湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三数学5月适

华中师大一附中
2016届高三五月适应性考试试题
文科数学（ A/B 卷）答案
一、选择题： CDCABB,ADDADC
二. 填空题： 13． 1或 2 14. 15 15． 55 16.②④ 三.解答题： 17. 解 (I)设数列{}n a 的公差为d ，由11611143,S a ==613a ∴=.
又5624,a a +=解得511a =，2d =，
因此{}n a 的通项公式是21n a n =+()n N *∈，………………………………4分 所以111111()(21)(23)22123
n n a a n n n n +==-++++， 从而前n 项的和为1113557(21)(23)
n n +++⨯⨯++L 1111111()235572123
n n =-+-++-++L 111()2323
n =-+69n n =+. ………………………………8分 (II)因为13a =，124n a n -=，43n n T =+.当1n =时，17b =；
当2n ≥时，1114434n n n n n n b T T ---=-=-=⨯；
所以14n n b b +=（2n ≥．若{}n b 是等比数列，则有214b b =，而127,12b b ==，所以与214b b =矛盾，
故数列{}n b 不是等比数列． ……………………………12分
18. (I)证明 连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为0
90ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点，
又M 为PC 的中点，故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以
PA ∥平面BMQ .……………………………………………………6分
(II)解 由(1)可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距
离等于点A 到平面BMQ 的距离，
所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，……………………………………9分
取CD 的中点K ，连接MK ，所以MK ∥PD ，112MK PD =
=. 又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD . 又112
BC AD ==，2PD DC ==，所以1,2AQ BQ ==，
1MQ NQ ==， 所以13
P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---===，
BMQ S ∆=
则点P 到平面BMQ
的距离32
P BMQ
BMQ V d S -∆==. ……………………12分 19. 解：（I ）根据题意得高三年级女生抽到的概率为
1800a ，所以17.01800=a 所以30617.01800=⨯=a （人） ………………3分
(II)由表格知高二年级的总人数为600)306344()290260(1800=+-+-人， 所以高二年级应抽取的人数为201800
60060=⨯（人） ……………………6分 （III ）设事件A=“高二年级男生比女生多”，求概率)(A P
用b 表示高二年级男生的人数，用c 表示高二年级女生的人数，且600=+c b 则满足200,260≥≥c b 的),(c b 配对的情况为)200,400()339,261(),340,260(Λ，共有141种情况，而事件A 发生的),(c b 配对的情况为)298,302(),299,301(，)200,400(,Λ共有100种情况，所以高二年级男生比女生多的概率为141
100)(=A P …………………………12分
20． 解：（Ⅰ）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12
c a =，223b a ⋅=， 解
得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143
y x +=．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率k 存在．设l 的方程为()1y k x =-，
联立椭圆方程得()
22223484120k x k x k +-+-=．
设()()1122,,,A x y B x y ，则2122834k
x x k +=+，212241234k x x k -=+，
∴2122934k y y k =-+．……………………………………………………………………6分 ∴21212212534k OA OB x x y y k +⋅=+=-+u u u r u u u r ． ∵95OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，∴221259534k k
+-=-+，解得23k =．………………………………8分 由题意可得，AP BQ =等价于AB PQ =．……………………………………9分
设圆E 的半径为r ，
∵22122
1212134k AB k x x k +=+-=+，22221k PQ r k =-+． 将23k =代入AB PQ =解得2331100
r =．……………………………………………11分 故所求直线l 的方程为()31y x =±-，即330x y --=与330x y +-=；
圆E 的方程为()2
23312100x y -+=．…………………………………………………12分 21. 解：(I)当e m =时，x
e x x
f +=ln )(，易知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以221)(x
e x x e x x
f -=-=
