山东省泰安市宁阳县宁阳一中2014届高三上学期第一次段考数学(理)试卷Word版含答案

宁阳一中2011级高三阶段性考试（一）
数学试卷（理）
2013、10
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ,则=B A
（ ）
A ．{-1,0,1,2}
B ．{-1,0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{0,1}
2.幂函数()y f x =的图象经过点(4,
12),则f(1
4
)的值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.下列说法错误的是:
（ ）
A ．命题“若x 2
—4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x≠3,则x 2
-4x+3≠0” B ．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题
D ．命题p :″x R ∃∈,使得"012<++x x ,则p ："01,"2
≥++∈∀x x R x .
4.下列函数求导运算正确的个数为 （ ） ①(3x )′＝3x log 3e ； ②(log 2x )′＝
1
x ·ln 2
； ③(e x )′＝e x ； ④(1
ln x
)′＝x ； ⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5.已知集合{
}
{}
2
21=log 1A x x B x x =＞，＜，则
（ ）
A ．(0,1]
B ．(0,1)
C ．[0,1]
D ．[1,1]-
6.设1
133
3124
log ,log ,log ,23
3a b c ===则a,b,c 的大小关系是 （ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
7.已知函数()2log ,0,2,0.
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩若()1
2
f a =
,则a 等于 （ ）
A ．1-B
C ．1-
D ．1或
8. 若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则a 的取值范围是
（ ）
A ．5
1>
a B ．1a <- C ．511<
<-a D ．5
1
>a 或1-<a 9.已知函数2, 0
(), 0
x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m
的取值范围为 （ ）
A ．1[,1]2-
B ．1[,1)2
-
C ．1
(,0)4
-
D ．1(,0]4
-
10.函数
f(x)=
2
lg x x 的大致图象为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11.已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函
数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f = （ ）
A ．0
B ．2013
C ．3
D ．2013-
12.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3
()(
)4
x f x f x +=+的所有x 之和为 （ ）
A ．3-
B ．3
C ．8-
D ．8
二、填空题：(本大题共4小题，共16分.把答案填在答题卷中相应位置上.)
13.若12
()1f x x
-=+,且(1)(102)f a f a +<-,则a 的取值范围为__ ▲___.
14. 计算定积分⎠⎛－1
1(x 2＋sin x)d x ＝ ▲ ．
15.函数f(x)=ax 3
-3x+1对于x ∈［-1,1］,总有f(x)≥0成立，则a= ▲ ．
16.函数(x)f 的定义域为D,若存在闭区间[a,b]⊆D,使得函数f (x )满足:
(1) f (x )在[a,b]内是单调函数;(2)f (x )在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f (x )的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是____▲___ (只需填符合题意的函数序号)
①2
0f (x )x (x )=≥;②x
f (x )e (x R )=∈; ③10f (x )(x )x =
>;④2401
x
f (x )(x )x =≥+. 三.解答题:(本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.（12分）已知集合}032|{)},(0)1(|{2≤--=∈<--=x x x N R a a x x x M ,若
M
N N =,求实数a 的取值范围.
18.（12分） 已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，
q ：设函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －2a ，（x ≥2a ），
2a ，（x ＜2a ），函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的
取值范围．
19. （12分）对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
20. （12分）已知：二次函数f(x)的两个零点分别为x=1和x=2，且f(x)在（0, f(0)处的切线与直线3x+y=0平行； (Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若α，β是方程f(x)=-ax+1的两个根， 求α2
+β2
的取值范围.
21. （12分）已知：f(x)=
2
1x 2-(a 2
+2)x+(a 2+1)lnx,(a ∈R). (Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极大值与极小值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间.
22. （12分）已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (Ⅰ)求m 的值.
(Ⅱ)若对任意的x ∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2
恒成立，求实数a 的取值范围.
阶段性考试
数学试卷（理）参考答案
2013、10
一、选择题：
1.D
2.B 3C 4.B 5.A 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C 二、填空题： 1
3.53<<a 1
4.3
2
15.4 16.①③④ 三、解答题：
17、（12分）已知集合}032|{)},(0)1(|{2≤--=∈<--=x x x N R a a x x x M ,若
M N N =,求实数a 的取值范围.
解:由已知得{}31|≤≤-=x x N ……………………………………………………2分
N M N N M ⊆∴=⋃,
…………………………………………………………4分
又{})(0)1(|R a a x x x M ∈<--=
①当01<+a 即1-<a 时,集合{}01|<<+=x a x M .
要使N M ⊆成立,只需011<+≤-a ,解得12-<≤-a …………………………7分 ②当01=+a 即1-=a 时,φ=M ,显然有N M ⊆,所以1-=a 符合 ……………8分
③当01>+a 即1->a 时,集合{}10|+<<=a x x M .
