宁河区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

宁河区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
2． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：
＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（0，4）
D ．（4，+∞）
3． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0
，则当
+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A
．
B
．
C
．
或 D ．3
4．
直线的倾斜角是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．﹣i B ．i C ．1 D ．﹣1
6．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
7． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
8． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
9． 已知f （x ）
=，则f （2016）等于（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
10．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）
A．“p∨q”为假B．p假
C．p真D．不能判断q的真假
11．关于x的方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）
A．a≥0 B．﹣1≤a＜0 C．a＞0或﹣1＜a＜0 D．a≥﹣1
12．对于区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f（x）﹣g （x）|≤1，则称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（）
A．[3，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[2，3]
二、填空题
13．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．
14．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则值等于．
15．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．
16．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是．
17．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例
如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：
1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=．
18．等比数列{a n}的前n项和S n＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则a n＝________．三、解答题
19．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；
（Ⅱ）求AC 边的长．
20．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f （x ）＝2x 3－3（a +1）x 2＋6ax ，a ∈R ． （Ⅰ）曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意x ∈（0，+∞），f （x ）＋f （－x ）≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M （a ）、m （a ）， 记h （a ）＝M （a ）－m （a ），求h （a ）的最小值．
21．（本小题满分12分）111]
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .
22．己知函数f （x ）=lnx ﹣ax+1（a ＞0）． （1）试探究函数f （x ）的零点个数；
（2）若f （x ）的图象与x 轴交于A （x 1，0）B （x 2，0）（x 1＜x 2）两点，AB 中点为C （x 0，0），设函数f （x ）的导函数为f ′（x ），求证：f ′（x 0）＜0．
23．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
24．已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0
（1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
宁河区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】 C
【解析】
二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k
当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，
当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，
当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，
当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，
当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，
故展开式中x k的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
2．【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）﹣＞0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．
故选B．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．
3．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
4．【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tanα=，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30°
故选A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
5．【答案】D
【解析】解：由zi=1+i，得，
∴z的虚部为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r×2r＋1
2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，
2πr
即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，
即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，
∴r＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2）×5＝80＋10π.
2π×2
7．【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=，
∴圆的方程为2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．8．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
9．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．10．【答案】B
【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，
∴q为真，p为假；
则p∨q为真，
故选B．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：（1）当a=0时，方程是2x﹣1=0，可知有一个正实根．
（2）当a≠0，当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有实根，△≥0，解可得a≥﹣1；
①当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有一个正实根，有﹣＜0，解可得a＞0；
②当关于x的方程ax2+2x﹣1=0有二个正实根，有，解可得a＜0；，
综上可得，a≥﹣1；
故选D．
【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．
12．【答案】D
【解析】解：∵m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，
∴m（x）﹣n（x）=（x2﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x2﹣5x+7．
令﹣1≤x2﹣5x+7≤1，
则有，
∴2≤x≤3．
故答案为D．
【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】3+．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
14．【答案】．
【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），
所以tanα=﹣2．
===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
15．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
16．【答案】③．
【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，故正确命题的序号是③，
故答案为：③
17．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
18．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
20．【答案】（1）a＝1
2
（2）（－∞，－1－1
e
]．（3）
8
27
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥2
2ln x
x ． 令g （x ）＝
22ln x
x ，x ＞0，则g '（x ）＝()3212ln x x
-．
令g '（x ）＝0，解得x
当x ∈（0g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0
当x ∞）时，g '（x ）＜0，所以g （x ∞）上单调递减．
所以g （x ）max ＝g 1e
， 所以－（a ＋1）≥1e ，即a ≤－1－1
e
，
所以a 的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f （x ）＝2x 3－3（a ＋1）x 2＋6ax ，
所以f ′（x ）＝6x 2－6（a ＋1）x ＋6a ＝6（x －1）（x －a ），f （1）＝3a －1，f （2）＝4． 令f ′（x ）＝0，则x ＝1或a ． f （1）＝3a －1，f （2）＝4．
②当5
3
＜a＜2时，
当x∈（1，a）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；
当x∈（a，2）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．
因为h'（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
所以h（a）在（5
3
，2）上单调递增，
所以当a∈（5
3，2）时，h（a）＞h（5
3
）＝8
27
．
③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，
所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4，
所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5，
所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1．
综上，h（a）的最小值为8
27
．
点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.
试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .
如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .
考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行. 22．【答案】 【解析】解：（1），
令f'（x ）＞0，则
；令f'（x ）＜0，则
． ∴f （x ）在x=a 时取得最大值，即
①当，即0＜a ＜1时，考虑到当x 无限趋近于0（从0的右边）时，f （x ）→﹣∞；当x →+∞时，f
（x ）→﹣∞
∴f （x ）的图象与x 轴有2个交点，分别位于（0，）及（）
即f （x ）有2个零点； ②当，即a=1时，f （x ）有1个零点； ③当，即a ＞1时f （x ）没有零点；
（2）由
得
（0＜x 1＜x 2），
=，令
，设
，t ∈（0，1）且h （1）=0
则
，又t ∈（0，1），∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）＞h （1）=0
即，又，
∴f'（x 0）=
＜0．
【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a ＜1进行研究时，一定要注意到f （x ）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学
生的综合能力有比较高的要求．
23．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈
试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
24．【答案】
【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．。