2023届浙江省温州市“十五校联合体”数学高一上期末监测试题含解析
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1、C
【解析】在同一坐标系内画出两个函数
y1=
1 3
x
与
y2=|sin
2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到
函数零点的个数
【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数
y1=
1 3
x
与
y2=|sin
2x|的图象，
结合图象可知两个函数的图象在
0,
5π 4
上有
5
个交点，
故原函数有 5 个零点
2x 1 ，求 y
g
x
在
x
1 2
,1
的值域.
21．已知函数 f (x) x 2a 1，（ a 为常数）. x
（1）当 a=1时，判断 f (x) 在 (, 0) 的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意 x R ，不等式 f (2x ) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）讨论 f (x) 零点的个数.
19．某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出 50 个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获
得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
20．已知函数 f x m2 5m 1 xm1 m Z 为幂函数，且为奇函数.
（1）求 m 的值，并确定 f x 的解析式；
（2）令 g(x) f (x)
【详解】不妨设弧 AD 所在圆的半径为 R，弧 BC 所在圆的半径为 r，由弧 AD 长度为弧 BC 长度的 3 倍可知 R 3r ， CD R r 2r 2，即 r 1.故该曲池的体积V (R2 r2 )3 6 .
4
故选：B 9、A
【解析】 kx y k 0 化为点斜式： y k x 1，
fLeabharlann 1 2又在x 0, 时为增函数，则
log2a
1 2
，解得
2 a 2
2
故选 C 点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中 log2a 与 log 1 a 由
2
对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质 f x f x 结合可将不等式化简，借助函数在0, 上是增函
11．定义在
R
上的偶函数
f
x在
x 0, 时为增函数，若实数 a
满足
f
log2
a
f
log1 2
a2
f
1 2
0 ，则
a 的取值范围是
A. 0, 2
B.
0,
1 2
C.
2, 2
2
D.
1 2
,
2
2
12．幂函数 f x m2 m 1 xm22m5 在区间 0, 上单调递增，且 a b 0，则 f a f b 的值（）
故选：A.
4、B
【解析】在同一直角坐标系中画出 y 3x ， y log3x ， y sinx 与 y x 的图像，数形结合即可得解
【详解】函数 f x 3x x ， g(x) log3 x x ， h(x) sin x x 的零点依次为 x1，x2，x3 ，
在同一直角坐标系中画出 y 3x ，y log3x ，y sinx 与 y x 的图像如图所示，由图可知 x1 0 ，x2 0 ，x3 0 ，
【详解】根据定义可知：若 有不动点，则
有解.
A．令
，所以
，此时无解，故 不是“不动点”函数；
B．令
，此时无解，，所以 不是“不动点”函数；
C．当
时，令
，所以 或 ，所以
“不动点”函数；
D．令
即，
此时无解，所以 不是“不动点”函数.
是 故选：C.
3、A
【解析】分 k 2n 1,nZ 和 k 2n, n Z 讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为 k 180 45 , k Z ，所以 当 k 2n 1,nZ 时， 2n 180 180 45 n 360 225 , n Z ，其终边在第三象限； 当 k 2n, n Z 时， 2n 180 45 n 360 45 , n Z ，其终边在第一象限. 综上， 的终边在第一、三象限.
