拉普拉斯变换

学校代码10722 学号0706014305
分类号 O175 密级公开
本科毕业论文（设计）
拉普拉斯变换法在常微分方程（组）求解
中的应用研究
Application of Laplace Transform in Solving Ordinary differential
equations(s)
作者姓名王灵艳
专业名称数学与应用数学
学科门类理学
指导老师侯衍芬
提交论文时间二零一一年六月
成绩等级评定
拉普拉斯变换法在常微分方程（组）中的应用
王灵艳
（咸阳师范学院数学与信息科学学院咸阳 712000）
摘要
本文给出了常微分方程（组）的基本概念性质及两种解法，常数变易法及拉普拉斯变换法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要．而用常数变易法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度．而拉普拉斯变换是实变量函数和复变量函数间的一种函数变换．对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多．
本人是将两种方法进行比较分析拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）过程中的优缺点．关键词：常微分方程；常微分方程组；拉普拉斯变换法
Abstract
The paper gives the basic concepts of ordinary differential equation (group) and two solutions, delay.a new and Laplace transform method, ordinary differential equations of a mathematical analysis, belonging to in mathematics and application is closely related to the basic disciplines, its own also in the development of ordinary differential equation, learn basic theories and methods to further study the mathematical theory and practical applications all very important. But a new solution differential equation and equations are more tedious, and that we must through integral operation, it is difficulty of the questions increases again. And Laplace transform is real variable function and the complex variable functions of a kind of function transform between for a real variable. For Laplace transform, and the different operations in the plural domain, and then computing results for real Laplace inverse transform the corresponding results, often field than direct in the real domain work out the same result in computing easier. I compared two methods in solving Laplace transform method analysis of ordinary differential equation (group) process and got advantages and disadvantages.
Key words: ordinary differential equations; Ordinary differential equations; Laplace transform method
目录
摘要................................................................................................................................. . (I)
Abstract (II)
引言 (1)
1 常微分方程 (2)
1.1 常微分方程基本概念 (2)
1.2 线性微分方程的相关定义及性质 (4)
1.2.1 引言 (4)
1.2.2 齐次线性微分方程的解的性质 (5)
1.2.3 非齐次线性微分方程的定义及性质 (6)
1.3 线性微分方程的一般理论 (6)
1.3.1 齐次线性微分方程组 (6)
1.3.2 非齐次线性微分方程组的性质定理 (7)
2 拉普拉斯变换．．．． (7)
2.1 拉普拉斯变换的介绍 (8)
2.2 拉普拉斯变换的定义性质及部分变换 (8)
3 微分方程的求解 (9)
3.1 用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程 (9)
3.2 用矩阵法求解常系数线性微分方程组 (11)
4 拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用 (12)
4.1 拉普拉斯变换在常微分方程中的应用 (12)
4.1.1 求解过程说明 (12)
4.1.2 对比两种方法在常微分方程中的求解 (13)
4.2 对比两种方法在常微分方程中的求解 (14)
4.2.1 求解过程说明 (14)
4.2.2 对比两种方法在常微分方程组中的求解 (14)
5 探索 (17)
结束语 (21)
