河北省2019年中考数学总复习第5章第1节图形的相似与位似精讲试题

第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
河北五年中考真题及模拟
图形相似的判定及性质
1．(2019河北中考)如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
2．(2019河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为
1，则新三角形与原三角形相似.
图①
图②
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( A )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
图形的位似
3．(2019保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D )
A．点M B．点N C．点O D．点P
4．(2019保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A )
A．87° B．60° C．75° D．120°
5．(2019唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D )
①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．
A．4 B．2 C．1 D．3
6．(2019沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )
A．5∶8 B．3∶8
C．3∶5 D．2∶5
(第6题图)
(第7题图)
7．(2019石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为( D )
A．11 B．10 C．9 D．8
8．(2019保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x 轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作( C ) A．2条 B．3条
C ．4条
D ．6条
9．(2019邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG ＝1，BF ＝2，∠GEF＝90°，则GF 的长为( D )
A ．4
B ．2
C ．5
D ．3
10．(2019保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形
D ．正五边形与正五边形
11．(2019石家庄二十八中一模)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD ＝BC.
(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；
(2)若AD ＝3，CE ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.若点P 与
A ，
B 两点不重合，求DP
PQ
的值．
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB ＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB＝∠EBC.
又AD ＝BC ，∴△ADB≌△CBE(ASA)， ∴AB＝CE.∴AC＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ； (2)过点Q 作QH⊥BC 于点H.
则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QH EC
. 设AP ＝x ，QH ＝y ，则有BH 3＝y
5
，
∴BH＝3y 5，PH ＝3y
5＋5－x ，
∴33y 5
＋5－x ＝x y ，即(x －5)·(3y－5x)＝0. 又点P 不与A ，B 重合， ∴x≠5，即x －5≠0. ∴3y－5x ＝0，即3y ＝5x. ∴DP PQ ＝x y ＝35.
12．(2019河北中考)如图①，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．
(1)AE 和ED 的数量关系为________；
AE 和ED 的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是B C 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图②和图③.
①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH⊥HD.
②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)
解：(1)AE ＝ED ；AE⊥ED；
(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB ＝BE ＝EC ＝DC.
∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝1
2
EB ，
∴∠GFE＝∠C. ∵H 是EC 的中点，
∴EH＝HC ＝1
2
EC ，
∴GF＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝1
2
BC ＝EC ＝CD ，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD ，∠GHF＝∠HDC. ∵∠HDC＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD； ②∵GH＝HD ，GH⊥HD， ∴∠FHG＋∠DHC＝90°.
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC. 在△FGH 和△CHD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠FGH＝∠CHD，
∠GFH＝∠HCD，GH ＝HD ，
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH. ∵EF＝FG ，∴EF＝CH.
∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2， ∴BE＝EC ＝1，
∴EF＝k ，∴CH 的长为k.
,中考考点清单)
比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：如果a b ＝b c
，即b 2
＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．
3．比例的性质
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使
AB ＝__
BC
AC
__，那么点C叫做线段AC的__黄金分
割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
相似三角形的判定及性质
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：AB
BC
＝
DE
EF
，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
相似多边形
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__；
(2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
(1)确定__位似中心__；
(2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；
(4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破)
比例的性质 【例1】已知a 5＝b 4＝c
3
，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．
【解析】比例的性质中常见题型，把a ，b ，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．
【答案】－6
1．(2019沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋y
z －y
的值是( A )
A ．－5
B ．－103 C.10
3
D ．5
相似三角形的判定与性质
【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度
向点B 运动，运动时间为t s ⎝
⎛⎭⎪⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)如图②，连接AN ，CM ，若AN⊥CM，求t 的值．
【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN∽△BAC 和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．
【答案】解：(1)由题意知BA ＝62＋82
＝10(cm)，BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ， ∴BN＝(8－2t)cm.