数可确定在 ，0 为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量 log2a 的范围，从而求得关于 a 的不等式，结合对数
函数单调性可得到 a 的取值范围 12、A 【解析】由已知条件求出 m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可
【详解】由函数 f x m2 m 1 xm22m5 是幂函数，可得 m2 m 1 1，解得 m 2 或 m 1
【解析】由已知可得
1 x
2 y
2x
y
2
4x y
y x
2
，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为正数 x，y 满足 2x y 1，
所以
1 x
2 y
2x
y
2
4x y
y x
2
4
2
4x y 8， yx
当且仅当 4x y ，即 x 1 , y 1 时取等号，
yx
42
所以
1 x
2 y
A. 0,1
B. 1,2
C. 2,3
D. 3, 4
8．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇
.环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为
3，
AA1
底面，底面扇环所对的圆心角为
2
，弧
AD 长度为弧 BC 长度的 3 倍，且 CD 2 ，则该曲池的体积为（）
B.第一、二象限
的 C.第二、四象限
D.第三、四象限
4．已知函数 f x 3x x ，g x log3x x ，h x sinx x 的零点依次为 x1，x2，x3，则以下排列正确的是（
A. x1 x2 x3
B. x1 x3 x2
C. x3 x2 x1
D. x2 x3 x1
当 m 2 时， f x x3 ；当 m 1时， f x x6
因为函数 f x 在 0, 上是单调递增函数，故 f x x3
又 a b 0，所以 a b ，
所以 f a f b f b ，则 f a f b 0
故选：A
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
显然直线过定点 1,0 ，且定点在圆 x2 y2 2 内
∴直线与圆相交， 故选 A 10、A
【解析】先求出函数 f x tan x 的图象的对称中心，从而就可以判断. 【详解】若函数 f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称，则 m k ， k Z ，所以“ m k ， k Z ”是“函数
22．已知函数
f
(x)
ln
1
2 x
，其定义域为
D
（1）求 D；
（2）设 a 0 ，若关于 x 的方程 2ax2 (2a 1)x 1 0 在 D 内有唯一零点，求 a 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
故选 C
【点睛】判断函数 h x f x g x 零点的个数时，可转化为判断函数 y f x 和函数 y g x 的图象的公共点
的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用
2、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程
有解，然后逐项进行求解并判断即可.
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．函数
f(x)=
1 3
x
-|sin
2x|在
0,
5π 4
上零点的个数为(
)
A.2
B.4
C.5
D.6
2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动
A.恒大于 0
B.恒小于 0
C.等于 0
D.无法判断
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13． sin 13 ________. 6
14．已知 f (x) | x 2a | (a R) 在[1, )上是增函数，则 a 的取值范围是___________.
5．若正数 x，y 满足 2x y 1，则 1 2 的最小值为（ ） xy
A.4
B. 3 2 2
）
C.8
D.9
6．设函数 y＝ 9x 1 2 ，当 x＞0 时，则 y（） x
A.有最大值 4
B.有最小值 4
.C有最小值8
D.有最大值 8
7．函数 f x log3x x3 9 的零点所在区间是 ( )
的最小值为
8，
故选：C 【点睛】此题考查基本不等式 应用，利用了“1”的代换，属于基础题 6、B 【解析】由均值不等式可得答案.
【详解】由 9x 1 2 2 9x 1 2 6 2 4 ,当且仅当 9x 1 ，即 x 1 时等号成立.
x
x
x
3
当 x 时，函数 y 9x 1 2 的函数值趋于 x
9
A
2 11
C.
2
B. 6
D. 5
9．直线 kx y k 0k R 与圆 x2 y2 2 交点的个数为
A.2 个
B.1 个
C.0 个
D.不确定
10． “ m k ， k Z ”是“函数 f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称”的（）
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
13、 1 2
【解析】 sin 13
sin(2
) sin
1
.
6
6
62
考点：诱导公式.
14、
,
1 2
所以函数 y 9x 1 2 无最大值，有最小值 4 x
故选：B 7、C 【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵ f (2) log3 2 1 0 ， f (3) log3 3 27 9 19 0 ，
∴ f (2) f (3) 0 ，
∴函数在区间(2,3)上存在零点 故选 C 【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点 存在性定理是充分条件，而并非是必要条件 8、B 【解析】利用柱体体积公式求体积.
满足 x1 x3 x2.
故选：B．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结 合的方法求解 5、C
15．若关于 x
的不等式
10 x3 kx 2x2 x3
1对任意的 x 0, 2 恒成立，则实数 k
的取值范围为____________
16．已知函数
①
______；
②函数 与函数
，二者图象有______个交点
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定
条件的连续函数 ，存在点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．若 k 180 45 , k Z ，则 终边在（ ）
A.第一、三象限
2
f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称”的充分不必要条件
故选：A 11、C
【解析】
f
log2a
f
log1a 2 2
f
1 2
0
f
log2a
f
log 2 a
2
f
1 2
因为定义在 R 上的偶函数，所以 f log2a f log2a
即
2
f
log 2 a
2
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
17．已知函数 f x 2 3 sin x cos x 6sin2 x 3 .
（1）求函数 f x 的最小正周期；
（2）求 f x 的单调递增区间.
