2025届云南省峨山彝族自治县峨山一中数学高三第一学期期末经典模拟试题含解析

2025届云南省峨山彝族自治县峨山一中数学高三第一学期期末经典模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383
B ．57171
C ．59189
D ．61242
3．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
4．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种
B ．240种
C ．480种
D ．600种
5．M 是抛物线2
4y x =上一点，N 是圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最
小值是（ ）
A 1-
B 1
C ．1
D ．
32
6．在复平面内，复数2i
i
z -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个
面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则1
2
r r =
（ ） A ．
51
2
- B ．32- C ．212
-
D ．23-
8．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．22
D ．6
9．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 10．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方
程为（ ）
A ．22
1520x y -=
B ．22
1205
x y -=
C ．22
1169
x y -
= D ．22
1916
x y -=
11．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A ．28π
B ．7π
C ．14π
D ．21π
12．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为1
2
得等比数列，则3a 等于（ ）
A ．64
B ．32
C ．2
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()12x f x =-的定义域是__________．
14．已知实数x ，y 满足约束条件3312
x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩
，则y
z x =的最小值为______.
15．设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点()(),(),,()a f a b f b -的一次函数与x 轴的交点为(),0c ，且a b c 、、互不相等，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b .当
()f x =_________()0x >时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数ab .（只需写出一个符合要求的函数即可）
16．已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量,a b 满足||||1a b ==，且1
2
a b ⋅=
，(,1)c m m =-，(,1)d n n =-，存在,a b ，对于任意的实数,m n ，不等式||||a c b d T -+-≥，则实数T 的取值范围是______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值.
18．（12分）已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R . （1）若1a b c ===，求不等式()5f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：
()149
18a b c a b b c c a
++>+++++.
19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且过点()
0,3.
()1求椭圆C 的方程；
()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，
①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值. 20．（12分）已知函数()()2
ln 12
a x f x x =++
. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，()'f x 为()f x 的导函数，设()()1212
'18
x m f x f x +=+⋅+，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值. 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数）．以平面直角坐标系的原
点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin 3ρθ=
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）设1C 和2C 交点的交点为,A B ，求AOB ∆ 的面积．
22．（10分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，
()44,F x y 两点，已知
1234
1111
y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于
5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.
()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以
222222
2cos cos sin 25
2sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()
()()()
2
2
2a b a c b c a c a c b c b c
-=---=
---⋅-+-=
=≥当且仅当m n =时取得最小值，此时由22
482cos 2sin m n m n θθ+=++得
()
22482sin cos 48sin
4m m πθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为48-，即
2
248m =-，2240m +-=，解得m =所以当且仅当54
m n π
θ===
时a b -有最小值为
6=.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 2、C 【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835
n ≤. 故该数列各项之和为5857
582335591892
⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列的应用，属基础题。

3、D 【解析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2
n k k
n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下(1)
123(1)2
k k k ⨯-+++⋯⋯-=
件邮件，
则(21)(1)
()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=
-=-，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 4、B 【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】
将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：211
532
3
310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4
424A =种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题. 5、C 【解析】
求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的
对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解. 【详解】 如下图所示：
设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，
则12
1022
211
a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，
所以，圆()()2
2
121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2
231x y -+=，
设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()
2
24222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
当2y =±时，MC 取最小值22min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题. 6、C 【解析】
化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数222(2)(2)12i i i
z i i i i i
--=
==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 7、D 【解析】
由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】
根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则
1
222132AC O F r AO ===
=，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此(
)
13131r +=-，
得123r =-，所以1
223r r =-.
故选：D 【点睛】
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养 8、A 【解析】
作出可行域，由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a z y x b b =-
+.当直线22a z y x b b
=-+过可行域内的点()1,1B 时，z 最大，可得22a b +=.再由基本不等式可求416a b +的最小值.
作出可行域，如图所示
由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a z y x b b
=-+. 平移直线22a z y x b b =-
+，当直线过可行域内的点B 时，2z
b
最大，即z 最大，最大值为2. 解方程组3200x y x y --=⎧⎨
-=⎩，得()1
,1,11
x B y =⎧∴⎨
=⎩. 22(0,0)a b a b ∴+=>>.
22224164424424248a b a b a b a b +∴+=+≥⨯===，
当且仅当244a b =，即1
2,1222a a b a b b =⎧=⎧⎪
⎨⎨+==⎩⎪⎩
时，等号成立.
416a b ∴+的最小值为8.
故选：A . 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题. 9、D 【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据平移法则得到答案. 【详解】
设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++， 根据图像：1,0A b ==，
43124
T πππ
=-=，故T π=，即2ω=，
sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
函数向右平移6
π
个单位得到sin 2y x =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 10、A 【解析】
根据直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到
2b a =，再求双曲线方程.