参考文献.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．....................................... .22谢辞 (23)
引言
常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题．应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善．微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解．后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、大朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论．常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律．后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置．这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量．
拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换．对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多．
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决.在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用．
1 常微分方程
1.1 常微分方程基本概念
（1）常微分方程和偏微分方程
我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式.如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程．
方程 ()2
dy dy b cy f t dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
()1.1 20dy dy t y dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ ()1.2
就是常微分方程的例子，这里y 是未知函数，t 是自变量．
方程 2222220T T T x y z
∂∂∂++=∂∂∂ ()1.3 224T T x x
∂∂=∂∂ ()1.4 就是偏微分方程的例子，这里T 是未知函数，x,y,z,t 都是自变量．方程()1.3含有三个自变量，而方程()1.4含有两个自变量．
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如，方程是二阶常微分方程，而方程与都是二阶偏微分方程．一般的n 阶常微分方程具有形式 ,,,,n n dy d y F x y dx dx ⎛⎫ ⎪⎝
⎭… ()1.5 这里,,,,n n dy d y F x y dx dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭
…是,,,,n n dy d y x y dx dx …的已知函数，而且一定含有n n d y dx ；y 是未知函数，x 是自变量．
我们学习的这门课程是常微分方程.今后，我们把常微分方程简称为“微分方程” ，有时更简称为“方程”．
（2）线性和非线性
如果方程()1.5的左端为y 及,,n n dy d y dx dx
…的一次有理整式，则称()1.5为n 阶线性微分方程.例如，方程()1.1是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式 ()()()1111n n n n n n d y d y dy a x a x a y f x dx dx dx
---++++=… ()1.6 这里()()()1,,,n a x a x f x …是x 的已知函数．
不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程．例如，方程22sin 0d g dt l
ϕϕ+=是二阶非线性微分方程，而方程()1.2是一阶非线性微分方程．
（5）微分方程组
用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组．
习惯将一阶常微分方程写成最高阶导数的形式
()()()
1',,,,n n z g t z z z -=… ()1.9 其中()()11'1,,,n n n n n n d z dz d z z z z dt dt dt
---===…．如果把()()1',,,,n n z z z z -…都理解为未知函数，取变换 ()1'12,,,n n y z y z y z -===…
则n 阶方程()1.9可以用一阶方程组
()12
11;,,n n
n n dy y dt dy y dt dy g t y y dt
-⎧=⎪⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩…… 代替，即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组
()1;,...,,1,2,...,i i n dy f t y y i n dt
==
或更简单的写成向量形式
();dy f t y dt
= 其中
()()()()1112211;,...,;,...,,;......;,...,n n n n n f t y y y y f t y y y f t y y f t y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 前面提到的线性和非线性，等概念同样适合微分方程组．
1.2 线性微分方程的相关定义及性质
