《直线和圆的位置关系》第1课时示范课教学设计【九年级数学下册北师大】

第三章圆
3.6直线和圆的位置关系
第1课时
一、教学目标
1．经历探索直线与圆的位置关系的过程，了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2．掌握切线的概念；探索切线与过切点的半径之间的关系.
二、教学重点及难点
重点：1．直线与圆的三种位置关系的理解．2．切线的性质的运用．
难点：切线的性质的证明及应用．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
《太阳从地平线升起》动画，.
五、教学过程
【情境导入】
在太阳升起的过程中，太阳和地平线位置关系是怎样的？
作一个圆，将直尺的边缘看出一条直线.固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
教师活动：教师播放动画，引出课题．
学生活动：学生观察、体会，初步感知直线和圆的位置关系．
设计意图：结合太阳升起的几个瞬间，引出课题的同时向学生初步展示直线和圆的位置关系，从而初步感知直线和圆的位置关系．
【探究新知】
可以发现，直线和圆有三种位置关系：（1）如图，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；
（2）如图，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．
（3）如图，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
设计意图：从生活中直线和圆的位置关系的实例引出直线和圆的三种位置关系，使学生实现了从感性认识到理性认识转化．
想一想如图，圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系？你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
师生活动：教师出示问题，学生根据以前学过的“点和圆的位置”思考、讨论，最后得出答案．
答：直线和圆相交⇔d＜r；直线和圆相切⇔d=r；直线和圆相离⇔d＞r．
设计意图：实现了直线和圆的位置关系与数量关系的相互转化．
议一议（1）请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例．
（2）下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
（3）如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同得出答案．答：（1）如筷子放在碗上的位置关系可以看成是相交，火车车轮和铁轨的位置关系可以看成是相切，晾衣杆放在脸盆旁边的位置关系可以看成是相离．
（2）是轴对称图形；对称轴是过圆心O且与直线l垂直的直线．
（3）AB⊥CD；理由可以用两种方法来说明：方法1，由于该图是轴对称图形，AB所在的直线是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC=∠BAD=90°；
方法2，假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD（如图），垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．
结论：圆的切线垂直于过切点的半径．
设计意图：由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究并得出结论．【典例精析】
例已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm，AC=4 cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，学生完成解题过程．教师引导：根据d与r间的数量关系可知：当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离．
解：（1）如图，过点C作AB的垂线，垂足为D．
∵AC=4 cm，AB=8 cm，∴
1
cos
2
AC
A
AB
==．∴∠A=60°．
∴CD=AC sin A=4sin60°=(cm)．
因此，当半径长为时，AB与⊙C相切．
（2）由（1）可知，圆心C到AB的距离d=cm，所以当r=2 cm时，d＞r，⊙C与AB相离；当r=4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力． 【课堂练习】
1．已知⊙O 的半径为3 cm ，圆心O 到直线a 的距离为2 cm ，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．
A ．相离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
2．已知⊙O 的半径为R ，直线l 和⊙O 有公共点，若圆心到直线l 的距离是d ，则d 与R 的大小关系是（ ）．
A ．d ＞R
B ．d ＜R
C ．d ≥R
D ．d ≤R
3．已知⊙O 的半径为3 cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ）．
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交、相切、相离都有可能 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，BC =4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 长为半径作圆，则AB 和⊙C 的位置关系是（ ）．
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．相切或相交 5．如图，已知∠AOB =30°，M 为OB 边上的一点，以点M 为圆心，2cm 为半径作⊙M ．若点M 在OB 边上运动，则当OM =________cm 时，⊙M 与OA 相切．
6．如图，一枚直径为d 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？
7．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD =∠C ．
O
A
（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE=8，tan A=3
4
，求OD的长．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案
1．C．2．D．3．D．4．B．5．4．6．πd．
7．（1）证明：∵BC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°．
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°．
∴∠ADO=90°，即OD⊥AC．
（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE的中点．
∴AD=1
2
AE=4．
又∵tan A=3
4
，∴OD=3．
设计意图：让学生在探究的过程中，进一步加深对本节课重点知识的认识，培养学生的应用意识和能力．
六、课堂小结
1．直线和圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时，这条直线叫做圆的割线．
直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切，这个唯一的公共点叫做切点．
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．利用圆心到直线的距离d和半径r的数量关系判断直线和圆的位置关系
（1）直线和圆相交⇔d＜r；
（2）直线和圆相切⇔d=r；
（3）直线和圆相离⇔d＞r．
3．圆的切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计
3.6直线和圆的位置关系（1）
1．直线和圆的位置关系
2．直线和圆相交⇔d＜r；
直线和圆相切⇔d=r；
直线和圆相离⇔d＞r．
3．圆的切线的性质。