…辽宁师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年度上学期期末考试高二试题
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ）
A ．y =
B ．1
3
y x =± C ．3y x =± D ．y = 2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）
A ．命题P
B ．命题Q ⌝
C ．命题P Q ∨
D ．命题P Q ⌝∨ 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，
1
2
，2ab 中最大的数为（ ） A ．a B ．2ab C ．
1
2
D ．无法确定 4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要 D ．既不充分也不必要条件
5.下列选项错误的是（ ）
A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”
B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；
C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，2
010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题
6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，5642a a a =+，则6a 的值是（ ）
A ．1
B ．2 C.．4
7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，
1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）
A ．1122a b c -++
B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．11
22
a b c ++
8.已知抛物线2
14
y x =
，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(35)A ，
，则PA PF +的最小值为（ ）
A ．5
B ．6 C.7 D ．8
9.已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ⇔∥∥；②1212v v l l ⊥⇔⊥；③
12n n αβ⇔∥∥；④12n n αβ⊥⇔⊥，其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C.3 D ．4
10.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）
A ．221325y x +=
B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369
x y +=
11.设x ，y 满足约束条件1x y a x y +⎧⎨--⎩
≥≤，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）
A ．5-
B ．3 C.5-或3 D ．5或3- 12.函数1
y x
=
的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）
A ．0r <．0r <<
C.0r <<．0r <<第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 ．
14.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒，1AB =，2AC =，3AP =，则
AB AP AC ++= ．
15.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是 ．
16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =，22
1132n n n n S a S a ++-=，则数列
{}n a 的通项公式为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在等差数列{}n a 中，26a =，420S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
(12)
n n b n a =
-（*n N ∈），12n n T b b b =++
+（*n N ∈）
，求n T 18. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，
AA '，C D ''的中点.
（1）求证：EF ∥平面GHD ； （2）求直线EF 与BD '所成的角.
19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点. （1）求证：“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.
20. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===.直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.
（1）求证：AC AB ⊥；
（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （3）是否存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP ？请说明理由. 21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB .A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；
（2）若动点Q 为椭圆M ：22143
x y +=外一点，
过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD .C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程. 22.已知抛物线2C ：22x py =（0p >）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭
圆1C ：22
221x y a b
+=（0a b >>2C 的焦点.
（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；
（2）过定点3
(1)2
M -，引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B
作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为
D .
①求点D 的轨迹方程；
②设点1
(0)4
E ，，求EPQ △的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标.
2017-2018学年度上学期期末考试高二试题
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC
二、填空题
13.
1
2 14.5 15.4 16.21122n n n a n -=⎧=⎨⎩
，，≥ 三、解答题
17.解：设{}n a 的公差为d ，由题意得11
64620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得182a d =⎧⎨=-⎩
得82(1)102n a n n =--=- （2）∵2111
(12)(1)1
n n b n a n n n n =
==--++
123n n T b b b b =+++
+=111
11(1)()()22311
n
n n n -+-+
+-=
++ 18.（1）证明：以D 为原点O ，建立空间直角坐标系[;]O DA DC DD '，， 由已知条件可得
(000)D ，，，1(10)2G ，，，1(01)2H ，，，1(10)2E ，，，1(01)2
F ，，
11(1)22EF =-，，，1(10)2DG =，，，1
(01)2DH =，，
EF DH DG =-，又有EF ⊄平面GHD
所以EF ∥平面GHD
（其它证法酌情给分，但要注意“EF ⊄平面GHD ”） （2）如（1）问建系，(110)B ，
，，(001)D '，， (111)BD '=--，，，11
(1)22EF =-，，
cos EF BD EF BD EF BD '⋅'=
=
'
，11
(1)(1)(1)1
-⨯-+⨯-
+⨯
= 所以EF BD '
=， 即求直线EF 与BD '所成的角19.证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线24y x =于点11()A x y ，，22()B x y ， 当直线
l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，
直线l
与抛物线相交于点(3A ，、(3B -，，∴3OA OB ⋅=- 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠ 由24(3)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =- 又∵21114x y =