①当△BMN∽△BAC 时，有BM BA ＝BN
BC
，
∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011
； ②当△BMN∽△BCA 时，有BM BC ＝BN
BA
，
∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223
. ∴当△B MN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或32
23
；
(2)如图②，过点M 作MD⊥CB 于点D. 由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，
DM ＝BM·s inB ＝3t·610＝9
5t(cm)，
BD ＝BM·cosB＝3t·810＝12
5
t(cm)，
∴CD＝⎝
⎛⎭⎪⎫8－125t cm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD.
∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM.∴
AC CD ＝CN DM
， ∴68－125t ＝2t 95t
，解得t ＝1312.
2．如图，不等长的两对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )
A ．甲、丙相似，乙、丁相似
B ．甲、丙相似，乙、丁不相似
C ．甲、丙不相似，乙、丁相似
D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3．(自贡中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，求证：DE 綊1
2
BC.
证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴AD AB ＝12，AE AC ＝12， ∴AD AB ＝AE AC
. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ＝1
2
，∠ADE＝∠B， ∴BC＝2DE ，BC∥DE，
即DE 綊1
2
BC.
位似图形
【例3】(2019承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩
形OABC 面积的1
4
，那么点B′的坐标是( D )
A ．(－2，3)
B ．(2，－3)
C ．(3，－2)或(－2，3)
D ．(－2，3)或(2，－3)
【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D
4．(2019沧州八中二模)如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( B )
A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2)
D．(2，1)
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如果解关于x 的分式方程2122m x
x x
-=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2
B ．2
C ．4
D ．-4
2．2018年12月27日，国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》显示预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%.其中7300万用科学记数法表示为（ ） A ．77310⨯
B ．77.310⨯
C ．87.310⨯
D ．80.7310⨯
3．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ） A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB ∥y 轴，CD 交x 轴于点M ，过原点的直线EF 分别交AD 、BC 边于点E 、F ，以EF 为一边作矩形EFGH ，并使EF 的对边GH 所在直线过点M ，若点A 的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH 的面积的大小变化情况是（ ）
A.一直减小
B.一直不变
C.先减小后增大
D.先增大后减小
5．已知二次函数y ＝x 2
﹣4x+a ，下列说法错误的是( ) A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4
C ．当a ＝3时，不等式x 2﹣4x+a ＞0的解集是1＜x ＜3
D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，﹣2)，则a ＝﹣3
6．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝4，b ＝5，则该矩形的面积为（ ）
A.50
B.40
C.30
D.20
7．如图，以边长为a的等边三角形各定点为圆心，以a为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a的圆的周长之比是( )
A．1：1 B．1：3 C．3：1 D．1：2
8．如图，∠AOB=120o，以点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交OA、OB于点C、D，分别以C、D为圆心，以大于CD为的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为( )
A.3
B.
C.2
D.6
9．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（）
A.1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.1
10．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．
11．先化简，再求值：
2
2
121
1
1
x x
x x
-+
⎛⎫
-÷
⎪-
⎝⎭
，小明的解题步骤如下：
原式=
2
1(1)
(1)(1)
x x
x x x
--
÷
+-
第一步
= 2
1(1)(1)(1)
x x x x x --⋅+-第二步 = 2
1(1)(1)(1)x x x x x -+-⋅-第三步 = 1x x
+第四步 请你判断一下小明的解题过程从第几步开始出错( ）
A ．第一步
B ．第二步
C ．第三
步 D ．第四步
12．化简
2211x a x ÷--的结果是21x +，则a 的值是（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2 二、填空题
13．已知α，β是方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
14．计算
的结果为____． 15．如图，BD 是O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形ABC △，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中12,8BC OA ==，则BD 的长为__________．
16．分解因式：8a 3
﹣2a ＝_____．
17．如图，矩形ABCD 周长为30，经过矩形对称中心O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．将矩形沿直线EF 翻折，A′B′分别交AD ，CD 于点M ，N ，B'F 交CD 于点G ．若MN ：EM ＝1：2，则△DMN 的周长为_____．
18．小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象如图所示.小明选择的物体可能是( )