18．已知函数
f
x
2 3x 1
ax
R 为奇函数
（1）求 a 的值；
（2）当 0 x 1时，关于 x 的方程 f x 1 t 有零点，求实数 t 的取值范围
【解析】在同一坐标系内画出两个函数
y1=
1 3
x
与
y2=|sin
2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到
函数零点的个数
【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数
y1=
1 3
x
与
y2=|sin
2x|的图象，
结合图象可知两个函数的图象在
0,
5π 4
上有
5
个交点，
故原函数有 5 个零点
2x 1 ，求 y
g
x
在
x
1 2
,1
的值域.
21．已知函数 f (x) x 2a 1，（ a 为常数）. x
（1）当 a=1时，判断 f (x) 在 (, 0) 的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意 x R ，不等式 f (2x ) 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）讨论 f (x) 零点的个数.
19．某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出 50 个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获
得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
20．已知函数 f x m2 5m 1 xm1 m Z 为幂函数，且为奇函数.
（1）求 m 的值，并确定 f x 的解析式；
（2）令 g(x) f (x)
【详解】不妨设弧 AD 所在圆的半径为 R，弧 BC 所在圆的半径为 r，由弧 AD 长度为弧 BC 长度的 3 倍可知 R 3r ， CD R r 2r 2，即 r 1.故该曲池的体积V (R2 r2 )3 6 .
4
故选：B 9、A
【解析】 kx y k 0 化为点斜式： y k x 1，
fLeabharlann 1 2又在x 0, 时为增函数，则
log2a
1 2
，解得
2 a 2
2
故选 C 点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中 log2a 与 log 1 a 由
2
对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质 f x f x 结合可将不等式化简，借助函数在0, 上是增函
11．定义在
R
上的偶函数
f
x在
x 0, 时为增函数，若实数 a
满足
f
log2
a
f
log1 2
a2
f
1 2
0 ，则
a 的取值范围是
A. 0, 2
B.
0,
1 2
C.
2, 2
2
D.
1 2
,
2
2
12．幂函数 f x m2 m 1 xm22m5 在区间 0, 上单调递增，且 a b 0，则 f a f b 的值（）
故选：A.
4、B
【解析】在同一直角坐标系中画出 y 3x ， y log3x ， y sinx 与 y x 的图像，数形结合即可得解
【详解】函数 f x 3x x ， g(x) log3 x x ， h(x) sin x x 的零点依次为 x1，x2，x3 ，
在同一直角坐标系中画出 y 3x ，y log3x ，y sinx 与 y x 的图像如图所示，由图可知 x1 0 ，x2 0 ，x3 0 ，
【详解】根据定义可知：若 有不动点，则
有解.
A．令
，所以
，此时无解，故 不是“不动点”函数；
B．令
，此时无解，，所以 不是“不动点”函数；
C．当
时，令
，所以 或 ，所以
“不动点”函数；
D．令
即，
此时无解，所以 不是“不动点”函数.
是 故选：C.
3、A
【解析】分 k 2n 1,nZ 和 k 2n, n Z 讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为 k 180 45 , k Z ，所以 当 k 2n 1,nZ 时， 2n 180 180 45 n 360 225 , n Z ，其终边在第三象限； 当 k 2n, n Z 时， 2n 180 45 n 360 45 , n Z ，其终边在第一象限. 综上， 的终边在第一、三象限.
数可确定在 ，0 为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量 log2a 的范围，从而求得关于 a 的不等式，结合对数
函数单调性可得到 a 的取值范围 12、A 【解析】由已知条件求出 m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可
【详解】由函数 f x m2 m 1 xm22m5 是幂函数，可得 m2 m 1 1，解得 m 2 或 m 1
【解析】由已知可得
1 x
2 y
2x
y
2
4x y
y x
2
，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】解：因为正数 x，y 满足 2x y 1，
所以
1 x
2 y
2x
y
2
4x y
y x
2
4
2
4x y 8， yx
当且仅当 4x y ，即 x 1 , y 1 时取等号，
yx
42
所以
1 x
2 y
A. 0,1
B. 1,2
C. 2,3
D. 3, 4
8．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇
.环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为
3，
AA1
底面，底面扇环所对的圆心角为
2
，弧
AD 长度为弧 BC 长度的 3 倍，且 CD 2 ，则该曲池的体积为（）
B.第一、二象限
的 C.第二、四象限
D.第三、四象限
4．已知函数 f x 3x x ，g x log3x x ，h x sinx x 的零点依次为 x1，x2，x3，则以下排列正确的是（
A. x1 x2 x3
B. x1 x3 x2
C. x3 x2 x1
D. x2 x3 x1
当 m 2 时， f x x3 ；当 m 1时， f x x6
因为函数 f x 在 0, 上是单调递增函数，故 f x x3
又 a b 0，所以 a b ，
所以 f a f b f b ，则 f a f b 0
故选：A
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
显然直线过定点 1,0 ，且定点在圆 x2 y2 2 内
∴直线与圆相交， 故选 A 10、A
【解析】先求出函数 f x tan x 的图象的对称中心，从而就可以判断. 【详解】若函数 f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称，则 m k ， k Z ，所以“ m k ， k Z ”是“函数
22．已知函数
f
(x)
ln
1
2 x
，其定义域为
D
（1）求 D；
（2）设 a 0 ，若关于 x 的方程 2ax2 (2a 1)x 1 0 在 D 内有唯一零点，求 a 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
故选 C
【点睛】判断函数 h x f x g x 零点的个数时，可转化为判断函数 y f x 和函数 y g x 的图象的公共点
的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用
2、C
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程
有解，然后逐项进行求解并判断即可.