1.2.1 引言
我们讨论如下的阶线性微分方程 ()()()()1111...n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt
---++++= ， ()1.10 其中()()1,2,...,i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数．
如果()0f t ≡，则方程()1.10变为 ()()()1111...0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt
---++++= ()1.11 我们称它为n 阶齐次线性微分方程，简称其次线性微分方程，而称一般的方程()1.10为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且通常把()1.11叫做对应于方程()1.10的齐次线性微分方程．
定理1 [1] 如果()()1,2,...,i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈及任意的()()11000,,...,n x x x -，方程()1.10存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初值条件
()()()()()1110000001,,...,n n n d t d t t x x x dt dt
ϕϕϕ---=== ()1.12
1.2.2 齐次线性微分方程的解的性质
首先讨论齐次线性微分方程
()()()1111...0n n n n n n d x d x dx
a t a t a t x dt dt dt
---++++= ， ()1.11
定理2[1]（叠加原理） 如果()()()12,,...,k x t x t x t 是方程()1.11的k 个解，则它们的线性组合()()()1122...k k c x t c x t c x t +++也是的解，这里12,,...,k c c c 是任意常数．
特别地，当k=n 时，即方程()1.11有解
()()()1122...k k x c x t c x t c x t =+++ ()1.13
它含有n 个任意常数．
定理3[2] 若函数()()()12,,...,k x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则[],a b 在上它们的朗斯基行列式()0W t ≡．
定理4[3] 如果方程()1.11的解()()()12,,...,n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性无关，则
()()()12,,...,n x t x t x t 在这个区间的任何点上都不等于零，即()0W a t b ≠≤≤. 定理5[4] n 阶齐次线性微分方程()1.11一定存在个线性无关的解．
定理6[6]（通解结构定理） 如果()()()12,,...,n x t x t x t 是方程()1.11的n 个线性无关的解，则方程()1.11的通解可表为
()()()1122...n n x c x t c x t c x t =+++ , ()1.14
其中12,,...,n c c c 是任意常数．且通解()1.14包括了方程()1.11的所有解．
推论[5] 方程()1.11的线性无关解得最大个数等于n ，因此可得结论：n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n 维线性空间．
方程()1.11的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组．显然，基本解组不是唯一的．特别地，当()01W t =时称其为标准基本解组．
1.2.3 非齐次线性微分方程的定义及性质
考虑n 阶非齐次线性微分方程
()()()()1111...n n n n n n d x d x dx
a t a t a t x f t dt dt dt
---++++= ， ()1.10
易见方程是它的特殊情形．
性质1[10] 如果()x t 是方程()1.10的解，而是方程()1.11的解，则()()x t x t +也是方程()1.10的解．
性质2[5] 方程()1.10的任意两个解之差必为方程()1.11的解．
定理7[9] 设()()()12,,...,n x t x t x t 为方程()1.11的基本解组，而()x t 是方程()1.10的某一解，则方程()1.10的通解可表示为
()()()()1121...n n x c x t c x t c x t x t =++++， ()1.15
其中12,,...,n c c c 为任意常数．
1.3 线性微分方程的一般理论
定义[4] 线性微分方程组 ()()'x A t x f t =+ ， ()1.16 的一般理论，主要是研究它的解的结构问题．
如果()0f t ≠，则()1.16称为非齐次线性的．
如果()0f t =，则方程的形式为 ()'x A t x =， ()1.17
()1.17称为齐次线性的．通常()1.17称为对应于()1.16的齐次线性微分方程组．
1.3.1 齐次线性微分方程组
定理8[7]（叠加原理） 如果()u t 和()v t 是()1.17的解，则它们的线性组合
()()u t v t αβ+也是()1.17的解，这里,αβ是任意常数．
定理9[9] 如果向量函数()()()11,,...,n x t x t x t 在区间上a t b ≤≤线性相关，则它们的朗斯基行列式()()0W t a t b =≤≤．
定理10[5] 如果()1.17的解()()()11,,...,n x t x t x t 线性无关，那么，它们的朗斯基行列式()()0W t a t b =≤≤．
定理11
[5]
齐次线性微分方程组()1.17一定存在n 个线性无关的解
()()()11,,...,n x t x t x t ．