A. B. C. D.
三、解答题
19．如左图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如右图，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20cm ．当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少厘米？（结果精确到0.1cm ，参考数据
.73）
20．已知反比例函数()0m y m =≠x
与一次函数y ＝kx+b （k≠0）交于点A （﹣1，6）、B （n ，2）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点A 关于y 轴的对称点为A′，连接AA′，BA′，求△AA′B 的面积．
21．某景区的三个景点A ，B ，C 在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ；乙先乘景区观光车到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C ，甲、乙两人同时到达景点C ．甲、乙两人距景点A 的路程y(米)与甲出发的时间x(分)之间的函数图象如图所示：
(1)甲步行的速度为_____米/分，乙步行时的速度为_____米/分；
(2)求乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式；
(3)问甲出发多长时间与乙在途中相遇，请直接写出结果．
22．先化简，再求值：22
22
2244x y x y x y x xy y --÷-+++
，其中2x =-，y=12x x -1． 23．先化简，再求值：2211(1)4422
x x x x x x -÷+--+--
，其中2x =． 24．如图，四边形ABCD 中，//CD AB ，= 90ABC ∠︒，AB BC =，将BCD ∆绕点B 逆时针旋转90︒得到BAE ∆，连接CE ，过点B 作BG CE ⊥于点F ，交AD 于点G ．
（1）如图，CD AB =．
①求证：四边形ABCD 是正方形；
②求证：G 是AD 中点；
（2）如图，若CD AB <，请判断G 是否仍然是AD 的中点？若是，请证明；若不是，请说明理由．
25．如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A ，C ，M ，N 均为格点.AN 与CM 交于点P
.
[1].:MP CP 的值为_________.
[2].现只有无刻度的直尺，请在给定的网格中作出一个格点三角形.要求：①三角形中含有与CPN ∠大
小相等的角；②可借助该三角形求得CPN
的三角函数值.请并在横线上简单说明你的作图方法.____________．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．0
14．2
15．20
16．2a（2a+1）（2a﹣1）
17．5
18．B.
三、解答题
19．点A向左移动了约43.9cm
【解析】
【分析】
分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可.
【详解】
根据题意得：AB＝BC＝CD，
当∠CED＝60°时，AD＝3CD＝60cm，
当∠CED＝120°时，过点E作EH⊥CD于H，
则∠CEH＝60°，CH＝HD．
在直角△CHE中，sin∠CEH＝CH CE
，
∴CH＝20•sin60°＝20×
2
＝cm），
∴CD ＝，
∴AD ＝cm ）．
∴103.9﹣60＝43.9（cm ）．
即点A 向左移动了约43.9cm ；
【点睛】
本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．
20．（1）y ＝2x+8；（2）4．
【解析】
【分析】
（1）先把A 点坐标代入反比例函数y ＝()0m y m x
=≠中求出m 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B 点坐标代入即可求出n 的值，把A 、B 两点的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b 中可求出k 、b 的值，进而可得出一次函数的解析式；
（2）根据题意求得A′的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】
解：（1）∵反比例函数()0m y m x
=
≠的图象过点A （﹣1，6）， ∴6＝1m -，即m ＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为：y ＝6x -
； ∵比例函数y ＝6x -
的图象过点B （n ，2）， ∴2＝6n
-，解得n ＝﹣3， ∴B （﹣3，2），
∵一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象过点A （﹣1，6）和点B （﹣3，2），
∴632k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得k 2b 8=⎧⎨=⎩
； ∴一次函数的解析式为：y ＝2x+8；
（2）∵点A （﹣1，6）关于y 轴的对称点为A′，
∴A′（1，6），
∴AA′＝2，
∵B （﹣3，2），
∴△AA′B 的面积：
12
×2×（6﹣2）＝4． 【点睛】 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．
21．(1)60，80；(2)y ＝300x ﹣6000(20≤x≤30)；(3)甲出发25分钟和50分钟与乙两次在途中相遇．
