江苏省沭阳县2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)

2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学
试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.命题：∃x∈R，x2-x+1=0的否定是______．
2.某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件，已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1：
2：3，现要用分层抽样的方法从中抽取60件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为______
3.若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为______．
4.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的500辆汽
车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车有______辆．
5.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是______．
6.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是______．
7.若“∃x∈R，x2+2x+a＜0“为真命题，则实数a的取值范围是______．
8. 已知命题“若a =0，则ab =0”，则在该命题的逆命题、否命题和逆否命题这3个命
题中，真命题的个数为______．
9. 甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获
胜的概率为______．
10. “a =3”是“直线ax +2y +1=0和直线3x +（a -1）y -2=0平行”的______条件．（用
“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）
11. 已知圆x 2+y 2=9与圆x 2+y 2-4x +2y -3=0相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为______．
12. 有一张画有内接正方形的圆形纸片，若随机向圆形纸片内丢一粒小豆子，则豆子落
入正方形内的概率为______．
13. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，-3），B （0，1），直线l ：y =2x -4，设圆C
的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为______． 14. 已知函数f （x ）=(1
2)x −m ，g(x)=x 2．若对∀x 1∈[-1，3]，∃x 2∈[-3，2]，使得f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数m 的取值范围为______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0；
命题q ：函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（-∞，1]上单调递减． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
16. 某校举行“我对祖国知多少”的知识竞赛网上答题，高二年级共有1200名学生参
加了这次竞赛．为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计．其中成绩分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题： （1）求m 的值；
（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人； （3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）．
17. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，分别记为x ，y ．
（1）若记“x +y =5”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）若记“x 2+y 2≤10”为事件B ，求事件B 发生的概率．
18. 某市共有600个农村淘宝服务站，随机抽取6个服务站统计其“双十一”
期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本数据的平均数；
（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站，根据茎叶图推断这600个农村淘宝服务站中有几个优秀服务站？ （3）从随机抽取的6个服务站中再任取2个作网购商品的调查，求至少有1个是优秀服务站的概率．
19. 已知圆M 经过A （0，3），B （4，1），C （1，0）三点．
（1）求圆M 的方程；
（2）已知经过点N （-3，2），且斜率为k 的直线l 与圆M 相交于不同两点P 、Q ， （ⅰ）求斜率k 的取值范围；
（ⅱ）NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
20. 已知圆M 的方程为x 2+（y -2）2=1，直线l 的方程为x -2y =0，点P 在直线l 上，过P
点作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB =60°，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为（2，1），过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当CD =√2时，
求直线CD 的方程；
（3）若E 、F 为圆M 上两点且EF =√3，求PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF
⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】∀x∈R，x2-x+1≠0
【解析】
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x∈R，x2-x+1=0的否定是：∀x∈R，x2-x+1≠0．
故答案为：∀x∈R，x2-x+1≠0．
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．
2.【答案】10
【解析】
解：某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件，
甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3，
现要用分层抽样的方法从中抽取60件进行质量检测，
则甲类产品抽取的件数为：60×=10（件）．
故答案为：10．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查甲类产品抽取的件数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】2
【解析】
解：∵一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，
∴（9+8+x+10+11）=10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2=[（9-10）2+（8-10）2+（12-10）2+（10-10）2+（11-10）2]=2．
故答案为：2．
由已知条件先求出x，再利用方差公式求出该组样本数据的方差．
本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均
数公式和方差计算公式的合理运用．
4.【答案】200
【解析】
解：由频率分布直方图得：
时速在区间[40，60]内的频率为：（0.01+0.03）×10=0.4，
∴在抽测的500辆汽车中，
时速在区间[40，60]内的汽车有：0.4×500=200．
故答案为：200．
由频率分布直方图得时速在区间[40，60]内的频率为0.4，由此能求出在抽测
的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车数量．
