江西省萍乡市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题

江西省萍乡市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题
一、选择题
1．设集合{}2,?
3,?4A =，2
{|20}B x x x =->，则A B =( )
A ．{4}
B ．{}2,?3
C ．{}3,?4
D ．{}2,?
3,?4 2．
1
1
||d x x -=⎰（ ）
A ．0
B ．
1
2
C ．1
D ．2
3．如图是孝感市今年3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．则此人停留的两天中恰有一天空气质量优良的概率为（ ）
A.
213
B.
413
C.
613
D.
713
4．已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数()f x '的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是().
（1）()()();f a f e f d >>
（2）函数()f x 在[],a b 上递增，在[]
,b d 上递减 （3）()f x 的极值点为c ，e （4）()f x 的极大值为().f b A ．(1)(2)
B ．(2)(3)
C ．(3)
D ．(1)(4)
5．若函数()2
1
f x x x
=+，则()'1(f -= ) A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9项和9T 为 ( ) A.20
B.80
C.166
D.180
7．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)(0)m n n <，且(,)m n 中只有一个整数，则实数a 的取
值范围是（ ） A ．2
21[
,)3e e
B ．
2
21
,)3e e
（ C ．2
21[
,)32e e
D ．2
21,32e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
8．椭圆2
2
1(0,0)ax by a b +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率
b a 的值为( )
A.
3
B.2
C.
2
D.
27
9．设，，，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
10．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（ ）
A.80
B.82
C.82.5
D.84
11．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =
m 的值为（ ）
A.3
B.3或
25
3
12．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A.
49
B.
29
C.
12
D.
13
二、填空题
13．双曲线的方程22
142
x y k k +=--，则k 的取值范围是______．
14．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是________．
15．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ． 16．已知随机变量(
)2
~100,,(80100)0.4X N P X σ<=…，则P(X>120)=___________
三、解答题 17．如图，在三棱柱
中，四边形是菱形，四边形
是正方形，
，
，
，点
为
的中点.
（1）求证：平面； （2）求点
到平面
的距离.
18．已知函数
．
当时，求
在
处的切线方程；
讨论的单调性．
19．已知函数．
(1)当时，取得极值，求的值． (2)当函数
有两个极值点
时，总有
成立，
求m 的取值范围．
20．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式有解，求实数m 的取值范围. 21．已知函数．
（1）求函数的单调区间. （2）若把
向右平移
个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.
22．已知函数2
()3ln .f x x x x =--
(1)求()f x 的图象在点()()
1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在1[,3]2
上的最大值与最小值。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题
13．4k >或2k <
14．1 2
15．
3
16．0.1
三、解答题
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，由中位线定理可得BF∥GH，从而得证；
（2）由点H为AF的中点，可知点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，再利用
，即可得解.
【详解】
(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，
则GH为△ABF的中位线，
所以BF∥GH，
又BF平面CDG，GH⊂平面CDG，
所以BF∥平面CDG.
(2)由点H为AF的中点，且点平面CDG可知，
点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，
由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，
由题意得，，
所以，
在△CDG中，，
设点A到平面CDG的距离为h，则，
由得，，
所以点F到平面CDG的距离为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）代入的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围及相应的导数的符号，求出函数的单调区间即可；
【详解】
（1）当时，，
，，又，
故切线方程为，即．
（2）函数的定义域是，
，
当时，，故在为减函数；
当时，若，则；若，则，
故在上为减函数；在上为增函数．
综上，时，在为减函数；
时，在上为减函数；在上为增函数．
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：⑴求导后，代入，取得极值，从而计算出的值，并进行验证(2)由函数有两个极值点算出，继而算出，不等式转化为，构造新函数，分类讨论、、时三种情况，从而计算出结果
解析：（Ⅰ），，则
检验时，，
所以时，，为增函数；
时，，为减函数，所以为极大值点
（Ⅱ）定义域为，有两个极值点，则在上
有两个不等正根
所以，所以
.所以，所以
这样原问题即且时，成立
即
即
即，即
且
设
①时，，
所以在上为增函数且，
所以，时，不合题意舍去.
②时，同①舍去
③时
（ⅰ），即时可知，在上为减函数且，
这样时，，时，
这样成立
（ⅱ），即时分子中的一元二次函数的对称轴开口向下，且1的函数值为
令，则时，，为增函数，
所以，故舍去
综上可知：
点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参，从有极值点
这个条件出发推导出参量及的取值范围，在求解的范围时注意分类讨论，本题综合性较强，题目
有一定难度
20．（1）；（2）
【解析】
分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；
（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可．
详解：（1），
当时，得；当时，得；当时，得，
综上可得不等式的解集为.
（2）依题意，
令.
∴，解得或，即实数的取值范围是.
点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：
（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立
；
（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立．
21．（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为
，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向
右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.
【详解】 （Ⅰ）
，
由 得， 增区间是：，
由 得 减区间是：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 把
向右平移
个单位得到函数
，
，
因为
，
所以，
，
故所在区间
上的最大值为1，
最小值为.
【点睛】
本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如
，
的函数求值域，分两步：（1）
求出
的范围；（2）由
的范围
结合正弦函数的单调性求出
，从而可求出函数的值域.
22．（1）22y x =-+；（2）63ln3- 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出()1f '的值，作为切线的斜率，并计算出()1f ，再利用点斜式写出切线的方程； （2）利用导数分析函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

【详解】
（1）
()2
3ln f x x x x =--，()()2323
210x x f x x x x x
--∴=--=>，
所以，函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线的斜率为()12k f ='=-，
()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，
即22y x =-+；
（2）()()()212323x x x x f x x x +---∴==，1,32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦。

当13,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>。

所以，()min 33
33ln 24
2f x f ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭， 因为113ln 224f ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
，()363ln3f =-， 所以，()2
111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->
⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 所以，函数()y f x =在1
,32⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为63ln3-。

【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。