【6套合集】广东广东实验中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（）
A．a2•a3B．a12﹣a6C．（a3）3D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7 7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓
形BmC的面积为S
1、S
2
、S
3
，则它们之间的关系是（）
A．S
1＜S
2
＜S
3
B．S
2
＜S
1
＜S
3
C．S
1
＜S
3
＜S
2
D．S
3
＜S
2
＜S
1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD
＝22°30′，则⊙O 的半径为 cm ．
16．如图，将直线y ＝x 向下平移b 个单位长度后得到直线l ，l 与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象相交于点A ，与x 轴相交于点B ，则OA 2﹣OB 2的值为 ．
17．若一次函数y ＝（1﹣2m ）x +m 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，y 1＜y 2，且与y 轴相交于正半轴，则m 的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE ．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为27°，前进12米到达B 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为39°，斜坡BD 的坡i ＝1：2.4，BD 长度是13米，GE ⊥DE ，A 、B 、D 、E 、G 在同一平面内，则博物馆高度GE 约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题
19．（6分）计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|
20．（6分）求不等式组的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点
A（x
1，0），B（x
2
，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．
26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、不能进行计算，故本选项错误；
C、（a3）3＝a9，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
5．解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴2＜﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
6．解：∵|a|＝3，
∴a＝±3；
∵b2＝16，
∴b＝±4；
∵|a+b|≠a+b，
∴a+b＜0，
∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；
（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，
a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；
∴代数式a﹣b的值为1或7．
故选：A．
7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
9．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
10．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
＝；
∴S
扇形AOC
S
＝．
扇形BOC
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S
△OBC ＝，S
弓形
＝＝，＞＞，
∴S
2＜S
1
＜S
3
．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二．填空题
13．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，
所以可得：4π＝，
解得：r＝6，
故答案为：6
15．解：连结OB，如图，
∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝BE＝2（cm）．
故答案为：2．
16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，
代入y＝得：x﹣b＝，
即x2﹣bx＝5，
y ＝x ﹣b 与x 轴交点B 的坐标是（b ，0），
设A 的坐标是（x ，y ），
∴OA 2﹣OB 2
＝x 2+y 2﹣b 2
＝x 2+（x ﹣b ）2﹣b 2
＝2x 2﹣2xb
＝2（x 2﹣xb ）
＝2×5＝10，
故答案为：10．
17．解：∵当1＜2时，y 1＜y 2，
∴函数值y 随x 的增大而增大，
∴1﹣2m ＞0，
解得m ＜
∵函数的图象与y 轴相交于正半轴，
∴m ＞0，
故m 的取值范围是0＜m ＜
故答案为0＜m ＜
18．解：如图，延长CF 交GE 的延长线于H ，延长GE 交AB 的延长线于J ．设GE ＝xm ．
在Rt △BDK 中，∵BD ＝13，DK ：BK ＝1：2.4，
∴DK ＝5，BK ＝12，
∵AC ＝BF ＝HJ ＝1.6，DK ＝EJ ＝5，
∴EH ＝5﹣1.6＝3.4，
∵CH ﹣FH ＝CF ，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴x＝12.6≈13（m），
故答案为13．
三．解答题
19．解：
（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，
所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，
选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；
补全统计图如图所示；
（2）5500×40%＝2200人；
（3）根据题意画出树状图如下：
所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B 和D 的有2种可能，即BD 和DB ，
P （同时选择B 和D ）＝．
23．解：（1）设现场购买每张电影票为x 元，网上购买每张电影票为y 元．
依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m 元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45﹣m ）[（600+
）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+
）（1﹣）
整理得：16m 2﹣120m ＝0
m （16m ﹣120）＝0
解得m 1＝0（舍去） m 2＝7.5 答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；
（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．
24．（1）证明：连接OC ． （1分）
∵OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝∠OCA ．
∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OCE ＝90°． （2分）
∵AE ⊥CE ，
∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°．
∴OC ∥AE ．
∴∠OCA ＝∠CAD ．
∴∠CAD ＝∠BAC ． （4分）
∴．
∴DC ＝BC ． （5分）
