山西省太原市2020届第一学期高三年级期末考试(文数)

山西省太原市2020届第一学期高三年级期末考试
数 学（文科）
（考试时间：上午7：30-9：30）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）
1．设集合{}}1|{,2,10-===x y x B A ，
，则下图中阴影部分所表示的集合为
A ．{}1
B ．{}0
C ．{
}2,1
D ．{}1,0
2．若复数i
z 312+=
，则=z
A ．
2
1 B ．
2
3
C ．1
D ．2
3．命题：“若a >b ，则c b c a +>+”的否命题是
A ．若b a ≤，则c b c a +≤+
B ．若c b c a +≤+，则b a ≤
C ．若c b c a +>+，则b a >
D ．若a > b ，则c b c a +≤+
4．=ο
105tan
A ．32+
B ．32+-
C ．32-
D ．32--
5．等比数列{}n a 中，若4a 1，a 3，2a 2成等差数列，则公比q ＝
A ．l
B ．1或2
C ．－1
D ．2或－1
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为
A ．3
B ．2
C ．3
D ．9
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先 进的算法．如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶 算法求某多项式值的一个实例．若输入x 的值为2， 则输出v 的值为 A ． 27－1 B ． 27 C ． 26－1 D ． 26
8．函数)sin(sin 2)2cos()(θθθ+++=x x x f 的最大值是
A ．2
B ．3
C ．1
D ．5
9．已知三个村庄A ，B ，C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且AB ＝6 km ，BC =8 km ，AC =10 km ．现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄A ，B ，C 的距离都不小于2 km 的概率为 A ．243
3+ B ．12
π C ．
24
3
21-
D ．
12
12π
- 10．若对任意的实数x > 0，0ln ≥--a x x x 恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．(]1,-∞-
B ．(]1,∞-
C ．[)+∞-,1
D ．[)+∞,1
11．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD PC 底面⊥，ABCD 为正方形，PC QA //，
ο60=∠=∠AQB PBC ，记四棱锥P - ABCD 与四棱锥Q - ABCD 的外接球的半径分别为R 1，
R 2，则=2
1
R R A ．735
B ．7105
C ．
9
35
D ．
9
105
12．已知⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-+≤<=.1,11,10,)(e x e x
x e x f x 若方程e kx x f +=)(有且仅有3个实数解，则实数k
的取值范围是 A ．(]e ,0
B ．⎥⎦⎤
⎝⎛-e e e ,12
C ．⎥⎦⎤
⎝⎛--41,1e
e
D ．⎥⎦
⎤
⎝⎛--
21,41e e
第Ⅱ卷（非选择题共 90分）
说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内项目填写清楚．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数x x a x f +=2log )(的图象过点)2
1,21
(-，则实数a ＝ ．
14．若x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-,004,02y y x y x ，则z ＝y －2x 的最小值为 ．
15．若10<<<b a ，b
a x =，a
b y =，a z b log =，则x ，y ，z 由小到大排列为 ． 16．赵爽是我国古代数学家．大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股
圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如 图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个 小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设
μλ+=，若DF ＝2AF ，则可以推出
=+μλ ．
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的分析，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
（Ⅰ）求图中a 的值，并估计综合评分的中位数；
（Ⅱ）用样本估计总体，以频率作为概率，现在该条生产线按一等品和非一等品分层抽样，抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个 产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一 等品的概率．
18．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c C a =+2
1
cos ． （Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）若b ＝4，c ＝6，求B cos 和)2cos(B A +的值．
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足)(2*
∈-=N n n a S n n
（Ⅰ）证明：{}1+n a 是等比数列； （Ⅱ）求12531...-++++n a a a a 的值．
20．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，ABC A A 底面⊥1，点D 是棱B 1C 1的中点，2==AC AB ，
21==BB BC ．
（Ⅰ）求证：BD A AC 11//平面； （Ⅱ）求点D 到平面ABC 1的距离，
21．（本小题满分12分）
已知函数x x a e x f x
--=ln )(．
（Ⅰ）当a ＝-1时，求曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(0，1)上存在极值点，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分） 【选修4-4】坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 参数方程为⎩⎨⎧+==t
y t x 25,
（t 为参数），以原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为042cos 2
=+θρ．
（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点)5,0(A ，直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求|
|1
||1AN AM +的值．
23．（本小题满分10分）【选修4-5】不等式选讲
已知12)(++-=x x x f ．
（Ⅰ）求不等式2)(<x f 的解集M ；
（Ⅱ）设M b a ∈,，证明：b a ab +>+1．
数学（文科）参考答案
一、选择：
二、填空：13、1 14、－8 15、z y x << 1 6、
13
