精选平面向量压轴填空题

1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝_____________ 【答案】2
7- 解析：
2
7
)(21)()()()(-
=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅
2.
0,31=⋅=
=，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m
n
等于
【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈得
A
B
C
P
Q
⎩⎨⎧==⇒+=n
y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而0
30=∠AOC 故n m x y 330tan 0==
法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈两边同乘或得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅⇒=⋅=⇒=⋅n n m
m 333两式相除得3=n m 3. 在△ABC 中，若4=∙=∙，则边AB 的长等于 22 解析：4=∙=∙88)(2
=⇒=+⇒
4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________)1,3
2(
解
析
：
=+=
+=3
2
λ )()(31
n m t +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31
)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,3
2(3132∈+=+t μλ A
B
G
P G ’
P ’
5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22
OA BC
+=22
OB CA +=
2
2
OC AB +，则点O 是ABC ∆的 心 垂心
解
析：
2
2
OA BC +=2
2
OB CA +=0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA 02=⋅⇒，可知AB OC ⊥，其余同理
6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()112
2=+-c b 则→BC ·→AO 的取值 范围 ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡2,41-
解
析
：
()112
2=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b
)(2
1
22cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR -=⋅-⋅=-=⋅-=⋅βα ∈--=-=41)21(22b b b ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡2,41-
7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，
33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____
3
2
解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所
以
2
)()(=+⋅++⋅，即
22
=⋅+⋅+⋅+。

因为12
=，
A
B
C
O
α
β
11
33236
133133-=⨯⨯-+⨯
⨯=⋅，BF BE -=，所以21)(1=--⋅+AB AC BF ，即
2=⋅。

设与的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θ，即3cos θ=2，所以
3
2
cos =θ
8. 已知向量α,β,γ满足||1α=,||||αββ-=,()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意β,m n -的最小值是
2
1 解
析
：
数
形
结
合
.
α=,=,-=,,=
BD CD BD CD ⊥⇒-=-=,，
点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而2
1
121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.
9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．
2
3 解析：本题和8完全相同。

数形结合，具体参见8
10. 设21,e e 是夹角为0
60的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可
11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则⋅的最大值为________2
A
B
C
D
B
解
析
：
12s i n
))((+=++θ
12. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0
120。

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若y x +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是___2 解析：
13)(2222222
=-+=-+=⋅++=xy y x xy y x xy y x 2
2)2
(
3131)(y x xy y x +⋅+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)2
3,21(),0,1(-
==则 )23,21(y y x -
=，则满足11)2
3()21(222=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2
1
21≥-≥-
y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则2
2
)1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==
),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x
13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M
为的中点，点
P 在CD BC 与上运动（包括端点）
，则∙的取值范围是 ]1,2
1
[- 解析：分两种情形，结合图形分析。

