2016-2017年天津市武清区杨村一中高三(下)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市武清区杨村一中高三（下）第二次月考数
学试卷（理科）
一．选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么集合A∩B等于（）A．{1}B．{4}C．{2，3}D．{1，2}
2．（5分）在等比数列{a n}中，a4a1＝，则tan（a2a3）＝（）
A．﹣B．C．D．
3．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2+2x+5的零点的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
4．（5分）下列命题中正确的是（）
A．若ɛ服从正态分布N（1，2），且P（ɛ＞2）＝0.1，则P（0＜ɛ＜2）＝0.2
B．命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x≤1，x2≤1”
C．直线ax+y+2＝0与ax﹣y+4＝0垂直的充要条件为a＝±1
D．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
5．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
6．（5分）已知函数f（x）＝3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）
A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到
7．（5分）已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）
A．+1B．+1C．+1D．+1
8．（5分）定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数
的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3C．1D．3
二.填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
9．（5分）已知i是虚数单位，m是实数，若是纯虚数，则m＝．
10．（5分）一个几何体的正视图是长为3、宽为1的矩形，侧视图是腰长为2的等腰三角形，则该几何的表面积为．
11．（5分）曲线与曲线的位置关系是．
12．（5分）已知实数x，y满足z＝x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a＝．
13．（5分）若点P是△ABC的外心，且，∠C＝120°，则实数λ的值为．
14．（5分）现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b＝，设f（x）＝（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）＝f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是．
三．解答题
15．（13分）在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且．
（I）求的值；
（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．
16．（13分）网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
17．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
18．（13分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．
19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x＝2的距离之比为．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
20．（14分）已知函数f（x）＝﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m＝0时，求函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅲ）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年天津市武清区杨村一中高三（下）第二次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么集合A∩B等于（）A．{1}B．{4}C．{2，3}D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
∴集合A∩B＝{1，2}．
故选：D．
2．（5分）在等比数列{a n}中，a4a1＝，则tan（a2a3）＝（）
A．﹣B．C．D．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
根据等比数列的通项公式得：a4•a1＝a12•q3＝，
则tan（a2a3）＝tan（a12q3）＝tan＝﹣．
故选：B．
3．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2+2x+5的零点的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：定义域为（0，+∞），求零点个数，即求lnx＝x2﹣2x﹣5解的个数．
lnx＝（x﹣1）2﹣6，可知图象有两个交点，
即f（x）＝lnx﹣x2+2x+5有两个零点．
故选：C．
4．（5分）下列命题中正确的是（）
A．若ɛ服从正态分布N（1，2），且P（ɛ＞2）＝0.1，则P（0＜ɛ＜2）＝0.2
B．命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x≤1，x2≤1”
C．直线ax+y+2＝0与ax﹣y+4＝0垂直的充要条件为a＝±1
D．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
【解答】解：对于A，ɛ服从正态分布N（1，2），其正态曲线关于直线x＝1对称，由P（ɛ＞2）＝0.1得P（0＜ɛ＜2）＝0.8，故错；
对于B，命题：“∀x＞1，x2＞1”的否定是“∃x＞1，x2≤1”，只否定结论，故错；
对于C，直线ax+y+2＝0与ax﹣y+4＝0垂直时⇒a•a+1×（﹣1）＝0⇒a＝±1，把a＝±1代入直线方程验证垂直，故正确；
对于D，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0“，”或的否定是“且“，故错．
故选：C．
5．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S是否继续循环
循环前1 1/
第一圈2 4 是
第二圈3 11 是
第三圈4 26 是
第四圈5 57 否
故退出循环的条件应为k＞4
故选：A．
6．（5分）已知函数f（x）＝3sin（2x﹣），则下列结论正确的是（）A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到
【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（2x﹣），故它的导数为f′（x）＝6cos（2x﹣），故排除A；
由于当时，f（x）＝3•，不是函数的最值，故函数f（x）的图象不关于直线对称；故排除B．
在区间上，2x﹣∈（﹣，），故函数f（x）在区间上是增函数，
故C正确；
把函数y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象，
故D错误，
故选：C．
7．（5分）已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为
双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）
A．+1B．+1C．+1D．+1
【解答】解：先由得出：
△F1PF2是直角三角形，
△PF1F2的面积＝b2cot45°＝2ac
从而得c2﹣2ac﹣a2＝0，即e2﹣2e﹣1＝0，
解之得e＝1±，
∵e＞1，∴e＝1+．
故选：A．
8．（5分）定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数
的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3C．1D．3
【解答】解：解：函数的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]
是其定义域的子集，
∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．
化简得f（x）＝在区间[m，n]上是单调递增，则有，
故m，n是方程f（x）＝＝x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）
x+1＝0同号相异的实数根．
那么mn＝，m+n＝，
只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，
解得：a＞1或a＜﹣3．
那么：n﹣m＝＝，
故n﹣m的最大值为，此时解得：a＝3．
故选：D．