本题考查在抽测的500辆汽车中，时速在区间[40，60]内的汽车的数量，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】59
【解析】
解：模拟程序框图的运行的过程，如下；
x=1，y=1，y＜50，Y；
x=2×1+1=3，y=2×3+1=7，y＜50，Y；
x=2×3+7=13，y=2×13+7=33，y＜50，Y；
x=2×13+33=59，y=2×59+33=151，y＜50，N；
输出x=59．
故答案为：59．
根据题意，模拟程序框图的运行的过程，即可得出程序运行后输出的结果．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行的过程，属
于基础题．
6.【答案】10
【解析】
解：根据题中的程序框图，可得：
S=1．I=1
满足条件I≤5，执行循环体，S=2，I=3
满足条件I≤5，执行循环体，S=5，I=5
满足条件I≤5，执行循环体，S=10，I=7
此时，不满足条件I≤5，退出循环，输出S的值为10．
故答案为：10．
由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到本题答案．
本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的S，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
7.【答案】（-∞，1）
【解析】
解：若“∃x∈R，x2+2x+a＜0”为真命题．即是说不等式x2+2x+a＜0有解．
则△=4-4a＞0，解得a＜1，a的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．
若“∃x∈R，x2+2x+a＜0”为真命题．即是说不等式x2+2x+a＜0有解，通过
△=4-4a＞0求解．
本题考查特称命题的真假的应用．考查逻辑思维，转化计算能力．
8.【答案】1
【解析】
解：∵命题“若a=0，则ab=0”，
∴它的逆命题是“若ab=0，则a=0”，它是假命题；
否命题是“若a≠0，则ab≠0”，它是假命题；
逆否命题是“若ab≠0，则a≠0”，它是真命题；
∴这3个命题中，真命题的个数为1．
故答案为：1．
分别写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题，再判断它们的真假即可．
本题考查了四种命题的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题
目．
9.【答案】0.3
【解析】
解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．
且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．
∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，
∴乙获胜的概率P=1-（0.2+0.5）=0.3．
故答案为：0.3
利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．正确理解互斥事件及其概率加法公式及对立事件概率减法公式，是解题的关键．
10.【答案】充分不必要
【解析】
解：当a=3时，直线可化为3x+2y+1=0和3x+2y-2=0，显然平行；
若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y-2=0平行，
则a（a-1）-2×3=0，且3×1-a（-2）≠0，解之可得a=3或a=-2，
故直线平行推不出a=3，
故前者是后者的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
当a=3时可推得直线平行，但直线平行可得a=3或a=-2，不能推得a=3，由充要条件的定义可得答案．
本题考查充要条件的判断，涉及直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
11.【答案】12√5
5
【解析】
解：由题意，两圆的公共弦为2x-y-3=0，
圆x2+y2=9的圆心坐标为（0，0），半径为3，
圆心到直线的距离d=，∴线段AB的长为2=．
故答案为．
求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论．
本题考查圆与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12.【答案】2
π
【解析】
解：设正方形的边长为1，
由已知易得：S正方形=1
S外接圆=
故豆子落入正方形内的概率P=．
故答案为．
本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出豆子落入正方形内对应图形的面积，及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．
本题给出丢豆子的事件，求豆子落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识，属于基础题．
13.【答案】[0，12
]
5
【解析】
【分析】
设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据=0，|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D 上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．本题主要考查
了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．
【解答】
解：因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），
则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．
∵=0，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，
设该方程对应的圆为D，
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．
则|2-1|≤≤|2+1|．
由5a2-12a+8≥0，得a∈R．
由5a2-12a≤0得0≤a≤．
所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．
故答案为[0，]．
14.【答案】[-7，+∞）
【解析】
解：f（x）=（）x-m，∀x1∈[-1，3]，
∴f（x）∈[-m，2-m]，
g（x）=x2，x2∈[-3，2]，
∴g（x）∈[0，9]，
函数f（x）=．若对∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[-3，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，
∴2-m≤9，
∴-7≤m，
实数m的取值范围为：[-7，+∞）．
故答案为：[-7，+∞）．
根据自变量的范围，分别求出函数的值域；f（x）∈[-m，2-m]，g（x）∈[0，9]，由题意可得2-m≤9，进而求出m的范围．
考查了指数函数和二次函数值域的求法和利用值域解决实际问题．
15.【答案】解：（1）∵命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0，
命题p为真命题，
∴△=a2-4≤0，
解得-2≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[-2，2]．
（2）命题q：函数f（x）=x2-2ax+1在区间（-∞，1]上单调递减，
当命题q是真命题时，a≥1．
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p真q假或p假q真，
−2≤a≤2，∴-2≤a＜1．
当p真q假时，{a<1
a<−2或a>2，∴a＞2．
当p假q真时，{a≥1
综上，实数a的取值范围是[-2，1）∪（2，+∞）．
【解析】
（1）由命题p：∀x∈R，x2+ax+1≥0为真命题，得到△=a2-4≤0，由此能求出实数a 的取值范围．
（2）由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，得到p真q假或p假q真，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查一元二次不等式、一元二次函数的性质、复合命题等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.005+0.02+0.04+m+0.005）×10=1，
解得m=0.03．
（2）由频率分布直方图的性质得：
成绩不低于90分的频率为：0.005×10=0.05，
