山东省临沂市某重点中学2017-2018学年高二上学期质量

高二质量调研试题
理 科 数 学 2017.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在△ABC 中，3a =，5b =，1
sin 3
A =
，则sin B =
A. 5
9
B. 1
C.
3
D. 15
2. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S = A. 58 B. 88 C. 143 D. 176
3. △ABC 的三个内角，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且22
()1a b c bc
--=，则角A =
A. 150
B. 120
C. 60
D. 30
4.已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤.则实数b a +的值为 A ．2 B. 3 C.4 D. 5
5. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为
5
4
，则5S = A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
6. 若,,R x y a +∈≤恒成立，则a 的最小值为
B.1
C.
2
D. 12
7. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos 2c B a b =-，若△ABC 的面积为2
3
=
S ，则c 的最小值为
A ．324-
B ．13-
C ．2
D 8.已知1a >-，2b >-，(1)(2)16a b ++=，则a b +的最小值是 A.4 B.5 C. 6 D. 7 9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，11=a ，20182016
120182016S S -=，则数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前2017项和为 A.
20171009 B.20172018 C.12017 D.1
2018
10. △ABC 中，已知a x =，2b =，60B =，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围
A. 2x >
B. 2x <
C. 2x <≤
2x <<11.在我国古代著名的数学专著《 九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢? A. 16 日 B. 12 日 C. 9 日 D. 8 日 12. 已知函数()log (21)x a f x b =+-（0a >且1a ≠）在R 上单调递增，且
24a b +≤，则
b
a
的取值范围为 A.2(,2)3 B. 2[,2]3 C. 2(,2]3
D. 2
[,2)3
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13. 已知数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+，则15a a += ．
14若实数,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+0,0,22y x y x 错误！未找到引用源。

则当1
-+≤a ax y 恒成立时，实数a 的取值范围是 .
15. 已知函数1,0,
()1,0,
x f x x -<⎧=⎨
≥⎩则不等式2(2)(1)0x x f x -⋅-≤的解集是 .
16. 若△ABC 的内角,A B 满足
sin 2cos()sin B
A B A
=+ .则当B 取最大值时，角C 大小为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C
0sin c
C
-=.
(1)求角A 的大小；
(2)
若sin sin B C A +=，2b =，求a ，c 的值．
18. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，23a =，47a =；数列{}n b 是公比为(1)q q >的等比数列，且满足集合{}{}123,,1,2,4b b b =．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
19.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin 3sin b A a C =，
2cos 3
A =
． （1）若3b =，求a 的值；
（2）若△ABC 的面积S ，求sin B 的值． 20. （本小题满分12分）
某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m （单位：万件）与年促销费用x （单位：万元）（0x ≥）满足31
k
m x =-
+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2017年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用x （单位：万元）的函数；
（2）该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大? 21. （本小题满分12分）
已知n S 是首项为a 的等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列， （1）求证：285,,a a a 成等差数列； （2）若1473223n n T a a a na -=++++，求n T ．
22.（本小题满分10分）
设函数2
()6f x mx mx m =--+．
（1）若对于[2,2]m ∈-，()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围； （2）若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
高二质量调研试题
理科数学参考答案 2017.11
一、 选择题：ABCBC ADBAD CD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 11 14. {2}a a ≥ 15. }210{≤≤≤x x x 或 16. 23π
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.解：（10