【详解】
因为直线l ：210y x =+过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，
所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，
所以25a =，220b =，
所以双曲线方程为22
1520
x y -=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、A 【解析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据
1OO =CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可
求半径从而求外接球表面积； 【详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，
28S π=；
法二：13OO =7R =
28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
7AE =
AC 33=cos 27427
AEC
∠=
=⋅⋅
33sin 27
AEC ∠=，33227sin 3327
AC R AEC =
==∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 12、A 【解析】
根据题意依次计算得到答案. 【详解】
根据题意知：18a =，2
1
4a a =，故232a =，
3
2
2a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(],0-∞ 【解析】
由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 14、
12
【解析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B 处，联立
3
2
x y x +=⎧⎨
=⎩，解得点B 坐标，即可求得答案. 【详解】
作出满足约束条件3
312
x y y x x +≥⎧⎪
≤-⎨⎪≤⎩
的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，故
OB OA k z k ≤≤
由题可知，联立312y x x =-⎧⎨=⎩得()2,5A ,联立3
2x y x +=⎧⎨=⎩
得()2,1B
所以51,22OA OB k k =
=，故1522
z ≤≤ 所以z 的最小值为
1
2
故答案为：12
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
15 【解析】
由定义可知()()()()(),,,,,0a f a b f b c -f a f b
=
，通过整理可得())0f x t =>，继
而可求出正确答案. 【详解】
解：根据题意(),f M a b c ==()()()()
(),,,,,0a f a b f b c -三点共线. 故可得：
()()f a f b
a c c b
=
--，即f a f b ==，
故可以选择())()0,()0f x x f x x =>=>等.
故答案为: 【点睛】
本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.
16、4⎛-∞ ⎝⎦
【解析】
由题意可设(1,0)a =，1(2b =，由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设1m =，||||a c b d -+-的最小值即为
点1(2到直线1x y +=的距离d ，求得d ，可得T 不大于d ．
【详解】
解：||||1a b ==，且1
2
a b ⋅=
， 可设(1,0)a =，13,2b ⎛= ⎝⎭
，
(,1)c m m =-，(,1)d n n =-，
可得||||(1a c b d -+-=
-，
可得,c d 的终点均在直线1x y +=上，
由于,m n 为任意实数，可得1m =时，||||a c b d -+-的最小值即为点13,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
到直线1x y +=的距离d ，
可得
13
122
624
2
d +--=
=
， 对于任意的实数,m n ，不等式||||a c b d T -+-≥，可得62
4
T -≤
， 故答案为：62,4⎛⎤
--∞ ⎥⎝⎦
．
【点睛】
本题主要考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (I ) ；(II )证明见解析
【解析】
(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案. (II ) 设，
，联立方程得到
，
，代入化简得到
，计算得
到证明. 【详解】 (I ) 椭圆
，故
，
.
(II )设
，
，则将
代入
得到：
，故
，
，
，故，得到，
，故
，同理：
，
由已知得：或
，
故，
即
，化简得到.
故原点到直线l 的距离为为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）()(),22,-∞-+∞；
（2）证明见解析 【解析】
（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.
（2）利用绝对值三角不等式可得1a b c ++=，然后使用柯西不等式可得结果. 【详解】
（1）由1a b c ===，所以()111f x x x =-+++ 由()5f x >
当1x ≤-时，则()11152f x x x x =---+>⇒<- 所以2x <-
当11x -<<时，则()1115f x x x x =-+++>⇒∈∅ 当1x ≥时，则()11152f x x x x =-+++>⇒> 综上所述：()(),22,x ∈-∞-⋃+∞ （2）由()x b x c x b x c b c -++≥--+=+ 当且仅当()()0x b x c -+≤时取等号 所以()f x x b x c a b c a =-+++≥++ 由()min 0,0,0,1a b c f x >>>=， 所以1a b c ++=
所以
1222
a b b c c a
+++++= 令149222a b b c c a a b b c c a T +++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭=
222
149a b b c c a ++=+++++
222
222a b b c c a +++++=++
根据柯西不等式，则2
18T ≥= 当且仅当
123a b b c c a ==+++，即12
0,,33
b a
c ===取等号 由0,0,0a b c >>>
故2
18T >=，又1a b c ++= 则
()14918a b c a b b c c a
++>+++++ 【点睛】
本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.