【解析】
【分析】
(1)由图象得相应的路程和时间，利用路程除以时间得速度；
(2)设乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式为y ＝k x+b(k≠0)，将(20，0)，(30，3000)代入，求出k 和b 的值再代回即可；
(3)先求出甲的函数解析式，再将其与乙乘观光车时的解析式联立得第一次相遇时间；在甲的解析式中，令y ＝3000，求得第二次相遇时间．
【详解】
(1)甲步行的速度为：5400÷90＝60(米/分)；
乙步行的速度为：(5400﹣3000)÷(90﹣60)＝80(米/分)．
故答案为：60，80；
(2)解：根据题意，设乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx+b(k≠0)，将(20，0)，(30，3000)代入得：
200303000k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：k 300b 6000
=⎧⎨=-⎩． ∴乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式为y ＝300x ﹣6000(20≤x≤30)
(3)设甲的函数解析式为：y ＝kx ，将(90，5400)代入得k ＝60，
∴y ＝60x ．
由603006000y x y x =⎧⎨=-⎩
得x ＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇； 在y ＝60x 中，令y ＝3000得：x ＝50，此时甲与乙第二次相遇．
甲出发25分钟和50分钟与乙两次在途中相遇．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及行程问题的基本关系．本题难度中等．
22．﹣x x y
+；4﹣． 【解析】
【分析】
此题考查分式化简求值，解题关键在于将x ，y 的值代入化简后的式子求值．
【详解】 原式＝2x y x y -+×2
(2)()()
x y x y x y +-+﹣2＝﹣x x y +；
当x ＝2，y ＝﹣1时，
4﹣． 【点睛】
本题考查分式先化简再求值，解题关键在于分母有理化时要仔细．
23 【解析】
【分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 、y 的值代入计算可得．
【详解】
原式=2(1)(1)21(2)22
x x x x x x x +--+÷---- =2(1)(1)2(2)12
x x x x x x x +--⨯---- =
122x x x x +--- =12
x -
当2x =+=
2 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）点 G 仍然是 AD 的中点，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意得出四边形 ABCD 是平行四边形，再由90ABC ∠=︒，AB BC =，得出矩形ABCD 是正方形．②由①得出BAE BCD ∆≅∆，从而得到ARE BRC ∆≅∆，再求出CBR BAG ∆≅∆，即可解答
（2）延长CD ，BG 交于点M ，延长EA 交 CM 于点 N ,先求出矩形ABCN 是正方形
在证明BMC CEN ∆≅∆，从而得出ABG DMG ∆≅∆，即可解答
【详解】
（1）证明：①//CD AB ， CD AB =，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
90ABC ∠=︒，
∴平行四边形ABCD 是矩形．
AB BC =，
∴矩形ABCD 是正方形．
②由①得90BAD ∠=︒，AB AD =．
由旋转得BAE BCD ∆≅∆，
∴AE CD =，90BAE BCD ∠=∠=︒，
∴AE BC =，90EAB CBA ∠=∠=︒．
ARE BRC ∠=∠，
∴ARE BRC ∆≅∆，
∴AR BR =．
BF CE ⊥，
∴90CFG ∠=︒，
∴90FCB FBC ∠+∠=︒．
90FBC FBA ∠+∠=︒，
∴FCB FBA ∠=∠，
∴CBR BAG ∆≅∆，
∴AG BR =， ∴1122
AG AB AD ==， ∴G 是 AD 的中点．
（2）点 G 仍然是 AD 的中点．
证明如下：延长CD ，BG 交于点M ，延长EA 交 CM 于点 N ．
ABC
∠=︒，
//
AB CD，90
∴90
∠=∠．
∠=∠，ABG DMG
BCD
∠=︒，BAG MDG
∆≅∆，
由旋转得BAE BCD
∴90
=，
∠=∠=︒，CD AE
BAE BCD
∴90
∠=︒，
BAN
∴四边形ABCN是矩形．
=，
AB BC
∴矩形ABCN是正方形，
∠=︒，
CNE
BC CN AN
==，90
∴90
∠+∠=︒．
CEN ECN
90
∠=︒，
CFG
∴90
∠+∠=︒，
ECN BMC
∴BMC CEN
∠=∠，
∴BMC CEN
∆≅∆，
∴CM NE
=，
∴CM CD NE AE
-=-，
=，
即DM AN
∴AB DM
=，
∴ABG DMG
∆≅∆，
∴GA GD
=，
∴G是AD中点．
【点睛】
此题考查四边形综合题，解题关键在于利用全等三角形的判定与性质进行求证
∆即为所求.（或者取格点E，连结AE，EN，则25．2:3取格点D，连结CD，DM，则CDM
∆即为所求.）
AEN
【解析】
【分析】
[1].设AN 与网格的交点为D ，根据DM//BC 证出
AMD ~ABN 和PMD ~PCN ,得出比例式，再根据CN=BN 即可得出MP:CP 的值