sin c
C
-=，由正弦定理得 sin 0
sin C
C
-=， ……………………………2分
即tan A = …………………………3分 ∴3
π
=
A . …………………………………………………………5分
（2）∵sin sin B C A +=，由正弦定理得b c +=， ……6分
∵2b =20c --=， ………………………………8分 由余弦定理2242a c c =+-， ………………………………9分 两式联立解得1c =或4c =， ………………………………10分 当1=c 时3=a ；当4=c 时32=a . …………………………12分 18. 解：（1）设等差数列的首项与公差分别为1,a d ， ∵23a =，47a =，
∴113,37a d a d +=+=，解得11a =，2d =， …………………………2分 ∴12(1)21(N*)n a n n n =+-=-∈ ，………………………………………3分 ∵数列{}n b 是公比大于1的等比数列且{}{}123,,1,2,4b b b =，
∴11b =，22b =，34b =，………………………………………………4分 ∴11b =，2q =，
∴12(N*)n n b n -=∈； ………………………………………………6分 （2） 由（1）可知1212()()n n n S a a a b b b =++
+++++
(121)12212n
n n +--=+
- ………………………………………………10分 221n
n =+-. ………………………………………………12分
19. 解：（1）由正弦定理及sin 3sin b A a C =，得3ab ac =， ………2分
即3b c =．由3b =，得1c =． ……………………………………………3分
由余弦定理，得222
2cos 6a b c bc A =+-=， …………………………5分
即a = …………………………………………………………………6分
（2） 由2cos 3A =
，得sin 3
A =． ………………………………7分
由1
sin 2
ABC
S
bc A ==，解得6bc =． 由3b c =
，解得b =
c = …………………………………9分 由余弦定理，得2222cos 12a b c bc A =+-=， ………………………10分
即a = …………………………………………………………………11分
由正弦定理，得sin sin b A
B a
=
== ………………12分
20. 解：（1）由题意知，当0x = 时，1m =（万件）， ……………1分 ∴13k =-，2k =，∴2
31
m x =-+， …………………………………2分 每件产品的销售价格为8161.5m
m
+⨯（元）， …………………………3分 ∴2017年的利润8161.5816m
y m m x m
+=⨯
⨯--- ……………7分 16
[
(1)]291
x x =-++++ （0x ≥）. ……………………………………8分 （2） ∵0x ≥
时，
16
(1)81
x x ++≥=+， ………………………9分 ∴82921y ≤-+=，当且仅当
16
11
x x =++， …………………………10分 即3x =（万元）时，max 21y =（万元）． ………………………………11分 故该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．…12分
21.解：（1）由题意，9362S S S =+，显然公比1q ≠，
∴936(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---=+--- ，解得31
2
q =-，………………………………2分 则325221(1)2a a a q a +=+=，68221222
a a q a =⋅=， ………………………………3分 ∴2582a a a +=，
∴285,,a a a 成等差数列. ……………………………………4分 （2）∵31
2
q =-，∴21111
2()3()()2
2
2
n n T a a a na -=+⋅-+⋅-+
+⋅-， …………6分
∴211
1111
()()2()(1)()()22222
n n n T a a n a na --=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-， …………………8分
两式相减，得
2131111
()()()()222
22
n n n T a a a a na -=+⋅-+⋅-++⋅--⋅- …………………9分
1
1()12()121()2
n
n a
na --=-⋅--- …………………10 211
[1()]()322
n n a na =
---⋅-. ……………………………………………………………11分 ∴4
421[()()]9
9
3
2
n n T n a =-+⋅-⋅. ………………………………………………………12分 22. 解：（1） 设22
()6(1)6g m mx mx m x x m =--+=-+-，则()g m 是关于m 的一次函数， ………………………………………………1分
由题意得2
2
(2)2(1)60,
(2)2(1)60
g x x g x x ⎧-=--+-<⎪⎨=-+-<⎪⎩， …………………………………………3分 解得12x -<<，
∴所求得x 的取值范围为{}|12x x -<<． …………………………………………5分 （2） 方法一：
∵2
()1h x x x =-+在区间[1,3]上为增函数， ………………………6分 又2
1
3
()()602
4
f x m x m =-+
-<在[1,3]x ∈上恒成立， ………………………7分 ∴max 0,()(1)60m f x f m <⎧⎨==-<⎩或max 0,()(3)760m f x f m >⎧⎨==-<⎩或max 0,()60m f x =⎧⎨=-<⎩
解得6
7
m <. ………………………………………………10分 方法二：
∵2
2
13
1()02
4
x x x -+=-+
>， ………………………6分 要使2
()(1)60f x m x x =-+-<在[1,3]x ∈上恒成立， 则有26
1
m x x <
-+在[1,3]x ∈上恒成立，
∴min 26
(
)1
m x x <-+． ………………………8分
∵2
()1h x x x =-+在区间[1,3]上为增函数， ∴(1)()(3)h h x h ≤≤，即1()7h x ≤≤，
∴266
617
x x ≥
≥-+， ………………………9分
∴6
7
m <． ………………………10分。