，222
14x y =，∴2121212121
()316
OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=- 综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题. （2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点， 如果3OA OB ⋅=-，那么直线l 过点(30)T ，， 该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点(12)A ，，(12)B -，.此时3OA OB ⋅=- 直线AB 的方程为1x =，而(30)T ，不在直线AB 上.
20.解：（1）由已知190A AC ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11AA B B
AC ⊂平面11ACC A ，平面11ACC
A 平面111AB
B A AA =
所以AC ⊥平面11ABB A 又AB ⊂平面11ACC A 所以AC AB ⊥
（2）由（1）可知AC ，AB ，1AA 两两垂直.
分别以AC ，AB ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示
.
由已知1112AB AC AA A B ===1122A C ==
所以(000)A ，，，(020)B ，，，(200)C ，，，1(012)B ，，，1(002)A ，，
因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点. 所以(110)M ，，，3(01)2
P ，，
易知平面ABM 的一个法向量(001)m =，， 设平面APM 的一个法向量为()n x y z =，，
由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
取2y =，得(223)n =--，，
由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，
所以cos 17m n m n m n
⋅=
==⋅，
（3）存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP
设111()P x y z ，，，且1BP BB λ=，[01]λ∈，，则111(2)(012)x y z λ-=-，，，，
所以10x =，12y λ=-，12z λ=.所以(022)AP λλ=-，， 设平面AMP 的一个法向量为0000()n x y z =，，，
由0000
n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩
取01y =，得02
(11)2n λλ
-=-，，
（0λ=不符合题意） 又1(202)AC =-，，若1AC ∥平面AMP ，则10AC n ⊥ 所以10220AC n λλ-⋅=--
=，所以2
3
λ= 所以存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP
21.解：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形 所以点P 在以O 为圆心，
OP 长为半径的圆上，且OP OA = 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）动点Q 的轨迹是一个圆 设两切线1l ，2l
①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00()Q x y ，，则02x ≠± 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1
k
-，
1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22
143
x y +=
得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--= 因为直线与椭圆相切，所以0=△，得
2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=
化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++=
进而2200()(34)0y kx k --+=
所以2220
000(4)230x k x y k y --+-= 所以k 是方程222
000(4)230x k x y k y --+-=的一个根. 同理1k
-是方程222
000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根. 所以202031()4
y k k x -⋅-=-，得22
07x y +=，其中02x ≠± ②当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥
轴，可知(2P ±，，满足上式， 综上知：点P 的轨迹方程为227x y += 22.解：（1）∵抛物线2C 的通径长为4 ∴24p =，得2p =
∴抛物线2C 的方程为24x y = ∵抛物线2C 的焦点(01)，
在椭圆1C 上 ∴
2
11
b =，得2
1b = ∵椭圆1C
的离心率为c e a ===
∴24a =
∴椭圆1C 的方程为2
214
x y +=
（2）设2
11()4x A x ，，200()4
x B x ，
其中A B x x ≠，0A x <，0B x > ∵点A 、M 、B 三点共线
∴22
33424211
A B A B x x x x --=++
∴60A B A B x x x x +++=（*）
设切线1l 的方程为2
()4
A
A x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ，得
22
440A A x kx kx x -+-=，由0=△，可得2
A
x k =
即2
24
A A
x x y x =- 同理可得，切线2l 的方程为2
24
B B
x x y x =- 联立两方程解得，点D 坐标为(
)24
A B A B
x x x x +， ①设点()D x y ，，则2A B x x x +=，4A B x x y = 代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++= ②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：
2234
4(1)4160A A A x x x x x +-+-=
∴321A
P Q A x x x x +=+，4
2
164(1)
A P Q A x x x x -=+
∴PQ
=
∵点E 到切线1l
的距离为2
d ==
∴EPQ △的面积为
2
12S =
∴当2
8A
x =
，A x =-S
此时，由（*
）可得B x = ∴点D
坐标为
倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。

面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。

在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临…
许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流…
秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。

偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。

斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。

在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。

窗外，是未被污染的银白色世界。

我会去迎接，这人间的圣洁。

在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。

When you are old and grey and full of sleep,
And nodding by the fire, take down this book,
And slowly read, and dream of the soft look
Your eyes had once, and of their shadows deep;
How many loved your moments of glad grace,
And loved your beauty with love false or true,
But one man loved the pilgrim soul in you,
And loved the sorrows of your changing face;
And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled
And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.。