[2]. .过点N 作NG CM ⊥, 过点P 作PH CN ⊥,垂足分别为G 、H ，根据MP:CP 2:3=求出CP 的长，再根据PCH ~MCB 求出PH 的长，根据等积法求出NG,再用勾股定理得出GC 的长，从而求出PG=GN,得出CPN 45∠=︒，所以在网格中找出等腰直角三角形就符合题意．
【详解】
[1].设AN 与网格的交点为D ，
∵DM//BC ，
∴AMD ~ABN ，PMD ~PCN ,
∴MD:BN AM:AB 2:3==,MD:CN MP:CP =
∵CN=BN,
∴MP:CP AM:AB 2:3==,
故答案为：2:3
[2] 过点N 作NG CM ⊥, 过点P 作PH CN ⊥,垂足分别为G 、H,
根据勾股定理得：∵MP:CP 2:3=
∴CP =∵PH CN ⊥, ∴PH //MB
∴PCH ~MCB
∴PH:BM 3:5PH:1==，∴3PH 5=
, ∵CPN 11S PC NG CN PH 22=⨯=⨯
∴NG 5=,根据勾股定理得：GC 5
=,
∴PG=PC-GC=
5=NG , ∴PNG 是等腰直角三角形，
∴CPN 45∠=︒
法一：取格点D ，连结CD ，DM ，可得CDM 是等腰直角三角形，则CDM ∆即为所求. 法二：取格点E ，连结AE ，EN ，可得AEN 是等腰直角三角形，则AEN ∆即为所求.
【点睛】
此题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）＝sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°＝
sin 1122⨯＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（ ）
A B C D 2．已知正六边形的边心距为
，则它的半径为（ ） A.2 B.4 C.2 D.4
3．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的
( )
A ．众数
B ．方差
C ．中位数
D ．平均数
4．下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A.490x +=
B.2230x x --=
C.2311x x x +=-- 10= 5．如图是二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数，a≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)
和(3，0)之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①当13x -<<时，0y >；②0ab <；③20a b +=；④3a+c>0，其中正确的是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
7．在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （2﹣a ，0），且A 在B 的左边，点C （1，﹣1），连接AC ，
BC ，若在AB ，BC ，AC 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a 的取值范围为（ ）
A ．﹣1＜a≤0
B ．0≤a＜1
C ．﹣1＜a ＜1
D ．﹣2＜a ＜2
8．下列运算正确的是（ ）
A
1= B
=C
=D
9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于D ，E ，S △ADE =2S △DCE ，则ADE ABC S S =（
）
A ．
14 B ．
12 C ．
23 D ．49
10．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，P 为AB 上的一个动点，若AB 2=，则PE PC
+的最小值为( )
A
．1+B
．C
．2+D
．11．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，3），C （4，1），如果将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，那么点A 的对应点A'的坐标是（ ）
A ．（3，3）
B ．（3，4）
C ．（4，3）
D ．（4，4） 12．分式方程,
2133x x x +=-+-的解为（ ）. A ．0x =
B ．6x =
C ．15x =-
D ．15x = 二、填空题 13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是边AB 的中线，若CD ＝6.5，BC ＝12．sinB 的值是_____
14．秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格.现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表所示），图表中c =___．
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝x ，作A 1（1，0）关于y ＝x 的对称点B 1，将点B 1向右水平平移2个单位得到点A 2；再作A 2关于y ＝x 的对称点B 2，将点B 2向右水平平移2个单位得到点A 3；…．请继续操作并探究：点A 3的坐标是_____，点B 2014的坐标是_____．
16．分解因式：ax 2﹣ax ＝_____．
17．用科学记数法表示0.00000093的结果是_______.
