2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析) 2)

2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. （）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则（）
A. 5
B. 3
C.
D.
4. 已知向量，则（）
A. B. C. D.
5. 若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 角终边上有一点，，则（）
A. B. C. D. 1
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
8. 已知f（x）=+a+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）
A. -26
B. -18
C. -10
D. 10
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
10. 给定集合，，定义，若，
，则集合中的所有元素之和为（）
A. 15
B. 14
C. 27
D.
11. 已知是单位向量，，若平面向量满足，
且，则（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
12. 已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则__________．
14. 若，则__________．
15. 幂函数的图象过点，则=__________.
16. 函数的定义域为R，满足，且当时，
，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数．
（1）求定义域；
（2）若，求的值．
18. 已知函数是R上的奇函数，且．
（1）求a，b；
（2）用函数单调性定义证明在R上是增函数．
19. 已知.
（1）求与的夹角为θ；
（2）求；
（3）若＝，＝，求△ABC的面积．
20. 设函数图象关于直线对称，其中
．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；
21. 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数
的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．（二）选考题：共10分．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22. 已知集合，，且，求实数的取值范围.
23. 若时，的值总不大于零，求实数k的取值范围．
南充市2020-2021学年度上期高中一年级教学质量监测
数学试卷（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集定义求解即可．
【详解】由题意，
故选：C.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简求值即可．
【详解】
故选：B
3. 已知函数，则（）
A. 5
B. 3
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，代入准确计算，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得.
故选：D.
4. 已知向量，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量坐标公式求解即可．
【详解】，
故选：A
5. 若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先讨论，根据函数单调性，判定不满足题意；再讨论，结合图形，即可判定出结果.
【详解】当时，在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意；
当时，根据函数有两个不同零点，可得方程有两个不等实根，
即函数与直线有两不同零点，指数函数恒过点；直线过点，作出函数与的大致图象如下：
因为，所以点在的上方，因此时，与必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；
综上.
故选：B.
点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6. 角的终边上有一点，，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，角的终边上有一点，则
，
当时，根据三角函数的定义，可得；
当时，根据三角函数的定义，可得，
综上，.
故选：C
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度【答案】D
【解析】
因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数
的图象，所以，为了得到函数
的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.
8. 已知f（x）=+a+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）
A. -26
B. -18
C. -10
D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
令+a+bx，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】令+a+bx，由函数奇偶性定义，函数为奇函数，
则，
所以，
得，
又函数是奇函数，即，
所以，
则.
故选：A
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为，
由.
故选：C.
10. 给定集合，，定义，若，
，则集合中的所有元素之和为（）
A. 15
B. 14
C. 27
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的新定义，分别表示出符合的集合的元素，再求和即可
【详解】由题可知，，，
当时，时，
当时，时，
当时，时，
所以，元素之和为15
故选A
【点睛】本题考查对新定义的理解，元素与集合的关系，解题关键在于不遗漏的取值，正确算出，属于基础题
11. 已知是单位向量，，若平面向量满足，
且，则（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
对两边都与、求数量积，所得两个式子相加即可求解.
【详解】因为，所以，即①，
因为，所以，即②，
两式相加可得：，所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将两边都与、求数量积即可利用已知条件的数据得出关于和的两个方程.
12. 已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为偶函数便可求出m＝0，从而，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.
【详解】∵为偶函数；
∴；
∴；
∴得，得
∴；
∴在上单调递增，并且，
∵；
∴．
故选：D
【点睛】方法点晴：对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间上，根据单调性去比较函数值大小．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
因为，则，代入坐标求解即可求出答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：1.
14. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于，可得，然后由诱导公式可得
，最后写出结果即可
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由角的关系得出
，进而利用诱导公式进行计算.
15. 幂函数的图象过点，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令x ＝-3即可得到f（-3）的值．
【详解】设f（x）＝xa，因为幂函数图象过，
则有＝2a，∴a＝-2，即f（x）＝x-2，
∴f（-3）＝(-3)-2＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式的问题，考查了求幂函数的函数值，属于基础题.