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°．
∴BC＝＝3．（6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC．（7分）
∴．
∴，．（8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝．（10分）
25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，
∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，
则BC ＝MC ＝1，则BO ＝BC ＝，同理OC ＝，
OA ＝2﹣＝，
则点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），
则函数的表达式为：y ＝a （x +）（x ﹣）＝a （x 2+x ﹣），
即﹣a ＝﹣，解得：a ＝，
则函数表达式为：y ＝
x 2+x ﹣；
（3）y ＝ax 2+bx +c ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt ，
则x 1+x 2＝mt ﹣3，x 1x 2＝﹣3mt ，
AB ＝x 2﹣x 1＝
＝|mt +3|≥|2t +n |，
则m 2t 2+6mt +9≥4t 2+4tn +n 2， 即：（m 2﹣4）t 2+（6m ﹣4n ）t +（9﹣n 2）≥0，
由题意得：m 2﹣4＞0，△＝（6m ﹣4n ）2﹣4（m 2﹣4）（9﹣n 2）≤0，
解得：mn ＝6，
故：m ＝3，n ＝2或m ＝6，n ＝1．
26．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F
∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3
∴A （0，3）
∴直线AB 解析式为y ＝x +3
∵点P 在线段AB 上方抛物线上
∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）
∴F （t ，t +3）
∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∴S
△PAB ＝S
△PAF
+S
△PBF
＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t
∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t
1＝1（舍去），t
2
＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t
1＝，t
2
＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（）
A．B．﹣C．D．﹣2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（）
A．a2•a3B．a12﹣a6C．（a3）3D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7 7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓
形BmC的面积为S
1、S
2
、S
3
，则它们之间的关系是（）
A．S
1＜S
2
＜S
3
B．S
2
＜S
1
＜S
3
C．S
1
＜S
3
＜S
2
D．S
3
＜S
2
＜S
1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD ＝22°30′，则⊙O的半径为cm．
16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为．
17．若一次函数y ＝（1﹣2m ）x +m 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，y 1＜y 2，且与y 轴相交于正半轴，则m 的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE ．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为27°，前进12米到达B 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为39°，斜坡BD 的坡i ＝1：2.4，BD 长度是13米，GE ⊥DE ，A 、B 、D 、E 、G 在同一平面内，则博物馆高度GE 约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题
19．（6分）计算：
（1）sin30°﹣
cos45°+tan 260° （2）2﹣2+
﹣2sin60°+|﹣
|
20．（6分）求不等式组
的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票
的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点
A（x
1，0），B（x
2
，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．
26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、不能进行计算，故本选项错误；
C、（a3）3＝a9，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
5．解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴2＜﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
6．解：∵|a|＝3，
∴a＝±3；
∵b2＝16，
∴b＝±4；
∵|a+b|≠a+b，
∴a+b＜0，
∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；
（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，
a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；
∴代数式a﹣b的值为1或7．
故选：A．
7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
9．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
10．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
＝；
∴S
扇形AOC
S
＝．
扇形BOC
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S
△OBC ＝，S
弓形
＝＝，＞＞，
∴S
2＜S
1
＜S
3
．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二．填空题
13．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，
所以可得：4π＝，
解得：r＝6，
故答案为：6
15．解：连结OB，如图，
∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝BE＝2（cm）．
故答案为：2．
16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，
代入y＝得：x﹣b＝，
即x2﹣bx＝5，
y ＝x ﹣b 与x 轴交点B 的坐标是（b ，0），
设A 的坐标是（x ，y ），
∴OA 2﹣OB 2
＝x 2+y 2﹣b 2
＝x 2+（x ﹣b ）2﹣b 2
＝2x 2﹣2xb
＝2（x 2﹣xb ）
＝2×5＝10，
故答案为：10．
17．解：∵当1＜2时，y 1＜y 2，
∴函数值y 随x 的增大而增大，
∴1﹣2m ＞0，
解得m ＜
∵函数的图象与y 轴相交于正半轴，