18．多项式1+x+2xy-3xy 2的次数是______．
三、解答题
19．解下列方程：2213224
x x x -=+-- 20．如图1，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点．tanB ＝2．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2．点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC，上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？请在图3中补全图形，直接写出结论．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．
22．对于实数a，b，我们定义运算“◆”：a◆
b=
,
a b
ab a b
≥
<
⎪⎩
，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆
=x，y 满足方程组
235
3210
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，求（x◆y）◆x的值．
23．我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A 型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点(点D在BC左侧)．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)连接CD，若AC＝2
3
AD，求tan∠D的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．
25．设M ＝211111a a ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭
（1）化简M ；
（2）当a ＝1时，记此时M 的值为f （1）＝
111122=-⨯； 当a ＝2时，记此时M 的值为f （2）＝
1112323=-⨯； 当a ＝3时，记此时M 的值为f （3）＝135
⨯…… 当a ＝n 时，记此时M 的值为f （n ）＝ ；则f （1）+f （2）+…+f（n ）＝ ；
（3）解关于x 的不等式组：22241
x x x --⎧-⎪⎨⎪-<⎩≤f（1）+f （2）+f （3）并将解集在数轴上表示出来．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．513
14．9
15．（3，2）， （2013，2014）．
16．ax （x ﹣1）．
17．79.310-⨯
18．3
三、解答题
19．9
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x-4-x-2=3，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（1）见解析；（2）DF﹣EF，见解析；（3）①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF，②
当点F在PD上，DF+EF AF，③当点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG 是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵tanB＝2，
∴AE＝2BE；
∵E是BC中点，
∴BC＝2BE，
即AE＝BC；
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD＝BC＝AE；
（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠DPC；
∵∠AEP＝∠EFP＝90°，
∴∠PEF+∠EPF＝∠PEF+∠AEF＝90°，
即∠ADG＝∠AEF＝∠FPE；
又∵AE＝AD，∠FAE＝∠GAD＝90°﹣∠EAG，
∴△AFE≌△AGD，
∴AF＝AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF＝DG；
∴FG，且DF＝DG+GF＝EF+FG，
故DF﹣EF AF；
（3）解：如图3，
①当EP在线段BC上时，有DF﹣EF AF，
证明方法类似（2）．
②如图3﹣1中，点F在PD上，DF+EF AF．
理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG
∴△AEF≌△ADG，
同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF，
GF，
则EF+DF AF．
③如图3﹣2，点F在PD的延长线上，EF﹣DF AF，
证明方法类似（2）．
【点睛】
此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．
21．(1)见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
【详解】
（1）∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝m+2，AB•AC＝2m，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB•AC＝BC2，
即（m+2）2﹣2×2m＝32，
解得：m，
∴m
又∵AB•AC＝2m，m为正数，
∴m
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22
【解析】。