二.填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
9．（5分）已知i是虚数单位，m是实数，若是纯虚数，则m＝．
【解答】解：m是实数，＝＝+i是纯虚数，
∴＝0，≠0，
解得m＝．
故答案为：．
10．（5分）一个几何体的正视图是长为3、宽为1的矩形，侧视图是腰长为2的等腰三角形，则该几何的表面积为12+8．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是平放的直三棱柱，且三棱柱的侧棱长为3，
底面三角形为等腰三角形，等腰长为2，底边上的高为1；
∴底边长为2＝2，
∴该三棱柱的表面积为
S＝S底+S侧＝2××2×1+（2+2+2）×3＝12+8．
故答案为：12+8．
11．（5分）曲线与曲线的位置关系是相交．【解答】解：曲线，即＝4×ρ（sinθ+cosθ），化为：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
曲线，消去参数可得：x+y﹣1＝0．
∴圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝＜＝r．
∴直线与圆相交．
故答案为：相交．
12．（5分）已知实数x，y满足z＝x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a＝2．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
，解得A（1，1），
∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，
∴z＝x+ay看化为：y＝﹣x+，
结合图象直线过A（1，1）时，z最大，
z的最大值是z＝a+1＝3，解得：a＝2，
故答案为：2．
13．（5分）若点P是△ABC的外心，且，∠C＝120°，则实数λ的值为﹣1．
【解答】解：如图所示，∵，∴．
∴，展开为＝．
∵点P是△ABC的外心，∠C＝120°，∴，∠APB＝120°．
∴2R2﹣R2＝λ2R2，化为λ2＝1．
∵，∴λ＝﹣1．
故答案为﹣1．
14．（5分）现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b＝，设f（x）＝（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）＝f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．
【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）＝1，
求得x＝﹣1，或x＝4，
故当x≤﹣1或x≥4时，
（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）＝x+3；
当x∈（﹣1，4）时，
（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）＝x2﹣2x．
函数g（x）＝f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，
则f（x）的图象和直线y＝﹣k有2个交点，
如图所示：
故有﹣k＝﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，
求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．
三．解答题
15．（13分）在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且．
（I）求的值；
（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且．
∴
＝…（6分）
（2）∵a＝2，，∴，
∵，a＝2，
∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即b2+c2﹣2bc cos A＝4，
∴，
∴，…（13分）
当且仅当b＝c时，取得最大值，
∴当b＝c时，△ABC的面积S的最大值为3．
16．（13分）网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，
设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），
则，（i＝0，1，2，3，4），
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率＝．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，
P（X＝0）＝P（A0）+P（A4）＝＝，
P（X＝3）＝P（A1）+P（A3）＝+＝，
P（X＝4）＝P（A2）＝＝，
∴X的分布列为：
∴EX＝＝．
17．（13分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又，∴GF＝AB．
∴四边形GF AB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
设AD＝DE＝2AB＝2a，则，，Rt△FHB中，．
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．
18．（13分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，
∴2S3＝﹣2S2+4S4，即S4﹣S3＝S2﹣S4，
得2a4＝﹣a3，∴q＝，
∵，∴＝；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n＝＝1﹣，
∴，
当n为奇数时，＝＝，
当n为偶数时，＝，
∴随着n的增大而减小，
即，且，
综上，有成立．
19．（14分）在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x＝2的距离之比为．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得＝，
两边平方可得x2+y2﹣2x+1＝（x2﹣4x+4），
即有+y2＝1，
可得轨迹E的方程为+y2＝1；
（Ⅱ）联立，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2+1），
由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，
由题意可设C（﹣，0），D（0，m），
△OAC的面积与△OBD的面积相等⇔|AC|＝|BD|恒成立
⇔线段AB的中点和线段CD中点重合．
即有﹣＝﹣，解得k＝±，
即存在定值k＝±，对于满足条件的m≠0，且|m|＜
的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等．
20．（14分）已知函数f（x）＝﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m＝0时，求函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅲ）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）m＝0时，f（x）＝，（x＞0），f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∵f（x）max＝f（e）＝＞0，f（）＝﹣e＜0，
∴f（x）在（0，e）有且只有一个零点，
x＞e时，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（e，+∞）无零点，
综上，m＝0时，f（x）有且只有一个零点；
（Ⅱ）证明：∵f（x）＝﹣mx（m≥0），
f′（x）＝（x＞0），
令g（x）＝1﹣lnx﹣mx2，g′（x）＝﹣﹣2mx＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
∵g（）＝1+﹣＞0，（∵e m＞m），g（e）＝﹣me2＜0，
∴∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，
∴x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）递增，
x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）递减，
∴x＝x0是f（x）的极大值点，
即m≥0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅲ）∵b＞a＞0时，总有＞1成立，
即b＞a＞0时，总有f（b）﹣b＞f（a）﹣a成立，
也就是函数h（x）＝f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，
由h（x）＝﹣（m+1）x（x＞0）得：h′（x）＝﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤﹣1在（0，+∞）恒成立，
设k（x）＝﹣1，则k′（x）＝（x＞0），
∴令k′（x）＞0，解得：x＞，令k′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴k（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴k（x）min＝k（）＝﹣﹣1，
故所求m的范围是（﹣∞，﹣﹣1）．。