定理12[9] 如果()()()11,,...,n x t x t x t 是()1.17的n 个线性无关的解，则()1.17的任一解()x t 均可表为()()()()1121...n n x t c x t c x t c x t =+++这里12,,...,n c c c 是相应的确定常数． 1.3.2 非齐次线性微分方程组的性质定理
非齐次线性微分方程
()()
'x A t x f t =+，
()1.16
的解的结构问题，这里()A t 是区间a t b ≤≤上的已知n n ⨯连续矩阵，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知n 维连续列向量．向量()f t 通常称为强迫项，因为如果()1.16描述一个力学系统，()f t 就代表外力．
性质1[7] 如果()t ϕ是()1.16的解，()t ψ是()1.16对应的齐次线性微分方程组
()1.17的解．则()()t t ϕψ+是()1.16的解．
性质2[9] 如果()t ϕ和()t ϕ是()1.16的两个解，则()()t t ϕϕ-是()1.16的解． 定理13[10] 设()t Φ是()1.17的基解矩阵，()t ϕ是()1.16的某一解，则()1.16的任一解()t ϕ都可表为()()()t t c t ϕϕ=Φ+ , ()1.18这里c 是确定的常数列向量．
2 拉普拉斯变换
2.1 拉普拉斯变换的介绍
拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成
复变数s 的代数方程（组）．通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解．方法十分简单方便，为工程技术工作者所普遍采用．当然，方法本身也有一定局限性，他要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了．
2.2 拉普拉斯变换的定义性质及部分变换
定义[1] 由积分()()0
F s f t dt +∞
=⎰
所定义的确定于复平面()Re s σ>上的复函数s 的
函数()F s ，称为函数()f t 的拉普拉斯变换，其中()f t 于0t ≥有定义，且满足不等式
()t f t Me σ< ，这里M ，σ为某两个正常数．我们将称()f t 为原函数，而()F s 称为像函数．
定理1[7] 如果对向量函数()f t ，存在常数0M >及0σ>使不等式()t f t Me σ≤ 对所有充分大的t 成立，则初值问题()()',0x Ax f t x η=+=的解()t ϕ及其导数()'t ϕ均像()f t 一样满足类似的不等式()t f t Me σ≤，从而它们的拉普拉斯变换都存在． 拉普拉斯部分变换表：
3 微分方程的求解
3.1 用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程 定义[1] n 阶常系数非齐次线性微分方程
[]()1111...n n n n n n d x d x dx
L x a a a x f t dt dt dt
---≡++++=， ()3.1
对应的n 阶常系数齐次线性微分方程为
[]1111...0n n n n n n d x d x dx
L x a a a x dt dt dt
---≡++++=， ()3.2
其中12,,...,n a a a 为常数，()f t 为连续函数．
基本解组 设λ为()3.2的特征根，可以为实数，也可以为复数． 对方称()3.2变形：
()()1111111.......n t n t t t
t n n t t
n n n n n n d e d e de L e a a a e a a a e F e dt dt dt
λλλλλλλλλλλ-----⎡⎤≡++++=++++≡⎣⎦其中()111...0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= ， ()3.3为方程()3.2的特征方程． 当特征根λ是单根时，设12,,...,n λλλ是特征方程()3.3的个彼此不相等的根，则相应地方程()3.2的基本解组为：12,,...,n t t t e e e λλλ．
若()1,2,...,i i n λ=为实数，则()3.2的通解表示为1212...n t t t n x c e c e c e λλλ=+++． 若()1,2,
,i i n λ=为复根，则()3.2的两个实值解为cos ,sin at at e t e t ββ．
当特征根λ有重根时：有k 重根时，方程()3.2的基本解组为： 111121,,,...,t t t t k e te t e t e λλλλ-；有2k 重根时，方程()3.2的基本解组为：
21cos ,cos ,cos ,...,cos at at at k at e t te t t e t t e t ββββ-
21sin ,sin ,sin ,...,sin at at at k at e t te t t e t t e t
ββββ-
定理1[1] 给出方程：
()()()1111...0n n n n n n d x d x dx
a t a t a t x dt dt dt
---++++= ()3.4
()()()()1111...n n n n n n d x d x dx
a t a t a t x f t dt dt dt
---++++= ()3.5 设()()()12,,...,n x t x t x t 为方程()3.4的基本解组，而()X t 是方程()3.5的某一解，则方程
()3.5的通解可表示为()()()()1122...n n x c x t c x t c x t X t =++++，
其中12,,...,n c c c 为任意常数．
对任一n 阶常系数非齐次线性微分方程()3.1都可以由上述方法求出对应的齐次线性微分()3.2的基本解组，再应用常数变易法求得()3.1的一个特解，这样，根据定理一即可写出方程()3.1的通解表达式． 例1：求方程'1
cos x x t
+=