要使N M ⊆成立,只需310≤+<a ,解得21≤<-a ……………………………11分 综上所述,所以a 的取值范围是[-2,2]…………………………………………………12分
18.已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x
在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧2x －2a ，（x ≥2a ），2a ，（x ＜2a ），
函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．
解：若p 是真命题，则0＜a ＜1， ……………………………………………………2分 若q 是真命题，则y min ＞1 ………………………………………………………………3分 又y min ＝2a ，∴2a ＞1，∴q 为真命题时a ＞1
2； ………………………………………5分
又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． …………………………………7分 若p 真q 假，则0＜a ≤1
2；………………………………………………………………9分
若p 假q 真，则a ≥1. …………………………………………………………………11分
故a 的取值范围为0＜a ≤1
2或a ≥1. …………………………………………………12分
19. （12分）对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，
树木成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
解 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，
木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ……………………………………………………4分 ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， ………………………………………8分 则M N ＝2
(1＋10%)5
， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以M
N ＞1，即M ＞N ,………………………………………12分
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
20. （12分）已知：二次函数f(x)的两个零点分别为x=1和x=2，且f(x)在（0, f(0)处的
切线与直线3x+y=0平行； (Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若α，β是方程f(x)=-ax+1的两个根， 求α2
+β2
的取值范围.
解：(Ⅰ)∵x=1,x=2是函数f(x)的两个零点
∴设f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x 2
-3x+2) ……………………………………………………3分 ∴f ′(x)=a(2x-3), …………………………………………………………………………4分 又f(x) 在（0, f(0)处的切线与直线3x+y=0平行，
∴f ′(0)=-3a= -3，∴a=1 ………………………………………………………………5分 ∴f(x)=x 2
-3x+2；…………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由f(x)=-ax+1得x 2
+(a-3)x+1=0
∴由∆=(a-3)2
-4=a 2
-6a+5≥0得a ≤1或a ≥5………………………………………… 8分 又∵α，β是方程x 2
+(a-3)x+1=0的两个根
∴α+β=a-3,αβ=1………………………………………………………………………9分 ∴α2
+β2
=(α+β)2
-2αβ=(a-3)2
-2
=a 2
-6a+7,( a ≤1或a ≥5) ………………………………………………………………10分 ∴α2
+β2
∈[2,+∞)
∴α2
+β2
的取值范围是[2,+∞). ………………………………………………………12分
21. （12分）已知：f(x)=
2
1x 2-(a 2
+2)x+(a 2+1)lnx,(a ∈R). (Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极大值与极小值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为（0，+∞）…………………………………………………………1分
(Ⅰ)当a=1时，f(x)=
2
1x 2
-3x+2lnx f ′(x)=x-3+x 2=x
x x )
2)(1(--,(x>0) ……………………………………………………3分
由f ′(x)=0得x=1或x=2…………………………………………………………………4分 则x 变化时, f ′(x),f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)极大值= 2
-
f(x)极小值=-4+2ln2………………………………………………………6分 (Ⅱ) f ′(x)=x-(a 2
+2)+x a 12+=x
a x x )
1)(1(2---,(x>0) (8)
分
①当a=0时，f ′(x)=
0)1(2
≥-x
x ， ∴f(x)的单调递增区间为（0，+∞）；…………………………………………………9分 ②当a ≠0时，
由f ′(x)>0得，x>a 2+1或0<x<1, 由f ′(x)<0得，1<x< a 2+1,
∴f(x)的单调递增区间为（0，1）,( a 2+1,+∞),
单调递减区间为（1 ，a 2+1)， …………………………………………………………11分 由①②得： 当a=0时，
f(x)的单调递增区间为（0，+∞）； 当a ≠0时，
f(x)的单调递增区间为（0，1）,( a 2+1,+∞),
单调递减区间为（1 ，a 2+1)……………………………………………………………12分 22. （14分）已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; (Ⅰ)求m 的值.
(Ⅱ)若对任意的x ∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2
恒成立，求实数a 的取值范围.
解: (Ⅰ)()1
f x 1.x m
'=-
+ ……………………………………………………………1分 由于函数f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
所以函数f(x)在x=1处取得极小值，……………………………………………………3分 所以f ′(1)=0，即1
101m
-
=+，
因此m=0. ……………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x-1-ln x.
若a ≤0，取x=2，则f(x)=1-ln 2>0不满足f(x)≤a(x-1)2
，因此必有a>0 ……6分 不等式f(x)≤a(x-1)2
， 即为x-1-ln x ≤a(x-1)2，
所以a(x-1)2
-x+1+ln x ≥0在x ∈［1,+∞)上恒成立.
令g(x)=a(x-1)2-x+1+ln x, ……………………………………………………………7分
则g ′(x)=2a(x-1)-1+1x
=22ax 2ax x 1
x --+
()1
2a(x )x 12a .x -
-= ①当111a 2a 2≤≥即时，当x>1时，有g ′(x)>0恒成立，即g(x)在［1,+∞)上单调递
增，…………………………………………………………………………………………9分 g(x)在［1,+∞)上的最小值为g(1)=0，
故g(x)≥g(1)=0在x ∈［1,+∞)上恒成立， …………………………………………10分
②当11
10a 2a 2
><<即时， 由()()1
2a(x )x 112a g x 01x x 2a --'=<<<可得，
即函数g(x)在1
(1,)2a
上单调递减， …………………………………………………12分
又g(1)=0， 所以当x ∈(1,
1
2a
)时，g(x)<0， 因此g(x)≥0在x ∈［1,+∞)上不能恒成立. …………………………………………13分
综上，实数a 的取值范围是1
.2
+∞［，） ………………………………………………14分。