∴m ＞0，
故m 的取值范围是0＜m ＜
故答案为0＜m ＜
18．解：如图，延长CF 交GE 的延长线于H ，延长GE 交AB 的延长线于J ．设GE ＝xm ．
在Rt △BDK 中，∵BD ＝13，DK ：BK ＝1：2.4，
∴DK ＝5，BK ＝12，
∵AC ＝BF ＝HJ ＝1.6，DK ＝EJ ＝5，
∴EH ＝5﹣1.6＝3.4，
∵CH ﹣FH ＝CF ，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴x＝12.6≈13（m），
故答案为13．
三．解答题
19．解：
（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，
所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，
选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；
补全统计图如图所示；
（2）5500×40%＝2200人；
（3）根据题意画出树状图如下：
所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B 和D 的有2种可能，即BD 和DB ，
P （同时选择B 和D ）＝．
23．解：（1）设现场购买每张电影票为x 元，网上购买每张电影票为y 元． 依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m 元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45﹣m ）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+
）
（1﹣）
整理得：16m 2﹣120m ＝0 m （16m ﹣120）＝0 解得m 1＝0（舍去） m 2＝7.5
答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元． 24．（1）证明：连接OC ． （1分） ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ． ∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OCE ＝90°． （2分） ∵AE ⊥CE ，
∴∠AEC ＝∠OCE ＝90°．
∴OC ∥AE ． ∴∠OCA ＝∠CAD ．
∴∠CAD ＝∠BAC ． （4分） ∴
．
∴DC ＝BC ． （5分）
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°．
∴BC＝＝3．（6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC．（7分）
∴．
∴，．（8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝．（10分）
25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，
∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，
则BC ＝MC ＝1，则BO ＝BC ＝，同理OC ＝，
OA ＝2﹣＝，
则点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣
），
则函数的表达式为：y ＝a （x +）（x ﹣）＝a （x 2+x ﹣）， 即﹣a ＝﹣
，解得：a ＝
，
则函数表达式为：y ＝x 2+x ﹣；
（3）y ＝ax 2+bx +c ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt ， 则x 1+x 2＝mt ﹣3，x 1x 2＝﹣3mt ，
AB ＝x 2﹣x 1＝
＝|mt +3|≥|2t +n |，
则m 2t 2+6mt +9≥4t 2+4tn +n 2，
即：（m 2﹣4）t 2+（6m ﹣4n ）t +（9﹣n 2）≥0，
由题意得：m 2﹣4＞0，△＝（6m ﹣4n ）2﹣4（m 2﹣4）（9﹣n 2）≤0， 解得：mn ＝6，
故：m ＝3，n ＝2或m ＝6，n ＝1．
26．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0） ∴
解得：
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3 ∴A （0，3）
∴直线AB 解析式为y ＝x +3 ∵点P 在线段AB 上方抛物线上 ∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0） ∴F （t ，t +3）
∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∴S
△PAB ＝S
△PAF
+S
△PBF
＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t
∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t
1＝1（舍去），t
2
＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t ∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t
1＝，t
2
＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（）
A．B．﹣C．D．﹣2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（）
A．a2•a3B．a12﹣a6C．（a3）3D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7 7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓
形BmC的面积为S
1、S
2
、S
3
，则它们之间的关系是（）
A．S
1＜S
2
＜S
3
B．S
2
＜S
1
＜S
3
C．S
1
＜S
3
＜S
2
D．S
3
＜S
2
＜S
1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD ＝22°30′，则⊙O的半径为cm．
16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为．
17．若一次函数y ＝（1﹣2m ）x +m 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，
y 1＜y 2，且与y 轴相交于正半轴，则m 的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE ．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为27°，前进12米到达B 处测得博物馆楼顶G 点的仰角为39°，斜坡BD 的坡i ＝1：2.4，BD 长度是13米，GE ⊥DE ，A 、B 、D 、
E 、G 在同一平面内，则博物馆高度GE 约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°
≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题 19．（6分）计算： （1）sin30°﹣cos45°+tan 260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣
|
20．（6分）求不等式组的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票
的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点
A（x
1，0），B（x
2
，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．。