的通解． 解：对应的齐次线性微分方程为'0x x +=. 特征方程20λλ+=的根为12i λλ==．
∴ 原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cos ,sin t t 应用常数变易法，令()()12cos sin x c t t c t t =+ 将它代入方程，则可得决定()'1c t 和()'2c t 的两个方程．
()()''12cos sin 0c t t c t t +=及()()''121sin cos cos tc t tc t t
-+= 解得：()()''
12sin ,1cos t c t c t t
=-
=．积分得：()()1122ln cos ,c t t c t t γγ=+=+ 于是原方程的通解为：()112cos sin cos ln cos sin x c t t t t t t t γγ==+++ 其中12,γγ为任意常数．
3.2 用矩阵法求解常系数线性微分方程组 定理2
[10]
如果矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,...,n v v v →→→
，它们对应的特征
值分别为
12,,...,n λλλ（不必各不相同），那么矩阵
1212()[,,...,],n t
t
t
n t e v e v e v t λλλ→
→
→
Φ=-∞<<+∞， 是常系数线性微分方程组
()'
x A x f t →
→
→
=+ ()3.6
的一个基解矩阵．
类似于常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法：我们先给出非齐次线性微分方程组
()'
x A x f t →
→
→
=+ ()3.7
的常数变易公式，这里A 是n n ⨯常数矩阵，()f t →
是已知的连续向量函数．因为()3.7对应的齐次线性微分方程组()3.6的基解矩阵为()exp t At Φ=，这时我们有
()()()()11exp ,exp s sA s t s A --Φ=-Φ=-⎡⎤⎣⎦，若初值条件是()0t ηΦ=，则()()0exp k t t t A ηΦ=-⎡⎤⎣⎦，()3.7的解就是
()()()()00exp exp t
t t t t A t s A f s ds ηΦ=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ ()3.8
例2：设35,53A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ()0t e f t -→⎛⎫= ⎪⎝⎭
试求方程()'
x A x f t →→→=+满足初值条件()001⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭的
解()t Φ． 解：求得
()()()()()()()()13535353535353535111exp 112i t
i t i t
i t i t
i t i t i t e ie i e
ie i At i i ie e ie
e -+-+-+-+-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()()()()
()()()
()()353535353353535351cos5sin 51
1sin 5cos52i t i t
i t i t t i t i t i t i t e e i e e i t t e i t t i e e e e
+---+---⎛⎫+---⎛⎫⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-+⎝
⎭
代入公式()3.8，得到（利用00t =）
()()()()()()330cos5sin 5cos5sin 50sin 5cos5sin 5cos510s t t s t
t s t s t t e t e e
ds t s t s t t ----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫Φ=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎰ 我们计算上面的积分如下：
()()3340
sin5cos5cos5sin5sin5cos5sin5cos5cos5sin5t t s t s t t s s t t e e e ds t t s t s --+⎛⎫⎛⎫
Φ=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎰ 利用公式或者分部积分法，得到
()
()440440cos54cos55sin 501625
sin 54sin 55cos50
1625s
t
s
s
t
s
s t e e
sds s s s s t e e sds s s s ----==-+=+==--=+⎰⎰
最后我们得到
()4344cos546sin 5414146cos54sin 55t
t t t t e t e t t e --⎛⎫
+-Φ= ⎪ ⎪--⎝⎭
4 拉普拉斯变换法在求解常微分方程（组）中的应用
4.1 拉普拉斯变换在常微分方程中的应用
4.1.1 求解过程说明
设给定微分方程
()111...n n n n n d x d x
a a x f t dt dt
--+++= ()4.1
及初始条件()()()()1''1000000,0,...,0,n n x x x x x x --===其中12,,...,n a a a 是常数，而()f t 连续且满足原函数的条件。

注意，如果()x t 是方程()4.1的任意解，则()x t 及其各阶导数()()1,2,3,...,k x t k n =均是原函数． 记
()()()()()()00st st F s L f t e f t dt X s L f t e x t dt
+∞
-+∞
-=≡⎡⎤⎣⎦=≡⎡⎤⎣⎦⎰⎰
那么，按原函数微分性质有 ()()'
0L x t sX s x ⎡⎤=-⎣⎦，
...