∵成绩不低于90分的学生就能获奖，
∴所有参赛学生中获奖的学生约为1200×0.05=60人．
（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分为：
x=55×0.005×10+65×0.02×10+75×0.04×10+85×0.03×10+95×0.005×10=75．
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质得（0.005+0.02+0.04+m+0.005）×10=1，由此能求出m．
（2）由频率分布直方图的性质得成绩不低于90分的频率为0.05，由此能求出所有参赛学生中获奖的学生人数．
（3）根据频率分布直方图，能估计这次平均分．
本题考查实数值、获奖人数、平均分的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：（1）将骰子抛掷一次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这六种结
果．
先后抛掷2次骰子，第一次骰子向上的点数有6种可能的结果， 对于每一种，第二次又有6种可能出现的结果，
于是基本事件一共有n =6×
6=36（种），…………………（4分） 记“x +y =5”为事件A ，则A 事件发生的基本事件有4个， 所以所求的概率为p （A ）=4
36=1
9．…………………（8分） （2）记“x 2+y 2≤10”为事件B ，则B 事件发生的基本事件有6个， ∴事件B 发生的概率P （B ）=6
36=1
6． …………………（14分） 【解析】
（1）先后抛掷2次骰子，基本事件一共有n=6×
6=36种，记“x+y=5”为事件A ，则A 事件发生的基本事件有4个，由此能求出事件A 的概率p （A ）． （2）记“x 2+y 2≤10”为事件B ，则B 事件发生的基本事件有6个，由此能求出事件B 发生的概率P （B ）．
本题考查概率的求法，考查等古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：（1）样本数据的平均数x =1
6（8+9+15+16+18+24）=15．………………
（4分）
（2）样本中优秀服务站有2个，概率为26=1
3，
由此估计这600个村级服务站中有600×13=200个优秀服务站． ………………（8分） （3）样本中优秀服务站有2个，分别记为a 1，a 2，
非优秀服务站有4个，分别记为b 1，b 2，b 3，b 4，
从随机抽取的6个村级服务站中再任取2个的可能情况有：
（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，b 4）， （a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，b 4）， （b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，b 4）， （b 2，b 3），（b 2，b 3），
（b 3，b 4）共15种，且它们是等可能的．……………………（12分） 记“至少有1个是优秀服务站”为事件A ，则事件A 包含的可能情况有： （a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，b 4）， （a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，b 4）， 共9种情况，……………………（14分）
所以P （A ）=915=3
5，
答：至少有1个是优秀服务站的概率为3
5．……………………（16分） 【解析】
（1）结合茎叶图求出数据的平均数即可； （2）根据概率值，求出优秀服务站的个数即可；
（3）分别列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，作商求出概率即可． 本题考查了求平均数，茎叶图问题，考查概率求值，是一道常规题． 19.【答案】解：（1）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，
则{9+3E +F =0
16+1+4D +E +F =01+D +F =0，解得D =-4，E =-4，F =3． ∴所求圆的方程为x 2+y 2-4x -4y +3=0；
（2）（ⅰ）化圆的方程为（x -2）2+（y -2）2=5，
依题意设直线l 的方程为：y -2=k （x +3），即kx -y +3k +2=0． 由圆心M 到直线l 的距离d =
√k 2+1
=
√k 2+1
＜√5，
即有：k 2＜1
4，解得-1
2＜k ＜1
2．
（ⅱ）NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值20． 证明如下：
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+3，y 1−2)，NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+3，y 2−2)， 联立{kx −y +3k +2=0(x−2)2+(y−2)2=5
，得（1+k 2）x 2+（6k 2-4）x +9k 2-1=0． 则：x 1+x 2=
−(6k 2−4)1+k 2
，x 1x 2=
9k 2−11+k 2
．
∴NP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1+3）（x 2+3）+（y 1-2）（y 2-2） =(x 1+3)(x 2+3)+k 2(x 1+3)(x 2+3) =（1+k 2）[x 1x 2+3（x 1+x 2）+9] =(1+k 2)(9k 2−1
1+k 2
−3(6k 2−4)1+k 2
+9)
=9k 2-1-3（6k 2-4）+9（1+k 2）=20．
∴NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =20为定值． 【解析】
（1）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由已知得关于D ，E ，F 的方程组求解可得D ，E ，F 的值，则圆的方程可求；
（2）（ⅰ）化圆的方程为（x-2）2+（y-2）2=5，依题意设直线l 的方程为：y-2=k
（x+3），由圆心M 到直线l 的距离d 小于半径列式求得k 的范围； （ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则
，
，联
立直线方程与圆的方程，得关于x 的一元二次方程，结合根与系数的关系可得
=20为定值．
本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量的数量积运算，是中档题．
20.【答案】解：（1）设P （2m ，m ），由∠APB =60°，圆的半径为1，可知MP =2， 则（2m ）2+（m -2）2=4，
解之得：m =0，m =4
5，故所求点P 的坐标为P （0，0）或P （8
5，4
5）； （2）设直线CD 的方程为：y -1=k （x -2），易知k 存在， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为√2
2，
∴√22
=
|−2k−1|√1+k
2
，解得，k =-1或k =-1
7， 故所求直线CD 的方程为：x +y -3=0或x +7y -9=0；
（3）取EF 中点N ，由垂径定理得：MN ⊥EF ，
∴MN =√ME 2−NE 2=√1−34
=1
2
，
∴点N 在以M 为圆心，半径为1
2的圆上．
连结PN ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
−NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=PN 2−NE 2=PN 2−34． ∵点M 到直线l 的距离d =
|0−4|√5
=
4√5
5
． ∴PN ≥4√55
−1
2
，
∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[2710−4√55，+∞）． 【解析】
（1）设P （2m ，m ），由题可知MP=2，代入两点间的距离公式可得（2m ）2+（m-2）
2=4，求解
m 可得点P 的坐标；
（2）设直线CD 的方程为：y-1=k （x-2），可知k 存在，由圆心M 到直线CD 的距离为
列式求得k 值，则直线CD 的方程可求；
（3）取EF 中点N ，由垂径定理得：MN ⊥EF ，求出MN=，则点N 在以M 为圆
心，半径为的圆上．连结PN，则化为，由点M到直线l的距离d=，可得PN，由此求得的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，是中档题．。