高数积分总结

()()()()()()()()()()01
lim n
b i i a i b
a f x dx f x
f x dx F b F a x λξ→=⎧⎪⎪=∆⎪⎪⎪=-⎨∑⎰⎰问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程积分定义：计算方法:几何意义:连续曲线与轴所围曲边梯形面积的代数和
一元定积分物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来()()()()()01,lim ,==,n
i i i i D D
f x y d f d dxdy d rdrd D f x y d λσξησσσθσ
→=⎧⎪⎪=∆⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
∑⎰⎰⎰⎰问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量积分定义：计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下，在极坐标下二重积分几何意义:以为底，为曲顶柱体的体积的代数和
物理意义：
应用几何：求平面图形的面积应用物理()()()()012,,lim ,,=cos ,sin ,,=sin cos ,sin sin ,cos ,=sin n
i i i i i f x y z dv f v
dv dxdydz x r y r z z dv rdrd dz x r y r z r dv r drd d λξηζθθθϕθϕθϕϕθϕ
→=Ω
⎧⎪=∆======⎨∑⎰⎰⎰问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题
积分定义：计算方法:直角坐标 柱面坐标三重积分球面坐标定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
()()()()()(
)
0011,lim ,,,,lim ,,,,====n n
i i i i i i i i i L L
f x y ds f s
f x y z ds f s
L f x y ds ds dx ds dy ds dt ds λλξηξηζ→→===∆=∆∑∑⎰⎰问题引例：曲线形构件的质量积分定义：计算方法:用路径函数化简化为一元定积分弧长元素对弧长的曲线积分第一型曲线积分()()d θ
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
几何意义、物理意义应用几何应用物理()()()()()()()01,,lim ,,,,,,,n
i i i i i Dxy
f x y z dS f S
f x y z dS f x y z x y dxdy λξηζ→=∑
∑⎧⎪⎪=∆⎪⎪
⎪⎨=⎡⎪⎣⎪⎪
⎪⎪⎩
∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰问题引例:曲面不均匀薄片的质量积分定义：计算方法:1、投影，2、代入，3、转换
对面积的曲面积分第一型曲面积分应用几何：计算曲面面积应用物理
()()()()()()()()()()01
0011lim ,,,lim ,,,lim ,,,n
i i i i i i i n n
i i i i i i L L i i L W P x Q y P x y dx P x Q x y dy Q y P x y dx Q x y dy y x λλλξηξηξηξη→=→→===∆+∆⎡⎤⎣⎦=∆=∆+∑∑∑⎰⎰⎰问题引例：变力沿曲线作功积分定义：积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将化为第二型曲线积分两种曲线积分的关系：()()Pdx Qdy Pcos Qcos ds Pdx Qdy Rdz Pcos Qcos Rcos ds cos cos cos αβαβγαβγΓΓΓΓ
⎧
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+=+⎪⎪++=++⎪⎪
⎪⎩
⎰⎰⎰⎰其中，，是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦()()()()',,0,2,,P x y dx Q x y dy u u =C u u u P u Pdx y Pdx y Q x y ϕϕ+=⎧⎪⎪⎪⎪∂∂⎨⎡⎤==+=+=⎪⎣⎦∂∂⎪⎪⎪⎩⎰⎰1、定义：如果一阶微分方程的左端恰好是某一个二元函数的全微分，此时方程的通解为因此全微分方程的关键就是求、求解方法：全微分方程①不定积分法：②凑微分法③积分因子法：见笔记
()()()()()()()()()010
1=lim ,,,,,,lim ,,,,,,n i i i zy i i i xz i i i xy i n
i i i zy i i i xz i i i xy i v d S P S Q S R S Pcos Qcos Rcos dS
P S Q S R S Pdy λλξηζξηζξηζαβγξηζξηζξηζ∑→=∑
→=Φ∆+∆+∆=++∆+∆+∆=⎰⎰∑⎰⎰∑问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题积分定义：对坐标的曲面积分第二型曲面积分dz Qdxdz Rdxdy ∑
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨++⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎩⎰⎰第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算
)))()(),123L D A B
Q P Pdx Qdy dxdy L D x y Q P
L D L x y Pdx Qdy P x,y Q x,y G ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭∂∂∂∂+⎰⎰⎰⎰格林定理：①曲线正向的定义；②为的取正向的边界曲线
应用格林公式应注意：曲线必须封闭；、在内每点具有一阶连续偏导；为正向曲线格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关四个等价命题：在一个单连通区域内，函数、在内有一阶连续偏导
则下面四个命题等价：()=0,,L L
Q P
Pdx Qdy Pdx Qdy u x y du Pdx Qdy x y
⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎪
⎪∂∂+=+=+⎪∂∂⎩⎰⎰①；②；③与路径无关；④存在函数使
()++++=,P Q R P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dV x y z P Q R Pcos Qcos Rcos dS dV x y z cos cos cos A d S divA αβγαβγ∑
Ω∑Ω
Ω∑Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫
∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭∑ΩΦ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数、、在上具有一阶连续偏导，则高斯公式通量散度其中是的外侧，、、是点出法向量的方向余弦通量与散度：++P Q R
x y z ∑⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪
⎪⎪
∂∂∂⎪=⎪∂∂∂⎩
⎰⎰L P,Q,R R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y A A d s A R rot A y ∑Γ∑ΓΓ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ΓΓ∂-∂⎰⎰⎰⎰斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,具有一阶连续偏导斯托克斯公式环流量与旋度环流量与旋度：向量场沿有向闭曲线的曲线积分称为沿的环流量旋度：=Q P R Q P i j k
z z x x y ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
()
()()()()()1=,,,,0,L L L dS dS f x y ds f y z ds f x z ds L z z z f x y ∑
∑
=⎧⎪
⎨⎪==⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分应用归纳几何应用：
1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做
2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做
3、曲面的面积:?—牟合方盖的表面积柱面面积——牟合方盖的表面积该柱面以为准线，母线平行于轴，介于与曲面之间的部分
4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做
()()
()()()()()()()
()()1=;f P M f P d ρΩ
⎫⎧⎪⎪⎪⎪
⨯⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎫⎧⎪⎪
⨯⎨⎬⎪⎪⎩⎭
⨯=Ω
⎰物理应用：、质量
平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分
空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分()2:
、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。

规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。

质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。

与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。

值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。

形心——面的形心
就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。

()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,D
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L
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L L x dv y dv x x y d y x y d x y dv dv x y x y d x y d x d y d x y d d x x y ds y x y ds x y x ds y ds x y ds x y ds x y ds ds ρρρσρσρρρσρσρσρσρσρσρρρρρρρρ⎧
⎧⎪=
=⎪⎪=
=⎪⎪
⎪==⎨
⎨⎪⎪==⎪==⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰质心的计算：引入了静力矩的概念块：薄片:平面空间面片:曲线杆:曲杆:()()()()2222203,,,
x D
y D
D
I Mr I y x y d I x x y d I x y x y d ρσ
ρσ
ρσ
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰、转动惯量：定义：。