韩山师范学院热学测练题AB答案

A 卷答案
一、名词解释（每题5分，共40分）
1．准静态过程：它是进行的非常缓慢的过程，系统在过程中经历的每一个状态都可以看作平衡态，是一个理想的极限概念。

2．热力学第二定律：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他任何变化。

（或 不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用功而不引起其他任何变化，等等）
3. 卡诺定律：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆卡诺热机的效率最高。

4. 熵判据：系统在内能、体积和总粒子数不变的条件下，系统处于稳定平衡态时的熵最大。

5. 强度量：与系统总质量或摩尔数无关的热力学量，常见的强度量有压强，温度，化学势等。

6. 第一类相变：在相变点两相的化学势连续，但化学势的一阶偏导数存在突变的相变，称为第一类相变。

7. 粒子运动状态的经典描述：对于服从经典力学规律的微观粒子，其运动状态可以用坐标和共轭动量精确描述。

其运动是轨道运动，可以用μ空间中的一条相轨道描述。

8. 等概率原理：处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

二、是非题（每题2分，共10分）
1. √
2. ⅹ
3. √
4. ⅹ
5. ⅹ
三、推导与计算题
1．温度为0℃的1kg 水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100℃。

试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。

已知水的比热容为4.18Jg -1K -1。

解答：0℃的水与温度为100℃接触后温度升温到100℃， 这是一个不可逆过程，为求熵变，可设想一可逆过程，它产生的效果与不可逆过程相同，通过设想的可逆过程来计算熵变。

（2分） 求水的熵变：设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，温度分布在0℃到100℃，水依次和它们接触吸热，使水温升至100℃。

在这个可逆过程中，水的
熵变为：
1
373
273
6.1304273
373
ln 18.41000273
373ln
-⋅=⨯⨯===
∆⎰
K J m C dT T
m c S p p 水 （3
分）
水吸收的总热量：J T mC Q p 5
1018.410018.41000⨯=⋅⋅=∆= （1分）
求热源的熵变：设想热源想温度为100℃的另一个热源放出热量Q,在这样的可逆过程中，熵变为：15
6.1120373
1018.4-⋅-=⨯-=-=∆K J T Q S 热源
（3分）
系统总熵变：1
184-⋅=∆+∆=∆K J S S S 热源水 （1分）
2. 试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态的数目为：
()εεπεεd m h
V d D 2
/12/3322)(=
解答：在体积为3L V =内，在动量为p x 到p x +dp x ,p y 到p y +dp y ,p z 到p z +dp z 的动量范围内，自由粒子的量子态数为：
z y x z y x dp dp p h V dp dp dp h L 33
=⎪⎭
⎫
⎝⎛ （2分）
在球坐标中：
θϕ
θϕθc o s
s i n s i n c o s
s i n p p p p p p z y x ===
动量体积元为：ϕθθd dpd p sin 2
（2分）
因此，在自由粒子的量子态数可写成：3
2sin h d dpd Vp ϕ
θθ
对角度积分得，dp p h
V
dp p h V d d 2
3220034sin πθ
θϕπ
π
=⎰⎰ （2分） 根据能量公式： m
p 22
=ε
()ε
εd m m dp p 2
/122= （2分）
所以， εεπεεπεεd m h
V d m m h V d D 2
/12/332/13)2(2)2(4)(== （2分）
3. 气柱的高度为H, 截面面积为A, 处于重力场中，试求此气柱的内能和等压
热容。

{气体在重力场中的能量可表示为mgz p p p m
z y x +++=)(2122
2ε}
解答： 假设气体是单原子分子理想气体，在重力场总气体分子的能量为
mgz p p p m
z y x +++=)(2122
2ε （2分）
则配分函数为
)1(1)2(1)2(11
2/3302
/33)(23222mgz H mgz z
y x mgz P P P m e m g
A m h dz
e dxdy m h dp dp dxdydzdp e h
Z z y x ββββ
ββπβ
π---++--===⎰⎰⎰⎰ （5分） )1ln()1ln(1)2(1ln
ln 2/52
/33mgz e mg A m h Z ββ
π--++= (2分) 气柱内能为 1
23123ln --+=--+=∂∂-=--mgH mgH e NmgH
NkT NkT e NmgH N N Z N U βββββ （3分）
气体等压热容
2
22)1()(125--
=∂∂=m gH m gH
v e e mgH N kT Nk T U C ββ （3 分） 4. 将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点N 和极小点J 连接起来，可得一条曲线NCJ ，试证明这条曲线的方程为：
)2(3
b V a pV m m -=
并说明这条曲线划分出的三个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的含义。