16. 函数的定义域为R，满足，且当时，
，若对任意的，都有，则m的取值范
围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
由此作出图象如图所示，由图知当时，令
，
整理得：，
解得：或，
要使对任意的，都有，必有，
所以m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）若，求的值．
【答案】（1）且；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由，解不等式可得定义域；
（2）时，将代入求值即可．
【详解】（1）由，解得且
故的定义域为且
（2）若，
18. 已知函数是R上的奇函数，且．
（1）求a，b；
（2）用函数单调性的定义证明在R上是增函数．
【答案】（1），；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据函数是奇函数，得到，根据求出，再验证函数奇偶性，即可得出结果；
（2）任取，作差比较与，根据函数单调性定义，即可得出结论.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以
，则；
又，所以，则，此时，所以是奇函数，满足题意；故，；
（2）任取，则显然成立，即
，
所以在R上是增函数.
【点睛】方法点睛：
定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
19. 已知.
（1）求与的夹角为θ；
（2）求；
（3）若＝，＝，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得，根据向量夹角公式求得，结合角的范围，求得结果；
（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；
（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.
【详解】（1）因为，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又0≤θ≤π，所以.
（2）
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以；
（3）因为与的夹角，
所以∠ABC＝.
又，
所以S△ABC＝.
【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.
20. 设函数的图象关于直线对称，其中
．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由函数图象关于直线对称，可得的值，进而得出函数的最小正周期；
（2）由函数的图象过点，求出的值，由，结合正弦函数的图象和性质得出函数的值域．
【详解】（1）函数的图象关于直线对称，
则，解得
又，则当时，
即，的最小正周期为；
（2）函数的图象过点，
则，解得
故
，，
则，
在上的值域为．
21. 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数
的图象过点．
（1）求解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）待定系数法即可求解
（2）将方程变形，分解因式，分析实数根的个数.
【详解】（1）设，由可得
，
故
（2）令
故
即，故
即，
故①
当时，，
故有两实根，且不为和
有一根，为
故有三实数根
故有三个零点.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
（二）选考题：共10分．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22. 已知集合，，且，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
时，要分类讨论，分和讨论．
【详解】∵，
∴当时，，即，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论．
23. 若时，的值总不大于零，求实数k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意得，进而得在上恒成立，在求函数最小值即可得答案.
【详解】解：根据题意得在上恒成立，∴在上恒成立．
∵，∴，∴，所以，
∴，
∴．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立
（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. （）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则（）
A. 5
B. 3
C.
D.
4. 已知向量，则（）
A. B. C. D.
5. 若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 角终边上有一点，，则（）
A. B. C. D. 1
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
8. 已知f（x）=+a+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）
A. -26
B. -18
C. -10
D. 10
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
10. 给定集合，，定义，若，，则集合中的所有元素之和为（）
A. 15
B. 14
C. 27
D.
11. 已知是单位向量，，若平面向量满足，且
，则（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
12. 已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记
，则（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则__________．
14. 若，则__________．
15. 幂函数的图象过点，则=__________.
16. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数．
（1）求定义域；
（2）若，求的值．
18. 已知函数是R上的奇函数，且．
（1）求a，b；
（2）用函数单调性定义证明在R上是增函数．
19. 已知.
（1）求与的夹角为θ；
（2）求；
（3）若＝，＝，求△ABC的面积．
20. 设函数图象关于直线对称，其中．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；
21. 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数的图象过点
．
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．
（二）选考题：共10分．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22. 已知集合，，且，求实数的取值范围.
23. 若时，的值总不大于零，求实数k的取值范围．
南充市2020-2021学年度上期高中一年级教学质量监测
数学试卷（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用交集定义求解即可．
【详解】由题意，
故选：C.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简求值即可．
【详解】
故选：B
3. 已知函数，则（）
A. 5
B. 3
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，代入准确计算，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得.故选：D.
4. 已知向量，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量坐标公式求解即可．
【详解】，
故选：A
5. 若函数（且）有两个不同零点，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先讨论，根据函数单调性，判定不满足题意；再讨论，结合图形，即可判定出结果.
【详解】当时，在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意；
当时，根据函数有两个不同零点，可得方程有两个不等实根，即函数与直线有两不同零点，指数函数恒过点；直线过点，作出函数与的大致图象如下：
因为，所以点在的上方，因此时，与必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；
综上.
故选：B.
点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6. 角的终边上有一点，，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，角的终边上有一点，则，
当时，根据三角函数的定义，可得；
当时，根据三角函数的定义，可得，
综上，.
故选：C
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.
8. 已知f（x）=+a+bx-8，且f（-2）=10，那么f（2）等于（）
A. -26
B. -18
C. -10
D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
令+a+bx，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】令+a+bx，由函数奇偶性定义，函数为奇函数，
则，
所以，
得，
又函数是奇函数，即，
所以，
则.
