江苏省盐城市第一初级中学2024届中考四模数学试题含解析

江苏省盐城市第一初级中学2024届中考四模数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到DEF
，则四边形ABFD的周长为（）
A．8 B．10 C．12 D．16
2．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
3．“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（）
A．567×103B．56.7×104C．5.67×105D．0.567×106
4．关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a值为()
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
5
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为1
2
，把△ABO缩小，
则点A的对应点A′的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
7．已知一次函数y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有一个根是0
8．如图，等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC的长度为（）
A．2 B．4 C．25D．45
9．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（）
A．60 B．30 C．240 D．120
10．下列各数中，最小的数是（）
A．﹣4 B．3 C．0 D．﹣2
11．下列计算正确的是（）
A．2x+3x=5x B．2x•3x=6x C．（x3）2=5 D．x3﹣x2=x
12．下列计算正确的是（）
A．2m+3n=5mn B．m2•m3=m6C．m8÷m6=m2D．（﹣m）3=m3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____.
14．关于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有两个实数根，则m满足_____．
15．在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图所示，则x+y的值是_____．
2x 3 2
y ﹣3
4y
16．已知△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E．F分别在边AB、AC上）．当以B．E．D为顶点的三角形与△DEF相似时，BE的长为_____．
17．分解因式：2x2﹣8xy+8y2= ．
18．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P 的坐标；
（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+1
2 E′B
的最小值．
20．（6分）如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm.
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)．
21．（6分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？
22．（8分）如图是某旅游景点的一处台阶，其中台阶坡面AB和BC的长均为6m，AB部分的坡角∠BAD为45°，BC 部分的坡角∠CBE为30°，其中BD⊥AD，CE⊥BE，垂足为D，E．现在要将此台阶改造为直接从A至C的台阶，如果改造后每层台阶的高为22cm，那么改造后的台阶有多少层？（最后一个台阶的高超过15cm且不足22cm时，按一个台阶计算．可能用到的数据：2≈1.414，3≈1.732）
23．（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD 中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2，点P 是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
24．（10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
25．（10分）观察下列多面体，并把下表补充完整.
名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b9 12
面数c 5 8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式.
26．（12分）（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．
27．（12分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH ⊥AC ，且BH=AM ． ①求∠CAM 的度数；
②当FH=3，DM=4时，求DH 的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B 【解题分析】
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC 即可得出答案． 根据题意，将周长为8个单位的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ； 又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1． 故选C ．
“点睛”本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD ，DF=AC 是解题的关键． 2、C 【解题分析】
连接BC ，根据题意PA ，PB 是圆的切线以及P 40∠=︒可得AOB ∠的度数，然后根据OA OB =，可得CAB ∠的度数，因为AC 是圆的直径，所以ABC 90∠=︒，根据三角形内角和即可求出ACB ∠的度数。

【题目详解】 连接BC.
∵PA ，PB 是圆的切线 ∴OAP OBP 90∠∠==︒ 在四边形OAPB 中，
OAP OBP P AOB 360∠∠∠∠+++=︒
∵P 40∠=︒ ∴AOB 140∠=︒ ∵OA OB = 所以180140OAB 202
∠︒-︒
==︒
∵AC 是直径 ∴ABC 90∠=︒
∴ACB 180OAB ABC 70∠∠∠=︒--=︒ 故答案选C.
【题目点拨】
本题主要考察切线的性质，四边形和三角形的内角和以及圆周角定理。

3、C 【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【题目详解】 567000=5.67×105， 【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4、B 【解题分析】
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出：a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可．
【题目详解】
解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
即a≠1，
∴a的值是﹣1．
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，不要漏掉对一元二次方程二次项系数不为0的考虑．
5、B
【解题分析】
本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算.
【题目详解】
①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为2
3
，第二次，摸到白球的概率为
1
2
，则有
211
323
⨯＝；②若
第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为1
3
，第二次摸到白球的概率为1，则有
11
1
33
⨯＝，则两次摸
到的球的颜色不同的概率为112 333 +＝.
【题目点拨】
掌握分类讨论的方法是本题解题的关键.