'，当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，此时)(x f 在),0(e 上是减函数；当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，此时)(x f 在),(+∞e 上是增函数，所以当e x =时， )(x f 取得极小值
2ln )(=+=e
e e e
f …………………………………………4分 (II)因为函数),0(313)()(2>--=-'=x x x m x x x f x
g 令0)(=x g ，得),0(3
13>+-=x x x m 设),0(31)(3>+-=x x x x h 所以),1)(1(1)(2+--=+-='x x x x h 当)1,0(∈x 时，0)(>'x h ，此时)(x h 在)1,0(上为增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，
此时)(x h 在),1(+∞上为减函数，所以当1=x 时，)(x h 取极大值32131)1(=+-
=h ，令0)(=x h ，即03
13=+-x x ，解得0=x 或3=x ，由函数)(x h 的图像知： ①当3
2>
m 时，函数m y =和函数)(x h y =无交点； ②当3
2=m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点； ③当320<<m 时，函数m y =和函数)(x h y =有两个交点； ④当0≤m 时，函数m y =和函数)(x h y =有且仅有一个交点。

综上所述，当32>
m 时，函数)(x g 无零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有一个
零点，当320<<m 时，函数)(x g 有两个零点……………………………………………………8分 （III ）对任意1)()(,0<-->>a
b a f b f a b 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立，设),0(ln )()(>-+=-=x x x
m x x x f x ϕ则)(x ϕ在),0(+∞上单调递减， 所以011)(2≤--='x
m x x ϕ在),0(+∞上恒成立， 所以41)21(22+--=+-≥x x x m 在),0(+∞上恒成立，因为41,02≤+->x x x ，所以41≥m ，当且仅当21=x 时，41=m ，所以实数m 的取值范围是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,41 ……………………………………………………………12分
22.（I ）证明：连接AB ，AC Q 是⊙1O 的切线，BAC D ∴∠=∠，又BAC E ∠=∠Q ，D E ∴∠=∠，AD ∴∥EC ……………………………………………………………………………………………5分 （II ）解：设BP x =，PE y =，6PA =Q ，2PC =，12xy ∴= ①
Q AD ∥EC ，DP AP PE PC
∴=，962x y +∴= ② 由①②可得34x y =⎧⎨=⎩或121x y =-⎧⎨=-⎩
（舍去）. ………………………………………………8分 916DE x y ∴=++=,AD Q 是⊙2O 的切线，2916144AD DB DE ∴=⋅=⋅=，
12AD ∴=………………………………………………………………………………10分
23. 解：对于曲线M ，消去参数，得普通方程为21,||2y x x =-≤，曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为x y t +=，曲线N 是一条直线．
（1）若曲线,M N 只有一个公共点，则直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行移动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着从过点(2,1)-开始向左下方平行移动直到相切之前总是有两个公共点，此时不合题意，所以2121t -+<≤+满足要求．
相切时仍然只有一个公共点，由21t x x -=-，得210,14(1)0x x t t +--=∆=++=，求得54t =-． 综上，可得t 的取值范围是2121t -<或54
t =-．…………………………5分 （2）当2t =-时，直线:2N x y +=-，设M 上的点为200
0(,1),||2x x x -≤，
则曲线M 上的点到直线N 的距离为2200013()322422x d ++==≥， 当012x =-时取等号，满足0||2x ≤，所以所求的最小距离为328
．…………10分 24. 解：（1）由题意知260x x m ++--≥在R 上恒成立，即26m x x ≤++-恒成立． 26(2)(6)8x x x x ++-≥++-=Q （当且仅当(2)(6)026x x x +-≥-≤≤即时等号成立）(],8m ∴∈-∞........................................................................................................................5分
（2）由（1）知8n =，即82832a b a b
+=++， ()()()()3118223232()221632a b a b a b a b a b a b a b ∴+=+++=++++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦++ 2218219(32)=32=1632168
a b a b a b a b ≥+++++g g （）当且仅当932032082832a b a a b a b b ⎧==⎧⎪⎪+=++⎪⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎩
即时等号成立 322
a b ∴+的最小值是98
． ........................ ........................ ....................................................10分。