故选：A
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
9. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为，
由.
10. 给定集合，，定义，若，，则集合中的所有元素之和为（）
A. 15
B. 14
C. 27
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的新定义，分别表示出符合的集合的元素，再求和即可
【详解】由题可知，，，
当时，时，
当时，时，
当时，时，
所以，元素之和为15
故选A
【点睛】本题考查对新定义的理解，元素与集合的关系，解题关键在于不遗漏的取值，正确算出，属于基础题
11. 已知是单位向量，，若平面向量满足，且
，则（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
对两边都与、求数量积，所得两个式子相加即可求解.
【详解】因为，所以，即①，
因为，所以，即②，
两式相加可得：，所以，
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将两边都与、求数量积即可利用已知条件的数据得出关于和的两个方程.
12. 已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记
，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为偶函数便可求出m＝0，从而，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.
【详解】∵为偶函数；
∴；
∴；
∴得，得
∴；
∴在上单调递增，并且，
∵；
∴．
故选：D
【点睛】方法点晴：对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间
上，根据单调性去比较函数值大小．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，且，则__________．
【答案】1
【解析】
因为，则，代入坐标求解即可求出答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：1.
14. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于，可得，然后由诱导公式可得
，最后写出结果即可
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由角的关系得出，进而利用诱导公式进行计算.
15. 幂函数的图象过点，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令x＝-3即可得到f（-3）的值．【详解】设f（x）＝xa，因为幂函数图象过，
则有＝2a，∴a＝-2，即f（x）＝x-2，
∴f（-3）＝(-3)-2＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式的问题，考查了求幂函数的函数值，属于基础题.
16. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
由此作出图象如图所示，由图知当时，令，
整理得：，
解得：或，
要使对任意的，都有，必有，
所以m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）若，求的值．
【答案】（1）且；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由，解不等式可得定义域；
（2）时，将代入求值即可．
【详解】（1）由，解得且
故的定义域为且
（2）若，
18. 已知函数是R上的奇函数，且．
（1）求a，b；
（2）用函数单调性的定义证明在R上是增函数．
【答案】（1），；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据函数是奇函数，得到，根据求出，再验证函数奇偶性，即可得出结果；
（2）任取，作差比较与，根据函数单调性定义，即可得出结论.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，则；
又，所以，则，此时，所以是奇函数，满足题意；故，；
（2）任取，则显然成立，即，
所以在R上是增函数.
【点睛】方法点睛：
定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
1.取值：任取，，规定，
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
19. 已知.
（1）求与的夹角为θ；
（2）求；
（3）若＝，＝，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件中的式子展开，利用公式求得，根据向量夹角公式求得，结合角的范围，求得结果；
（2）利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，从而求得结果；
（3）根据向量所成角，求得三角形的内角，利用面积公式求得结果.
【详解】（1）因为，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又0≤θ≤π，所以.
（2）
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以；
（3）因为与的夹角，
所以∠ABC＝.
又，
所以S△ABC＝.
【点睛】该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量数量积，向量夹角公式，向量的平方和向量模的平方是相等的，三角形面积公式，属于简单题目.
20. 设函数的图象关于直线对称，其中．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象过点，求在上的值域；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由函数图象关于直线对称，可得的值，进而得出函数的最小正周期；
（2）由函数的图象过点，求出的值，由，结合正弦函数的图象和性质得出函数的值域．
【详解】（1）函数的图象关于直线对称，
则，解得
又，则当时，
即，的最小正周期为；
（2）函数的图象过点，
则，解得
故
，，
则，
在上的值域为．
21. 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数的图象过点
．
（1）求解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）待定系数法即可求解
（2）将方程变形，分解因式，分析实数根的个数.
【详解】（1）设，由可得
，
故
（2）令
故
即，故
即，
故①
当时，，
故有两实根，且不为和
有一根，为
故有三实数根
故有三个零点.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
（二）选考题：共10分．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．
22. 已知集合，，且，求实数的取值范围.【答案】
【解析】
【分析】
时，要分类讨论，分和讨论．
【详解】∵，
∴当时，，即，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集．因此需分类讨论．23. 若时，的值总不大于零，求实数k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意得，进而得在上恒成立，在求函数最小值即可得答案.
【详解】解：根据题意得在上恒成立，∴在上恒成立．
∵，∴，∴，所以，
∴，
∴．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合(图象在上方即可)；
③讨论最值或恒成立.。