集合的概念及其关系 - 简单难度 - 讲义

集合的概念与关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉；
2.集合的性质
确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z
方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一
条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作*N或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或B
A⊂）；
简单性质：1）A⊆A；2）∅⊆A；3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；
2.真子集关系
对于两个集合A与B，若A B
Ü（或
⊆且．A B
≠，则集合A是集合B的真子集，记作A B Ý）
B A
相等关系：对于两个集合A与B，如果A B
⊆，且B A
⊆，那么集合A与B相等，记作A B
= 3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
∅∈∅；性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。

对任意集合A，有∅⊆∅，{}
∅⊆。

U；A
I；A A
∅=
A∅=∅
注意事项：
①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈
②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅Ü）
③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅Ü
④显然，0∉∅，0{}∉∅
4.子集个数问题
设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n -
典型例题
一．选择题（共12小题）
1．（2017秋•九原区校级期中）下列命题中正确的是（）
（1）∅与{0}表示同一集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上语句都不对
2．（2017秋•温江区校级月考）下列说法正确的是（）
A．很小的实数可以构成集合B．{y|y=x2﹣1}={（x，y）|y=x2﹣1}
C．自然数集N中最小的数不是1 D．空集是任何集合的真子集
3．（2017秋•黄陵县校级期末）下列关系式中，正确的是（）
A．∅∈{0}B．0⊆{0}C．0∈{0}D．∅={0}
4．（2017秋•平安县校级期中）已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x＜﹣3} 5．（2012秋•郾城区校级期中）有以下四个集合（1）{x|x2﹣2x+1=0}；（2）{﹣1，2}；（3）{（﹣1，2）}；（4）{边长为3，4的三角形}．其中为单元素集合的是
（）
A．（3）（4）B．（1）（3）C．（1）（3）（4）D．（2）（4）6．（2017秋•长泰县校级期中）若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，则实数k的取值集合为（）
A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．（﹣∞，﹣1]∪{0}
7．（2018•芜湖模拟）已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）
A．31 B．32 C．3 D．4
8．（2018•洛阳三模）已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m 的值是（）
A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2
9．（2018•浙江模拟）已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，若A=B，则a=（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（2017秋•黄陵县校级期末）含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
11．（2018春•金凤区校级期末）集合A={（x，y）|y=x}和，则以下结论中正确的是（）
A．1∈A B．B⊆A C．（1，1）⊆B D．∅∈A
12．（2018春•陆川县校级期末）若{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（）
A．8 B．7 C．4 D．3
二．填空题（共2小题）
13．（2017秋•襄州区校级月考）已知集合
，则集合A、B的关系为．14．（2018春•启东市校级月考）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m ﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．
三．解答题（共1小题）
15．（2017秋•天心区校级期末）设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠∅且B⊆A，求a，b．。