新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量 2.4 Word版含解析

§4 平面向量的坐标
课时过关·能力提升
1.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量1
2a −3
2b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)
D.(-1,2)
解析:1
2a −3
2b =1
2(1,1)−3
2(1,−1)=(−1,2),故选D . 答案:D
2.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5)
D.(2,4)
解析:因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−5). 答案:B
3.设i ,j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,O 为坐标原点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4i +2j ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +4j ,则下列坐标表示的向量中与2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的是( ) A.(1,-2) B.(7,6) C.(15,5) D.(22,16)
答案:D
4.如果向量a =(k ,1)与b =(6,k+1)共线,且方向相反,那么k 的值为( ) A.-3
B.2
C.−1
7D.1
7
解析:设a =t b (t<0),则(k ,1)=t (6,k+1),
即得{k =6t ,(k +1)t =1,且t<0,解得t=−1
,k =−3.
答案:A
5.已知M={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R },N={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R },则M ∩N 等于( ) A .{(1,1)} B .{(1,1),(-2,-2)} C .{(-2,-2)}
D .⌀
解析:设a =(x ,y ),对于M ,(x ,y )=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),{x -1=3λ,y -2=4λ,∴x -13=y -2
4①;对于N ,(x ,y )=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),{x +2=4λ,y +2=5λ,
∴x+24=y+25②.联立①②,解得x=-2,y=-2.
答案:C 6.
如图,已知|OA
⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AB 的中点是C,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 . 解析:由题意,得A (2cos 30°,2sin 30°),
即A (√3,1),B(cos 120°,sin 120°),
即B (-12,
√32).则C (√32-14,12+√3
4
). 故OC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(√32-14,12
+√34
). 答案:(√32-14,1
2+√3
4)
7.若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x = . 解析:易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),则{x +3=2,x 2-3x -4=0,解得x=-1.
答案:-1
8.已知向量OA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,m −2).若A,B,C 三点能构成三角形,则m 满足的条件是 . 解析:若A ,B ,C 三点能构成三角形,
则三点不共线,
即向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都不是平行向量. ∵OA
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,m −2), ∴AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1). 假设A ,B ,C 三点不能构成三角形, 则这三点共线,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴1×(m+1)-2m=0,∴m=1.
∴当m ≠1时,A ,B ,C 三点能构成三角形. 答案:m ≠1
★9.已知向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),c =(x 3,y 3),定义运算“*”为a *b =(x 1y 2,x 2y 1),有下列命题:①若a =(1,2),b =(3,4),则a *b =(6,4);②a *b =b *a ;③(a *b )*c =a *(b *c );④(a +b )*c =(a *c )+(b *c ),其中正确的是 .(只填序号)
解析:对于①,已知a *b =(x 1y 2,x 2y 1),若a =(1,2),b =(3,4),则a *b =(1×4,2×3)=(4,6),故①不正确;对于②,a *b =(x 1y 2,x 2y 1),b *a =(x 2y 1,x 1y 2),而(x 1y 2,x 2y 1)与(x 2y 1,x 1y 2)不一定相等,故②不正确;对于③,可举反例说明,若a =(1,2),b =(3,4),c =(2,5),则(a *b )*c =(4,6)*(2,5)=(20,12),a *(b *c )=(1,2)*(15,8)=(8,30),故③不正确;对于④,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),c =(x 3,y 3),则
(a +b )*c =(x 1+x 2,y 1+y 2)*(x 3,y 3)=((x 1+x 2)y 3,(y 1+y 2)x 3)=(x 1y 3+x 2y 3,y 1x 3+y 2x 3).而(a *c )+(b *c )=(x 1y 3,x 3y 1)+(x 2y 3,x 3y 2)=(x 1y 3+x 2y 3,y 1x 3+y 2x 3),
∴(a +b )*c =(a *c )+(b *c ),故④正确. 答案:④
10.已知平面内三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1),回答下列问题: (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n 的值; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k 的值.
解(1)由a =m b +n c ,得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1)=(-m+4n ,2m+n ).
所以{-m +4n =3,
2m +n =2,
解得{m =5
9,n =8
9.
(2)a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2). 由(a +k c )∥(2b -a ),
得2(3+4k )-(-5)×(2+k )=0,所以k=−16
13.
11.已知四边形OABC 为菱形,菱形的中心为点E (5,2),点A 的坐标为(3,7),求菱形的其余顶点B ,C 的坐标.
解设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),如图.
∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−5,y2−2), ∴{x 2-5=2,
y 2-2=-5.
∴{x 2=7,y 2=-3.
又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,2),EB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(x1−5,y1−2),
∴{x 1-5=5,
y 1-2=2.
∴{x 1=10,y 1=4.
∴点B 坐标为(10,4),点C 坐标为(7,-3). ★12.
如图,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 与OB 的交点P 的坐标. 解(方法一)∵O ,P ,B 三点共线, ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,
又OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 均为非零向量, ∴存在唯一一个实数λ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B (4,4),∴OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4), ∴OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(4,4)=(4λ,4λ).∵A(4,0),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0), ∴AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,4λ)−(4,0)=(4λ−4,4λ). ∵C (2,6),∴OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)−(4,0)=(−2,6).
由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34
,∴OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =34
OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3),∴点P 的坐标为(3,3). (方法二)设P (x ,y ),则OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).∵B(4,4),∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4). 由已知,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,∴4x-4y=0,即x=y. ①
∵A (4,0),C (2,6),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0),OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6), ∴AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y), AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)−(4,0)=(−2,6). 由已知,得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴(x-4)×6-y ×(-2)=0.
② 由①②联立,得x=y=3,∴点P 的坐标为(3,3).。