()()()()112'000...n n n n n L x t s X S s x s x x ---⎡⎤=----⎣⎦
， 于是，对方程()4.1两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到
()()()()()2112'000021
2
3
'
1000
......n n n n n n n n n s X S s x s x sx x a s X s s
x s
x x -------------⎡⎤
+----⎣⎦
()()()10...,n n a sX S x a X s F s -++-+=⎡⎤⎣⎦
即 ()()111...n n n n s a s a s a X s --++++=
()()()1223'11101200.........n n n n n n n F S s a s a x s a s a x x -------++++++++++
或 ()()()()A s X s F s B s =，
其中()(),A s B s 和()F s 都是已知多项式，由此()()()
()F s B s X s A s +=，这就是方程()4.1的
满足所给初始条件的解()x t 的像函数．而()x t 可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式求得．
4.1.2 对比两种方法在常微分方程中的求解 例1：求方程
2t dx
x e dt
-=满足初始条件()00x =的解． 解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程
()()()102
sX s x X s s --=
- 由此，注意到()00x =，得()()()
1
111221
X s s s s s ==
-----．直接查拉普拉斯变换表，可得
12s -和11
s -的原函数分别为2t e 和t e ． 因此，利用线性性质，就求得()X s 的原函数为()2t t x t e e =-．这就是所要求的解． 例2：求方程''1
cos x x t
+=
的通解． 解：对应的齐次线性微分方程为''0x x +=，特征方程20λλ+=的根为12i λλ==．所
以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cos ,sin t t ，应用常数变易法，令
()()12cos sin x c t t c t t =+将它代入方程，则可得决定()'1c t 和()'2c t 的两个方程． ()()''12cos sin 0tc t tc t +=及()()''121
sin cos cos tc t tc t t
-+=
解得：()()''
12sin ,1cos t c t c t t
=-
=．积分得：()()1122ln cos ,c t t c t t γγ=+=+，于是原方程 的通解为：12cos sin cos ln cos sin x t t t t t t γγ=+++，其中12,γγ为任意常数．
通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度。

而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成复数s 的代数方程，再通过代数运算进行计算，方法十分简单方便．
4.2 拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用
4.2.1 求解过程说明
首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形．
定义
[1]
()()0st
L f t e f t dt +∞
-=⎡⎤⎣⎦⎰
这里()f t 是n 维向量函数，要求它的每一个分量都存在拉普拉斯变换． 4.2.2 对比两种方法在常微分方程组中的求解
例3：设3553A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭，()0t e f t -→⎛⎫= ⎪⎝⎭
试求方程 ()'
x A x f t →→→=+ 满足初值条件()001⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭的解()T Φ． 解：求得
()()()()()()()()13535353535353535111exp 112i t
i t i t
i t i t
i t i t i t e ie i e
ie i At i i ie e ie e -+-+-+-+-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭ ()()()()()
()()()
()()353535353353535351cos5sin 51
1sin 5cos52i t i t
i t i t t i t i t i t i t e e i e e i t t e i t t i e e e e
+---+---⎛⎫+---⎛⎫⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-+⎝
⎭
代入公式()3.8，得到（利用00t =）
()()()()()()330cos5sin 5cos5sin 50sin 5cos5sin 5cos510s t t s t
t s t s t t e t e e ds t s t s t t ----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫Φ=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎰ 我们计算上面的积分如下：
()()3340
sin5cos5cos5sin5sin5cos5sin5cos5cos5sin5t t s t s t t s s t t e e e ds t t s t s --+⎛⎫⎛⎫Φ=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎰
利用公式或者分部积分法，得到
()
()
440
440
cos54cos55sin 501625
