已知得 ＝ 2 .又 P 点在双曲线 y －x ＝1 上， 从而得 2 2 2 y0－x0＝1. x0－y0＝1， x0＝0， 由 2 2 得 此时，圆 y0－x0＝1 y0＝－1.
[解析] C
5 c 2 ＝ a＝
b2 b 1＋a ，所以a＝
1 1 ， 故所求的双曲线渐近线方程是 y＝± x. 2 2
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5． [2012· 新课标全国卷] 等轴双曲线 C 的中 心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2 ＝16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|＝4 3， 则 C 的实轴长为( A. 2 C．4 B．2 2 D．8 )
[解析] A
b 1 根据题意，得a＝2，2c＝
2 5，又 a2＋b2＝c2，所以 a＝2，b＝ x2 2 1，所以所求双曲线的方程为 4 －y ＝ 1.
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x2 y 2 2 ． [2015· 天津卷] 已知双曲线 2－ 2＝ a b 1(a>0，b>0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲 线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双 曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. － ＝1 B. － ＝1 9 13 13 9 2 x2 2 y C. 3 －y ＝1 D．x2－ 3 ＝1
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x2 3．[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线a2－ y2 ) 3 ＝1(a＞0)的离心率为 2，则 a＝( 6 A．2 B. 2 5 C. D．1 2
[解析] D
c 因为 c2＝a2＋3，所以 e＝a＝
a2＋3 2 2 ＝2，得 a ＝1，所以 a＝1. a
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4．[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线 C： x2 y2 5 － ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的离心率为 a2 b2 2 ，则 C 的渐近线方程为( ) 1 1 A．y＝± x B．y＝± x 4 3 1 C．y＝± x D．y＝± x 2