6、D
【解题分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k，即可求得答案．
【题目详解】
∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为1
2
，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．
【题目点拨】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
7、A
【解题分析】
判断根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
【题目详解】
∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限
∴k>0，b<0
∴△=b2−4ac=(-2)2-4（kb+1）=-4kb>0，
∴方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根，故选A．
【题目点拨】
根的判别式
8、C
【解题分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．
【题目详解】
解：∵点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，
∴AD＝4，
∵等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，
∴BC＝4，
∴CD＝2，
在Rt△ACD中，AC=，
故选：C．
【题目点拨】
此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
9、D
【解题分析】
由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【题目详解】
如图所示，
由tan A＝，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选D．
【题目点拨】
此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
10、A
【解题分析】
有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可
【题目详解】
根据有理数比较大小的方法，可得
﹣4＜﹣2＜0＜3
∴各数中，最小的数是﹣4
故选：A
【题目点拨】
本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小
11、A
【解题分析】
依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．
【题目详解】
A、2x＋3x＝5x，故A正确；
B 、2x•3x ＝6x 2，故B 错误；
C 、（x 3）2＝x 6，故C 错误；
D 、x 3与x 2不是同类项，不能合并，故D 错误．
故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
12、C
【解题分析】
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【题目详解】
解：A 、2m 与3n 不是同类项，不能合并，故错误；
B 、m 2•m 3=m 5，故错误；
C 、正确；
D 、（-m ）3=-m 3，故错误；
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、25°．
【解题分析】
∵直尺的对边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．
14、m≥114
且m≠1． 【解题分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m ﹣1≠0且()()()2
34510m =---⨯-≥，
然后求出两个不等式的公共部分即可．
【题目详解】
解：根据题意得m ﹣1≠0且()()()2
34510m =---⨯-≥， 解得114m ≥
且m≠1． 故答案为: 114m ≥且m≠1． 【题目点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
15、0
【解题分析】
根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【题目详解】
解：根据题意得：23223424232x y x y y x ++=-+⎧⎨++=++⎩，即231x y y ①②
+=-⎧⎨=⎩， 解得：-11x y =⎧⎨=⎩
， 则x +y ＝﹣1+1＝0，
故答案为0
【题目点拨】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16、3或1416313
+ 【解题分析】
以B ．E ．D 为顶点的三角形与△DEF 相似分两种情形画图分别求解即可.
【题目详解】
如图作CM ⊥AB
当∠FED=∠EDB时，∵∠B=∠EAF=∠EDF ∴△EDF~△DBE
∴EF∥CB,设EF交AD于点O
∵AO=OD,OE∥BD
∴AE= EB=3
当∠FED=∠DEB时则
∠FED=∠FEA=∠DEB=60°
此时△FED~△DEB,设AE=ED=x,作
DN⊥AB于N，
则EN=1
2
x
x,
∵DN∥CM，
∴DN BN CM BM
=
∴
3
6
22 43
x x-
=
∴
x
(164
13
=
∴
故答案为3
【题目点拨】
本题考察学生对相似三角形性质定理的掌握和应用，熟练掌握相似三角形性质定理是解答本题的关键，本题计算量比较大，计算能力也很关键.
17、1（x﹣1y）1
【解题分析】
试题分析：1x1﹣8xy+8y1
=1（x1﹣4xy+4y1）
=1（x﹣1y）1．
故答案为：1（x﹣1y）1．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
18、4n+1
【解题分析】
分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．【题目详解】
解：第一个图案正三角形个数为6=1+4；
第二个图案正三角形个数为1+4+4=1+1×4；
第三个图案正三角形个数为1+1×4+4=1+3×4；
…；
第n个图案正三角形个数为1+（n﹣1）×4+4=1+4n=4n+1．
故答案为4n+1．
考点：规律型：图形的变化类．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、(1) y=
3
3
x2﹣
23
3
x；（2）点P坐标为（0，
3
3
）或（0，
43
3
）；（3）
21
2
.
【解题分析】
（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=23
3
，推出当OP=
1
2
OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；
（3）如图，取Q（1
2
，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出
1
2
E Q OE
BE OB
''
==
'
，推出E′Q=
1
2
BE′，推出
AE′+1
2
BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+
1
2
E′B的最小值就是线段AQ的长.