sin 54sin 55cos501625
s
t
s
s
t
s s t e e
sds s s s s t e
e sds s s s ----==-+=+==
--=+⎰⎰
最后我们得到
()4344cos546sin 5414146cos54sin 55t
t t t t e t e t t e --⎛⎫
+-Φ= ⎪ ⎪--⎝⎭
． 例4：利用拉普拉斯变换求解例3. 解：将方程组写成分量形式，即
()()'1
112'212123553,00,01x x x e x x x -⎧=++⎪⎨=-+Φ=Φ=⎪⎩
令()()()()1122,,X s L t X s L t =Φ=Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，以()()()()1122,x t t x t t =Φ=Φ=代入方程组后，对方程组施行拉普拉斯变换（依据定理3，这是可能的）得到
()()()()()()112
2121351153sX s X s X s s sX s X s X s ⎧=++⎪+⎨
⎪-=-+⎩
即 ()()()()()()12
121351531s X s X s s X s s X s ⎧--=⎪+⎨
⎪+-=⎩ 由此得到
()()()()()()()()1222222
22222223513511446441135353553135114645411353535s s s X s s s s s s s s X s s s s s -⎧
+⎡⎤⎪-+==+-⎢⎥⎪+-+-+-+⎢⎥⎪⎣⎦
⎨
⎪--
⎡⎤-⎪+==+-⎢⎥⎪+-+-+-+⎢⎥⎣⎦⎩
取反变换或查拉普拉斯变换表即得
()()()()34134214cos546sin 54411
46cos54sin 5541t
t t t t e t t e t e t t e --Φ=
+-Φ=--
所得结果跟例3一致．
通过上述例题可以看到构造基解矩阵必须是某些特殊的情形，要具体计算矩阵中的积分也是不容易的．而应用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程（组）的初值问题是比较快捷的．
应用拉普拉斯变换还可以直接去解高阶的常系数线性微分方程组，而不必先化为一
阶的常系数线性微分方程组． 例5.试求方程组
''''
1122''11222022t x x x x x x x e -⎧+-+=⎪⎨-+=-⎪⎩
满足初始条件()()()'11203,02,00Φ=Φ=Φ=的解()()()12,t t ΦΦ．
解：令()()()()1122,,X s L t X s L t =Φ=Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，对方程组去拉普拉斯变换，我们得到
()()()()()()()211221123223202321s X s s sX s sX s X s sX s X s sX s s ⎧⎡⎤-----+=⎡⎤⎣⎦⎣
⎦⎪⎨---+=⎡⎤⎪⎣⎦+⎩
整理后得到
()()()()()()()212122234
3121s s X s s X s s s s X s sX s s ⎧---=-⎪⎨+-+=
⎪+⎩
解上面方程组，即有
()()()()()()()()()()
()()
212341111
1121122
11
1111s s X s s s s s s s X s s s s s --==++
+---+-=
=
-
+--+
在取反变换就得到解
()()212,t t t t t
t e e e t e e --Φ=++Φ=-
5 探索
拉普拉斯变换可以提供另一种寻求常系数线性微分方程组
'
x A x →→
= ()
5.1
的基解矩阵的方法．
设()t Φ是()5.1满足初始条件()0ηΦ=的解，我们令()()X s L t =Φ⎡⎤⎣⎦．对()5.1两边取拉普拉斯变换并利用初始条件，得到 ()()
sX s AX s η-=
因此
()()sE A X s η-= ()5.2 方程组()5.2是以()X s 的n 个分量()()()12,,,n X s X s X s ⋅⋅⋅为未知量得n 阶线性代数方程组．显然，如果s 不等于A 的特征值，那么 ()det 0sE A -≠．
这时，根据克莱姆法则，从方程组()5.2中可以唯一地解出()X s ．因为()det sE A -是s 的n 次多项式，所以()X s 的每一个分量都是s 的有理函数，而且关于η的分量12,,,n ηηη⋅⋅⋅都是线性的．因此，()X s 的每一个分量都可以展为部分分式（分母是()i s λ-的整数幂，这里i λ是A 的特征值）．这样一来，取()X s 的反变换就能求得对应于任何初始向量η的解()t Φ，依次令
12100010,,...,.........001n ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
就求得解()()()12,,,n t t t ϕϕϕ⋅⋅⋅．以()()()12,,,n t t t ϕϕϕ⋅⋅⋅作为列向量就构成()5.1的一个基解矩阵()t ϕ，且()0E ϕ=．
例1：试构造方程组 'x Ax = 的一个基解矩阵，其中
311201112A -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭．
解：对方程组两边取拉普拉斯变换，得到
()()sX s AX s η-=
即 ()()sE A X s η
-=
由A 的具体元素代入，得到方程组
()()()11223331121112X s s s X s s X s ηηη⎡⎤--⎡⎤
⎛⎫⎢
⎥ ⎪⎢⎥--=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
按第一行将()det sE A -展开，得到
()()()()()()det 3212212sE A s s s s s ⎡⎤-=--++-+--+⎡
⎤⎣⎦⎣⎦
()()
2
3258412s s s s s =-+-=--
根据克莱姆法则，有
()()()
123
12
1111212s s X s s s ηηη-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭=--