12 三、解答题 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由110)020.0025.0010.0005.0(=⨯++++a ，解得040.0=a ……………2分 设中位数为x ，则5.0)80(040.010)025.0010.0005.0(=-⨯+⨯++x …………… 4分 解得5.82=x ，所以综合评分的中位数为82．5 ………………………………………5分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，一等品的频率为6.010)020.0040.0(=⨯+，即概率为0．6， …………………………………………………………………………………………………………6分 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2， …………………………………………………………………………………………………………8分 所以现抽取5个产品，则有3个一等品，记为a ，b ，c ，2个非一等品，记为d ，e ，则从5个产品中抽取2个产品的所有情况为
),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(e d e c d c e b d b c b e a d a c a b a ，共10种，
而这2个产品中恰有一个一等品的情况为：),(),,(),,(),,(),,(),,(e c d c e b d b e a d a ，共6种， ……………………………………………………………………………………………………… 11分 记事件A 为“从5个产品中抽取2个产品，这2个产品中恰有一个一等品”，则5
3
106)(==
A P ．
……………………………………………………………………………………………………… 12分 18、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由己知b c C a =+
2
1
cos ，又由射影定理A c C a b cos cos +=， …………… 2分 得A c c cos 21=，即2
1
cos =A ， …………………………………………………… 4分 故3
π
=
A ． …………………………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理A bc c b a cos 22
2
2
-+=，
得72=a ． ………………………………………………………………………… 7分
所以77
22cos 222=-+=ac
b c a B ． ………………………………………………8分
因此734cos sin 22sin =
=B B B ，7
11cos 22cos 2
=-=B B ． ……………… 10分 所以14
112sin sin 2cos cos )2cos(-=-=+B A B A B A ． ………………………12分
19、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由n a S n n -=2，得1211-=a S ，11=∴a ， …………………………………1分 又)2(),1(211≥--=--n n a S n n ，
两式相减得1221--=-n n n a a a ，即121+=-n n a a ……………………………………… 4分 从而，)1(211+=+-n n a a ，)2(≥n ，
所以1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列． ………………………………………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n
n a 21=+，即12-=n n a ，12
1212-=--n n a ， …………………… 8分 所以n a a a a n n -+++=++++--)2
22(1
2312531ΛΛ ……………………………10分 3
2
3241)41(212--=---=+n n n n ． ……………………………12分
20、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接AB 1．交A 1B 于点O ，则O 为AB 1中点，
连接OD ，又D 是棱B 1 C 1的中点，则1//AC OD ， …………3分
BD A OD 1平面⊂Θ，BD A AC 11平面⊂/
BD A AC 11//平面∴ …………………………………………5分
（Ⅱ）由已知得1111C A B A =，则111C B D A ⊥ ……………6分
1111C B A BB 平面⊥Θ，ABC C B A D A 平面面1111⊂，D A BB 11⊥∴，
111B BCC D A 平面⊥∴ ． …………………………………………………8分
D C BB 11⊥Θ，12121
21111=⨯⨯=⋅=∴∆BB D C S D BC ，
31
11313111111=⨯⨯=⋅==∴∆--D A S V V D BC D BC A ABC D ……………………………10分
3622
11=⋅⋅=
∆ABC S Θ，故点D 到平面ABC 1的距离为33
……………… 12分
21、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）函数定义域为),0(+∞，
当a =－1时，x x e x f x
-+=ln )(，11
)('-+
=x
e x
f x
， ………………2分 而1)1(-=e f ，e f ≡)1('， ……………………………………………………………3分 所以曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为)1()1(-=--x e e y ，
整理得01=--y ex ． ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为x x a e x f x
--=ln )(，x
a x xe x a e x f x x
--=--=1)('，
依题意，)('x f 在区间()1,0上存在零点， ………………………………7分 设a x xe x g x
--=)(，因为0>x ，只需)(x g 在区间(0，1)上存在零点．
所以1)1(>+x e x
，即0)('>x g ，所以)(x g 在区间(0，1)上为单调递增函数， 依题意⎩⎨
⎧><,0)1(,0)0(g g 即⎩⎨⎧>--<-,
01,
0a e a ………………………………11分
解得10-<<e a ．
所以，若)(x f 在区间（0,1）上存在极值点，a 的取值范围是)1,0(-e ………………12分
22、（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由⎩⎨
⎧+==,
25,t y t x 得52+=x y ． …………………………………………………2分
由042cos 2
=+θρ，得04sin cos 2
2
2
2
=+-θρθρ，42
2
=-∴x y ． ……………5分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为标准形式为：⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
+==t y t x 52551（t 为参数），
代入曲线C 的方程得014532=++t t ，3
2021-=+∴t t ，35
21=⋅t t ，
则
4|
|1||1||1||1212121=+=+=+t t t
t t t AN AM ……………………………………1 0分
23、（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当2
1
-
≥x 时，112)(+=++-=x x x x f ， 2)(<x f ，得1<x ．所以12
1
<≤-x ． ………………………………………2分
当2
1
-<x 时，1312)(--=---=x x x x f ．
由2)(<x f ，得1->x ，所以2
1
1-<<-x ． ………………………………………4分
综上可知，}11|{<<-=x x M ． ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为M b a ∈,．所以11<<-a ，11<<-b ，即1||,1||<<b a ． ………………7分
0)1|)(|1|(||)||(|1||>--=+-+∴b a b a ab ， …………………………9分
故||||1||b a ab +>+． ……………………………………………………10分
注：以上各题其它解法相应给分。