（1）当P 在BC 上时，+=，则
]1,2
1
[211∈-=⋅+⋅=⋅BP ；同理，当P 在CD 上时，
]2
1
,21[2121-∈+-=⋅DM DM AP
14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是 [)716，
解析：PM PN ⋅ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅
==322
36
2cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2
(
2
=+≤b a ab ，PM PN ⋅732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅
732≥-=ab ；同时86106<⇒+-=+<a a b a ，当8=a 时16=ab ，故16>ab ，
PM PN ⋅1632<-=ab
另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决
15. 已知||4,||6,O A O B O C x O A y O B ===+且21x y +=，AOB ∠是钝角，若
()||f t OA tOB =-
的最小值为||OC 的最小值是
37
解析：',,'B A C y x ⇒+=共线，用几何图形解）()||f t OA tOB =-
的最小值为为A 到OB 的距离，易得0
120=∠AOB ，要使||OC 最小，则'AB OC ⊥，利用面积法可求得
16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 12
解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,2
1(),1,1(θθ=-== 由
AC DE AP
λμ=+得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 2
1
， O
B
B ’
A
C
32
1
sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++⋅=++-=
+θ
θθ
θθθθμλ，令
]2,0[,s i n
c o s 2s i
n 1)(πθθθθθ∈++=
f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=
θθθθθf ，故)(θf 最小值为2
1)0(=
f ，μλ+最小值为21
17. 已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2+=，则
⋅=________3
解
析
：
如
图
2+=2=⇒，⋅=
3120cos 214)(02
=⨯⨯+=⋅+=⋅+
18. 已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M
N=________{})62,46(
解析：15'
5242'
4231=⇒⎩⎨
⎧+=++-=+λλλλλ
19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒
，AB =
，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中
点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当1
2
PM PN ⋅=-时，
AM
MB
=______3 解析：))((AN PA AM PA PN PM ++=⋅
P
A
C
C
A
D
E B
20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1, 则()()
CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 227
解析：
(
)()
CA CD CA CE ⋅⋅27
2
cos sin 21cos sin 21cos 2142232≤
==⋅=A A A A CA A CA CD 21. 已知
A ，
B ，C
是平面上不共线上三点，动点
P
满足
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的
______________重心
解析：设重心为G ，3
2)(3
)2(3
λ
λ
λ
=
+=
⇒-+-
= λ=，故P G C ,,三点共线
22. 已知点O 为ABC ∆
24==,则=∙BC AO 6 解析：61
224cos 2cos 4)(=⋅-⋅
=∠-∠=-=⋅R
R R R BAO R CAO R 23. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程
01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____
4-<λ或122--=λ
解析：令x t sin =则01)1(22
=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知
0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ
又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ
24. O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+2AB AB Sin ABC λ⎛
+
∠⎝
2AC
AC Sin ACB ⎫
⎪⎪⎪
∠⎭
,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过
∆ABC 的______心
内心
解析：设高为AD ，则AD 1
+
=λ显然成立
25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y =，(),0OA a =，()0,OB a =，()3,4OC =，记PA 、
PB 、PC 中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是
_____)
7⎡-+∞⎣
≥，即x y ≥
，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点
A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线
的抛物线，其方程为)
2(8)3(2
-=-y x ,它交直线x y =于点P )627,627(--，
显然此时
=，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627-
法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢？实际上就是当P 为ABC ∆
==M =的最小值，因为当P
不是外心时，
至少有一个会变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14225,14225(22----a a a a ,
==最小，则圆与坐标轴相切，此时
a a a =--14
225
2627-=⇒a 26. 已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+且，则x y +的值为 _________ .
23
, 解析：延长AI 交BC 于点'I ,则
AI 3
2
313223+=+== 27. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，
则角B 的大小为__________60°
解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解
28. 平面内两个非零向量,
1=，且α与-的夹角为0
135
的取值
范围是_________]2,0(
利用
正弦定理得，45sin 10=)43,0(πθ∈
29. 在ABC ∆中，2,1==AC AB ，O 为ABC ∆外接圆的圆心，则=⋅____
2
3
解析：
2
(2)(2)(=⋅-⋅=-⋅
2
3)2
=
-AE 30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则C ∠= ．135 解析：3450OA OB OC +-=2
2
2
2524169=⋅++⇒
090=∠⇒===AOB r OC OB OA
A
B
C O
D
E
31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆
A
的任意一条直径，记T ＝→
→∙CQ BP ,则T 的最大值为 ．22
解析：设,的夹角为θ，注意到由余弦定理知060=∠CAB ，故→
→∙CQ BP ⋅+⋅+⋅+⋅=++=))((θcos 14884)(60cos 380+=⋅+=--⋅+⨯⨯]22,6[-∈
32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，
则AC AD ⋅=____________3
33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、
△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1
法一：延长OB,OC 至B ’,C ’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ∆重心，然后由
面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，
⎩
⎨⎧=-=-+0620632y b x c a 3:1:3=⇒=⇒∆∆ABC AOC S S y b 34.已知A.B.C 是△ABC 的三个顶点，ABC AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2为
_________________三角形. 直角三角形 解：注意到2=⋅+⋅,故0=⋅CA BC 35.平面上的向量PB PA ,满足422=+，且0=⋅,若向量3
231+=
的最大值为___________ A
B
C
P Q
3
4916)34(912≤⇒≤+=PB ，即A P ,重合时. 36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),21,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足0OQ OP ON OP OM OP ⋅≤⋅≤≤⋅≤则.10,1的最大值为
解析：即已知⎩
⎨⎧≤≤≤+≤10120y y x 求y x 32+最大值问题，线性规划问题. 37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= . 解析：
BC AB AH μλ+=2
1，两边同数乘得μλ3=；两边同数乘AB 得368=-μλ 解方程组得3261,21=+⇒==μλμλ 38. 如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CA CB ==，
若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 _．3
1
解析：39632=⨯=，下面求 -⋅+⋅=-⋅-=⋅)()()( (])()([7)(⋅+++⋅-=⋅+⋅=
]4[7][72⋅+⋅+-=⋅-⋅+⋅+- =]22
14[7+⋅-
-，解方程得2=⋅
39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角等于 ； 解析：3
π 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。

()()A B A E
A C A F A
B A B B E A
C A B B F ⋅+⋅=⋅++⋅+ 1A B B E A C A B A C B F
=+⋅+⋅+⋅ EF 与BC 的夹角EF 与BC 的夹角∵BE BF =-，
C
∴AB AE AC AF ⋅+⋅1()AC AB BF AC AB =+-⋅+⋅
12BC BF AC AB =+⋅+⋅=
而在等腰△ABC 中，作底边的高CD ，则在Rt △ACD 中由已知边长可得
1
12cos 24
CAB ∠==，设EF 与BC 的夹角为α。

∴1||||cos ||||cos 2BC BF AC AB CAB α+⋅+⋅∠=，
从而1cos 2α=，又0απ<<，∴3
πα=。

40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 重合，若
2AB =，30CBD ∠=，AD mAB nAC =+，
则m n - ＝ .-1
解析：AD mAB nAC =+两边分别同乘,分别得到 n AC AD m AB 4,4=⋅=⋅4)()(4-=⋅+=⋅=-⇒n m
41.在ABC ∆中，若I 是其内一点，满足=⋅+⋅+⋅c b a ，求证：I 为内心 证明：)()(0)()(b
c bc IA c b a AC IA c AB IA b IA a +=++⇒=++++⋅ b AC c AB bc c b a +=++⇒，注意到b
AC c AB ,是单位向量，则I 在角平分线上，同理可得I 是内心.
42. 已知向量,,满足条件：0OA OB OC ++=，且OA OB OC ===2，点P 是∆ABC 内一动点，则=⋅+⋅+⋅ 18 .
43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外
的点D ，若B nO A mO C O +=，则n m +的取值范围是 （-1,0）
解析：设)1(-<=λλ
B nO A mO
C O +=OB n OA m O
D λλ+=⇒，由于D B A ,,共线
)0,1(1
1-∈=+⇒=+λλλn m n m
44.如图，n m +=，点P
n m ,满足的条件是___________1>+n m ，0,0>>n m
解析：设AP 与BC 交与点'P ，)1(>=λλ )(1'n m +=λ，1>=+λn m
45. 在△ABC 中，π6A ∠=
，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 12
5π 解析：22||||AB AD BD DC =+⋅0)()(=⋅+⇒⋅=⋅+⇒DC AC AB DC BD DB AD AB
说明AD 是BC 边中垂线，得AB=AC
46. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外
的三角形ABC 区域内的动点，若CB CA CP μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为 π4
121-。