()()()()()
()()
123123
2
2
212111122s s s s s s s s ηηηηηη-+--++-+⎡⎤--+⎣⎦=
=
---
()()()
12322
31211212s s X s s s ηηη--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪
--⎝⎭=--
()()()
()()
21232
2355112s s s s s s ηηη---++-+=
--
()()()
12332
3121112s s X s s s ηηη-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭=--
()()()
()()
()()
21233
12
2
2232122
12s s s s s s s s s ηηηηηη---+-+-=
=
+
-----
到此，最好先将的具体数值代入，再取反变换比较方便些． 首先，令 1231,0,0ηηη===
我们得到
()()
()12
2
1
222s A B X s s s s -=
=
+
---
从()()12s A s B -=-+得到1,1A B ==．因此
()()
12
11
22X s S S =
+-- , ()()22211t t t x t e te t e =+=+ 同时，又得
()()()
()()()22
2
23
12121s C D F
X s s s s s s -=
=
++
-----
从()()()()2
232121s C s D s s F s -=-+--+-得到1,1,1C D F =-==，因此
()()()()()()22
22111
1211t t
X s s s s x t t e e -=
++
---=+-
同样，可计算得到
()()()
()3231
111221
t t
X s s s s s x t e e =
=
-----=-
这样一来，
()()()221211t t t
t t t e t t e e e e ϕ⎡⎤+⎢⎥=+-⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
其次，令1230,1,0ηηη===，我们得到
()()
12
1
2X s s -=
-， ()21t x t te =-
()()()
()2111
22
2
55
12121A B C s s X s s s s s s -+=
=
++
-----
从()()()()2
2111552121s s A s B s s C s -+=-+--+- 得 1111,0,1A B C ===-． 因此
()()22
1112X s S s -=
+--， ()22
t t
x t e te =-
又
()()()()()
3111
1212X s s s s s -=
=-----, ()23t t x t e te =-
这样一来，
()2222t t t t t te t e te e e ϕ⎡⎤-⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
最后，令1230,0,1,ηηη===我们得到
()()
12
1
2X s s =- , ()21t x t te = ()()
22
1
2X s s =
-, ()22t x t te =
()31
2
X s s =
-, ()23t x t e = 这样一来，
()2232t t t te t te e ϕ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
综合上面的结果，得到基解矩阵
()()()()()()2222221232221,,1t t t t t
t t t t t t t
t t e te te t t t t t e e e te te e e e e e ϕϕϕ⎛⎫+- ⎪Φ==+--⎡⎤
⎪⎣⎦ ⎪--⎝
⎭
且 ()0E Φ= .
结束语
本文给出了常微分方程的了两种解法，一种是用常数变易法求解常微分方程，另外介绍了用矩阵法求解常微分方程组，另一种是用拉普拉斯变换法求解常微分方程及常微分方程组．两种方法相比较而言用通常的解法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度．而拉普拉斯变换则
可以把微分方程及微分方程组转化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化．
拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成功复变数s的代数方程（组）．通过一些代数运算，即可求出常系数微分方程（组）的解．但他却有一定的局限性，在微分方程中它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不是用了．在微分方程组中，它对方程中强迫项的性质要求比较高．因此并非任何常系数线性微分方程（组）都能用拉普拉斯变换法进行求解．这就需要更多的研究者对常微分方程（组）的求解问题在日后加以探讨．
参考文献
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[10] 王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2003.
谢辞
本论文是在候衍芬老师的悉心指导下完成的，在此我要特别感谢我的论文指导老师侯衍芬，从我论文写作的开题报告，论文基本框架的设计及论文的多次修改中，老师给了我很大的帮助和指导，这才使得我的论文可以顺利的完成．同时我也要感谢咸阳师范学院数学系0703班的同学们，在于你们的交流中我受益很多，也正是因为有了这许多的帮助和支持，我才能够完成这篇论文．
由于时间的仓促和专业水平的不足，本篇论文中还存在很多缺点和不足的地方，恳请阅读此篇论文的老师和同学给予指正．
最后感谢那些时刻关怀着我的老师，同学以及家人，对他们表示最诚挚的谢意．
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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