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．函数
f(x)=
1 3
x
-|sin
2x|在
0,
5π 4
上零点的个数为(
)
A.2
B.4
C.5
D.6
2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动
A.恒大于 0
B.恒小于 0
C.等于 0
D.无法判断
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13． sin 13 ________. 6
14．已知 f (x) | x 2a | (a R) 在[1, )上是增函数，则 a 的取值范围是___________.
5．若正数 x，y 满足 2x y 1，则 1 2 的最小值为（ ） xy
A.4
B. 3 2 2
）
C.8
D.9
6．设函数 y＝ 9x 1 2 ，当 x＞0 时，则 y（） x
A.有最大值 4
B.有最小值 4
.C有最小值8
D.有最大值 8
7．函数 f x log3x x3 9 的零点所在区间是 ( )
的最小值为
8，
故选：C 【点睛】此题考查基本不等式 应用，利用了“1”的代换，属于基础题 6、B 【解析】由均值不等式可得答案.
【详解】由 9x 1 2 2 9x 1 2 6 2 4 ,当且仅当 9x 1 ，即 x 1 时等号成立.
x
x
x
3
当 x 时，函数 y 9x 1 2 的函数值趋于 x
9
A
2 11
C.
2
B. 6
D. 5
9．直线 kx y k 0k R 与圆 x2 y2 2 交点的个数为
A.2 个
B.1 个
C.0 个
D.不确定
10． “ m k ， k Z ”是“函数 f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称”的（）
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
13、 1 2
【解析】 sin 13
sin(2
) sin
1
.
6
6
62
考点：诱导公式.
14、
,
1 2
所以函数 y 9x 1 2 无最大值，有最小值 4 x
故选：B 7、C 【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵ f (2) log3 2 1 0 ， f (3) log3 3 27 9 19 0 ，
∴ f (2) f (3) 0 ，
∴函数在区间(2,3)上存在零点 故选 C 【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点 存在性定理是充分条件，而并非是必要条件 8、B 【解析】利用柱体体积公式求体积.
满足 x1 x3 x2.
故选：B．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结 合的方法求解 5、C
15．若关于 x
的不等式
10 x3 kx 2x2 x3
1对任意的 x 0, 2 恒成立，则实数 k
的取值范围为____________
16．已知函数
①
______；
②函数 与函数
，二者图象有______个交点
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定
条件的连续函数 ，存在点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．若 k 180 45 , k Z ，则 终边在（ ）
A.第一、三象限
2
f x tan x 的图象关于点 m,0 中心对称”的充分不必要条件
故选：A 11、C
【解析】
f
log2a
f
log1a 2 2
f
1 2
0
f
log2a
f
log 2 a
2
f
1 2
因为定义在 R 上的偶函数，所以 f log2a f log2a
即
2
f
log 2 a
2
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
17．已知函数 f x 2 3 sin x cos x 6sin2 x 3 .
（1）求函数 f x 的最小正周期；
（2）求 f x 的单调递增区间.
18．已知函数
f
x
2 3x 1
ax
R 为奇函数
（1）求 a 的值；
（2）当 0 x 1时，关于 x 的方程 f x 1 t 有零点，求实数 t 的取值范围