19、()122143x y +=；()2
①
7
；②2
. 【解析】
()1根据题意列出方程组求解即可；
()2①由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22
443
x y =-
，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；
②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，
O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，
(
)
()221212434460k x x mk x x m +++++=，由22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()
222
4384120k x mkx m +++-=，122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，得出22
443m k =+
，根据d ===. 【详解】
解：()1设焦距为2c
，由题意知：222
1
2
b b a
c c a ⎧
⎪=⎪=-⎨⎪⎪=
⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
因此，椭圆C 的方程为：22
143
x y +=；
()2①由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22
443
x y =-
，
2227·403BM ON x y y =-+=
-=
，解得：y =
7
-， B ，M
不重合，故y =2
13249x =
，故2MN x ==
②设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，
O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，
当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1；
设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++
()()2
2
2222
12121122
1434343
x x y y x y x y +++=+=+=，1212346x x y y +=- ()()1212346x x kx m kx m +++=-
()
()2
21212434460k
x x mk x x m +++++=
22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()
222
4384120k x mkx m +++-= (
)22
48430k m
∆=+->，
x =
则：122843mk x x k -+=+，2122
412
43
m x x k -=+，代入式子得： 22
2
23286043
m k m k --=+，22443m k =+
设O 到直线MN 的距离为d
，则d ===
0k =时，min d =
综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为2
. 【点睛】
本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.
20、（1）单调递增区间为⎛- ⎝⎭
，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭（2）m 的取值范围是13ln ,1ln 224⎡⎫
+-⎪⎢⎣⎭；对应的a 的值为16
3
. 【解析】
（1）当1a =-时，求()f x 的导数可得函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，利用导函数211,
()11
ax ax f x ax x x ++'=+=++，可得a 的范围，再表达1
212()(1)8x m f x f x +'=++，构造新函数可求m 的取值范围，从而可求m 取到最小值时所对应的a 的值． 【详解】
（1）函数2()(1)2
a f x ln x x =++
由条件得函数的定义域：{|1}x x >-， 当1a =-时，2
1()(1)2
f x ln x x =+-，
所以：211()11
x x f x x x x --+'=-=++，
()0f x '=时，x =，
当(x ∈-时，()0f x '>，当x ∈)
+∞时，()0f x <，
则函数()f x 的单调增区间为：(-，单调递减区间为：，)
+∞； （2）由条件得：1x >-，211,()11
ax ax f x ax x x ++'=+=++， 由条件得2()10x ax ax ϕ=++=有两根：1x ，2x ，满足121x x -<<，
∴△0>，可得：0a <或4a >；
由(1)0a ϕ->，可得：0a >．
4a ∴>，
函数()x ϕ的对称轴为1
2x =-，121x x -<<，
所以：21
(2
x ∈-，0)；
22210ax ax ++=，可得：221
(1)
a x x =-
+，
2
222222()(1)(1)22(1)
x a f x ln x x ln x x ∴=++
=+-+， 121x x +=-，则：121x x =--，
所以：212221222111(1)()8884(1)
x x ax ax f x f x x +--+'+='-===+； 所以：2222222211
(1)(1)2(1)4(1)4(1)
x x m ln x ln x x x x -=+-+=+-+++，
令23
()4x h x lnx x
-=-，211(2x x =+∈，1)，
则22
1343
()44x h x x x x -'=
-=， 因为：()0h x '=时，34x =
，所以：()h x 在1
(2，3)4上是单调递减，在3(4
，1)上单调递增，
因为：1()122h ln =-，h （1）14
=，313()424h ln =+，1
()2h h >（1），
所以13
()[24
h x ln ∈+，12)ln -；
即m 的取值范围是：13
[24
ln +，12)ln -；
34
x =
，所以有23
14x x =+=，
则214
x =-，22116(1)3a x x =-
=+；
所以当m 取到最小值时所对应的a 的值为16
3
； 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．
21、（1）4cos ρθ=；（2
【解析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将1C 和2C 的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AOB ∆的面积.
（1）曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）， 消去参数的1C 的直角坐标方程为22
40x x y -+=．
所以1C 的极坐标方程为 4cos ρθ= （2
）解方程组4cos sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
得到4sin cos θθ=．
所以sin 2θ=
， 则6k πθπ=+或3k πθπ=+（k Z ∈）． 当6k πθπ=+
（k Z ∈
）时，ρ= 当3
k π
θπ=+（k Z ∈）时，2ρ=． 所以1C 和2C 的交点极坐标为：
6A k ππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,2,3B k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.
所以12
ABC S OA OB sin AOB ∆=⋅∠= 故AOB ∆
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
22、（1）22
143
x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0) 【解析】
（1）由条件直接算出即可
（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
2223484120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，由AM AE k k =可得13162y y x =+，同理24262y y x =+，然后由1234
1111y y y y +=+推出m k =-即可
（1）由题有2a =，12
c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22
143
x y +=. （2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
2223484120k x kmx m +++-= ()()22222264434412043k m k m m k ∆=-+->⇒<+
122834km x x k -+=+，212241234m x x k
-=+.又AM AE k k = ∴3113110062422
y y y y x x --=⇒=+++， 同理24262
y y x =+ 又1234
1111y y y y +=+ ∴1212122112121212
222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+
∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++
∴1212(4)()280k m x x kx x m -+-+= ∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k
--+--+=⇒=+++ ∴m k =-，此时满足2243m k <+
∴(1)y kx m k x =+=-
∴直线MN 恒过定点(1,0)
【点睛】
涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.。