解答：范氏气体的状态方程为：2m
m V a
b V RT p --= （1） （3分）
对其求偏导数:
()322m m
T m V a b V RT V p +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ (2) (3分) 等温线的极大点和极小点满足0=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂T
m V p （3）
所以 ()32
2m
m V a
b V RT =- （4） （3分） 将（1）（4）式联立得：
2
3)(2m
m m V a
b V V a p --=
或
)2()(23
b V a aV b V a pV m m m m -=--= （5） （3分）
图中区域Ⅰ中的状态对应于过热液体，区域Ⅲ中的状态对应于过饱和蒸汽，区域Ⅱ中的状态是不满足稳定性条件的，是不能实现的。

（3分）
B 卷答案
一、名词解释（每题5分，共40分）
1．热力学平衡状态：一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过做够长的时间后，系统的各种宏观性质长时间内不发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡状态。

2．热力学第一定律：系统在终态和初态的内能之差等于在过程中外界对系统所做的功和系统从外界吸收的热量之和，就是能量守恒定律。

3. 特性函数：如果适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过对其求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定，这样的热力学函数就称为特性函数
4. 广延量：与系统总质量或摩尔数成正比的热力学量，常见的广延量有熵，内能，体积等。

5. 自由能判据：一体系在温度，体积和总粒子数不变的情形下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能是极小。

6. 三相点：汽化线、熔解线和升华线相交与一点称为三相点，在三相点，固、液、气可以共存。

7. 粒子运动状态的量子描述方法：量子力学中微观粒子的运动不是轨道运动，不能用坐标和共轭动量来描述; 在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态，用一组量子数描述，量子数的数目与粒子的自由度相同。

8. 全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态。

二、是非题（每题2分，共10分）
1.√
2. ⅹ
3. √
4. ⅹ
5. √ 三、推导与计算题
1．将质量相同温度分别为T 1和T 2的两杯水在等压下绝热地混合，求熵变。

解答：两杯水等压绝热混合后，终态的温度为2
2
1T T +，
根据热力学基本方程：T
pdV
dU dS += （2分）
由于dS 是全微分，可以沿联结初态和终态的任意积分路径进行积分来求两态的熵差。

在等压的条件下，pdV dU dH +=，故
T
dT
C T dH dS p == （2分）
两杯水的熵变分别为：
1
2
1212ln 211
T T T C T
dT C S p T T T p +==∆⎰
+ （2分）
2
2
1222ln 212
T T T C T dT
C S p T T T p +==∆⎰+ （2分）
2
12
21214)(ln T T T T C S S S p +=∆+∆=∆ （2分）
2. 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态的数目为：
εεεεd m h L d D 2
/122)(⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
解答：一维自由粒子在μ空间中的体积元为dxdp x 内可能的量子态数为：
h
d x d p
x （2分）
在长度为L 内，动量大小在p 到p+dp 范围内的量子态数为：
dp h
L
2 （3分） 将能量和动量的关系代入：m
p 22
=ε
εεεεd m h L d D 2
/122)(⎪⎭
⎫
⎝⎛= （5分）
3. 试求单原子理想气体的物态方程和内能，假设气体满足遵从玻尔兹曼分布。

解答：把单原子理想气体看作是在容器中自由运动的粒子，有
)(212
22z y x p p p m ++=
ε （1分）
在dxdydzdPxdPydPz 范围内，分子的微观状态数为：
3
h dp dp dxdydzdp z
y x （1分）
配分函数：
()Z
y x P P P m β
dP dP dxdydzdP e ...h Z z y x ⎰⎰=222231
＋＋－ （3分）
()2
/332223
212
2
2
mkT h V Z dpz e
dpy e
dpx
e
dxdydz h
Z z y x p m
βp m
βp m
βπ=
==⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰∞∞
∞
∞
∞
∞
－－
－－
－－
（4分）
物态方程：
V NkT
V N V Z Z N Z V N p ==∂∂=∂∂=
βββ1ln （3分）
内能：
NkT N Z N
U 2
3
23ln ==∂∂-=ββ
（3分）
4. 将范氏气体在不同温度下的等温线的极大点N 和极小点J 连接起来，可得一条曲线NCJ ，试证明这条曲线的方程为：
)2(3
b V a pV m m -=
并说明这条曲线划分出的三个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的含义。

解答：范氏气体的状态方程为：2m
m V a
b V RT p --=
（1） （3分） 对其求偏导数:
()
3
2
2m
m
T
m V a
b V RT
V p +
--
=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂ (2) (3分) 等温线的极大点和极小点满足0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T
m V
p
（3） 所以 ()32
2m
m V a
b V RT =- （4） （3分） 将（1）（4）式联立得：
23)(2m
m m V a
b V V a p --=
或 )2()(23
b V a aV b V a pV m m m m -=--= （5） （3分）
图中区域Ⅰ中的状态对应于过热液体，区域Ⅲ中的状态对应于过饱和蒸汽，区域Ⅱ中的状态是不满足稳定性条件的，是不能实现的。

（3分）。