人教版数学高一A版必修4达标训练 3.2简单的三角恒等变换

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基础•巩固
1.已知sin(α-4π)=31，则cos(4
π+α)的值等于( ) A.322 B.322- C.31- D.3
1 思路分析:cos(
4π+α)=sin ［2π-(4π+α)］=sin(4π-α)=-sin(α-4
π)=-31. 答案:C 2.已知sinα=
5
3，α是第二象限的角，且tan(α+β)=1，则tanβ的值是( ) A.-7 B.7 C.43- D.4
3 思路分析:∵sinα=53，α是第二象限角， ∴cosα=5
4)53
(1sin 122-=-=--α. ∴tanα=4
3)54(53cos sin -=-÷=αα. 又∵tan(α+β)=1，β=(α+β)-α，
∴tanβ=tan ［(α+β)-α］
7)4
3(11)43(1tan )tan(1tan )tan(=-⨯+--=++-+=αβααβα. 答案:B
3.已知tanα、tanβ是方程x 2+33x+4=0的两根，且α、β∈(2π-，2
π)，则α+β等于( ) A.3π B.32π- C.3π或32π- D.3π-或32π 思路分析:由题意知tanα+tanβ=33-，tanαtanβ=4，∴tanα＜0且tanβ＜0.
又∵α、β∈(2π-，2π)，∴α、β∈(2
π-,0),α+β∈(-π,0). 由tan(α+β)=
34
133tan tan 1tan tan =--=-+βαβα，(α+β)∈(-π，0)，得α+β=-32π. 答案:B 4.函数y=2sin2xcos2x 是( )
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2
π的偶函数
C.周期为4π的奇函数
D.周期为4
π的偶函数 思路分析:y=
22sin4x ，242ππ==T .又f(-x)=22sin(-4x)=-22sin4x=-f(x)，它是奇函数. 答案:A
5.在△ABC 中，若sinAsinB=cos 22C ，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
思路分析:由已知等式得
21［cos(A-B)-cos(A+B)］=2
1 (1+cosC). 又A+B=π-C ，∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC.
∴cos(A-B)=1.
又-π＜A-B ＜π，∴A-B=0.
∴A=B ，即三角形为等腰三角形.
答案:B
6.给出下列命题
①存在实数α，使sinαcosα=1；
②存在实数α，使sinα+cosα=
23； ③y=sin(x 22
5-π)是偶函数； ④x=8
π是函数y=sin(2x+45π)的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.
其中正确命题的序号是_________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
思路分析:对于①可化为sin 2α=2，不成立；
对于②可化为sin(α+4
π)=423>1，不成立； 对于③可化为y=sin(2π+
2π-2x)=sin(2
π-2x)=cos2x ，显然成立； 对于④，把x=8π代入得y=sin(2×8π+4
5π)=sin 23π=-1，显然成立； 对于⑤，不妨取α=49π，β=3π，此时tanα=1，tanβ=3，显然不成立. 综上,可知③④成立.
答案:③④
综合•应用
7.已知函数f(x)=3sin x
π，则f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(2 005)=____________.
思路分析:函数f(x)=3sin x π的周期T=2π÷
3
π=6. ∵f(1)+f(2)+…+f(6)=sin 3π+sin 32π+sinπ+sin 34π+sin 35π+sin2π=0， ∴f(1)+f(2)+…+f(2 004)+f(2 005)=f(2 005)=32005sin π=sin(668π+3
π)=233sin =π. 答案:2
3 8.求函数x
x y cos sin 21++=
的最大值. 解：)4sin(221π++=x y ，∵-1≤sin(x+4π)≤1，∴当sin(x+4π)=-1时，y max =221-= 2
21222+=+. 9.已知sin(θ+6π)sin(θ-6π)=20
11，求tanθ的值. 思路分析:已知条件中的两角之差是常数，所以将式子积化和差，出现常数和单个的角，利用方程获得2θ的余弦值，再利用半角公式可以求得tanθ的值.
解:∵sin(θ+
6π)sin(θ-6π)=20
11， ∴21 (cos 3π-cos2θ)=2011. ∴cos2θ=53-，sin2θ=±54，从而25453
12sin 2cos 1tan ±=±+
=-=θθθ. 10.已知函数f(x)=5sinxcosx-235cos 352+
x (x ∈R )， (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)求f(x)图象的对称轴、对称中心.
解： f(x)=2
5sin2x-)2cos 232sin 21(52cos 2352sin 2523522cos 135x x x x x -=-=++⨯ =5(sin2xcos
3π-cos2xsin 3π)=5sin(2x-3
π). (1)f(x)的最小正周期T=22π=π.
(2)令-
2π+2kπ≤2x -3π≤2
π+2kπ，得-12π+kπ≤x≤125π+kπ，k ∈Z ，即函数f(x)的单调增区间是［-12π+kπ，12
5π+kπ］，k ∈Z . (3)令2x-3π=kπ+2
π，得x=21kπ+125π，k ∈Z ，即函数f(x)的对称轴方程是x=21kπ+125π，k ∈Z . 令2x-3π=kπ，得x=21kπ+6π，k ∈Z ，即函数f(x)的对称中心是(621ππ+k ，0)，k ∈Z . 回顾•展望
11.(2006临沂统考) 求函数y=cos3x·cosx 的最值.
思路分析:利用化积公式将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为二次函数的最值.
解:y=cos3x·cosx=
21(cos4x+cos2x)=2
1(2cos 22x-1+cos2x) =cos 22x+21cos2x-21=(cos2x+41)2-169. ∵cos2x ∈［-1，1］，
∴当cos2x=41-时，y 取得最小值16
9-； 当cos2x=1时，y 取得最大值1.。