【题目详解】
（1）过点A作AH⊥x轴于点H，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOH=60°，
∴OH=1，AH=3， ∴A 点坐标为：（-1，3），B 点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax 2+bx 得： 3420
a b a b ⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝， 解得：3323
3a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝，
∴抛物线的表达式为：y=
33
x 2-233x ； （2）如图，
∵C （1，3， ∴tan ∠EOC=
3EC OE =， ∴∠EOC=30°，
∴∠POC=90°+30°=120°，
∵∠AOE=120°，
∴∠AOE=∠POC=120°，
∵OA=2OE ，23， ∴当OP=12
OC 或OP′=2OC 时，△POC 与△AOE 相似， ∴343
∴点P坐标为（0，
3
3
）或（0，
43
3
）．
（3）如图，取Q（1
2
，0）．连接AQ，QE′．
∵
1
2 OE OQ OB OE
'
==
'
，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，
∴
1
2
E Q OE
BE OB
''
==
'
，
∴E′Q=1
2 BE′，
∴AE′+1
2
BE′=AE′+QE′，
∵AE′+E′Q≥AQ，
∴E′A+1
2
E′B的最小值就是线段AQ22
321
()(3)
22
+=．
【题目点拨】
本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．
20、(1)3.13cm(2)铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm
【解题分析】
试题分析：（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC 的度数，从而可以求得AB的长；
（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．
试题解析：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°，∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；
（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，
∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．
考点：解直角三角形的应用；探究型．
21、(1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．
【解题分析】
（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【题目详解】
（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，
依题意，得：8100
2
x
＝3×
1800
x
，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；
（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．
设销售单价为y元/瓶，
依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，
解得：y≥1．
答：销售单价至少为1元/瓶．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22、33层．
【解题分析】
根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD和CE的长，二者的和乘以100后除以20即
可确定台阶的数．
【题目详解】
解：在Rt△ABD中，m，
在Rt△BEC中，EC=1
2
BC=3m，
∴
∵改造后每层台阶的高为22cm，
∴改造后的台阶有（×100÷22≈33（个）
答：改造后的台阶有33个．
【题目点拨】
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
23、（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.
【解题分析】
（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明
∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【题目详解】
（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=1
2 BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=1
2 BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=1
2
AC，FG=
1
2
BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．
24、(1) 每台A型100元，每台B 150元;(2) 34台A型和66台B型;(3) 70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大
【解题分析】
（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y=﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y=﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y 随x的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【题目详解】
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
100
150 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥331
3
，
∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，
331
3
≤x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m=50时，m﹣50=0，y=15000，
即商店购进A型电脑数量满足331
3
≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大
而确定y 值的增减情况．
25、8，15，18，6，7；2a c b +-=
【解题分析】
分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n 棱柱的关系，可知n 棱柱一定有（n+1）个面，1n 个顶点和3n 条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a ，b ，c 之间的关系．
详解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 11 棱数b
9 11 15 18 面数c 5 6 7 8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n ，则它有n 个侧面，共有n+1个面，共有1n 个顶点，共有3n 条棱；
故a ，b ，c 之间的关系：a+c-b=1．
点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n 棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n 棱柱有（n+1）个面，1n 个顶点和3n 条棱是解题关键．
26、（1）BC=BD+CE ，（2）10（3）32
【解题分析】
（1）证明△ADB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到BD=AC ，EC=AB ，即可得到BC 、BD 、CE 之间的数量关系;
（2）过D 作DE ⊥AB ，交BA 的延长线于E ，证明△ABC ≌△DEA ，得到DE=AB=2，
AE=BC=4，Rt △BDE 中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD 的长；
（3）过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，证明△CED ≌△AFD ，根据全等三角形的性质得到CE=AF ，ED=DF ，设AF=x ，DF=y ，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出
,x y 的值，根据勾股定理即可求出BD 的长.
【题目详解】
解：（1）观察猜想
结论：BC=BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：22
62210
BD=+=；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则
4
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
3,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：22
3332
BD=+=．
【题目点拨】
考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
27、（1）证明见解析；（2）结论：成立．理由见解析；（3）①30°，②1+5．
【解题分析】
（1）只要证明AB=ED，AB∥ED即可解决问题；（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=1
2
AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH=x，则
AH=3x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出HF HD HA HB
=，
可得3
42
3
x
x
x
=
+
，解方程即可；
【题目详解】
（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI=1
2 BH，
∵BH⊥A C，且BH=AM．
∴MI=1
2
AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则，AD=2x，∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴HF HD
HA HB
=，
42
x
x
=
+
，
解得1，
∴
【题目点拨】
本题考查了四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键能正确添加辅助线，构造特殊四边形解决问题．。