2021年河南省驻马店市汝南县中考数学一检试卷

2021年河南省驻马店市汝南县中考数学一检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列说法正确的是()
A. 可能性很大的事情是必然发生的
B. 可能性很小的事情是不可能发生的
C. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件
D. “画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件
2.图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域
中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在()
A. 区域①处
B. 区域②处
C. 区域③处
D. 区域④处
3.如图所示的几何体，其俯视图是()
A.
B.
C.
D.
4.对于反比例函数y=2
，下列说法不正确的是()
x
A. 点(−2,−1)在它的图象上
B. 图象的两个分支在第一、三象限
C. 当x>0时，y随x的增大而增大
D. 当x<0时，y随x的增大而减小
5.如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线
于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为()
A. 1
B. 2
C. √2
D. √3
6.如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要
使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为()
A. (62−x)(42−x)=2400
D. 62x+42x=2400
7.一个圆锥的底面半径r=10，高ℎ=20，则这个圆锥的侧面积是()
A. 100√3π
B. 200√3π
C. 100√5π
D. 200√5π
8.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个
9.已知(−3,y1)，(−2,y2)，(1,y3)是抛物线y=−3x2−12x+m上的点，则()
A. y3<y2<y1
B. y3<y1<y2
C. y2<y3<y1
D. y1<y3<y2
10.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将
△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的
面积为______ ．
x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋
12.如图，直线y=5
2
O B，则点A
13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=m
x
交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为______．
14.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知∠BAC=120°，
AB+AC=16，MN
⏜的长为π，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图在等边△ABC中，AB=2√3+2，点D在边AB上，且AD=2，点E是BC边上一
动点将∠B沿DE折叠，当点B的对应点B′落在△ABC的边上时，BE的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.先化简，再求值：(2a
a2−4−1
a−2
)÷a
a2+4a+4
，其中a是方程a2+a−6=0的解．
17.新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生
中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为______；
(4)某班有4名优秀的同学(分别记为E、F、G、H，其中E为小明)，班主任要从中随机选择两名同学进行经验
分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
18.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡
度为1：10(即AE：CE=1：10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m(即CE=35m)处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α=30°，已知小明身高CD=1.6m，求旗杆AB的高度．(参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数)
19.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用
于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)1213141516
y(件)120011001000900800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件，试问：当x为多少时，线上和线下月
利润总和达到最大？
20.如图，已知△ABC是锐角三角形(AC<AB)．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、
BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若BM=5
，BC=2，则⊙O的半径为______．
3
(x>0)的图21.如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y=k
x 象经过点A(3,4)和点M．
(1)求k的值和点M的坐标；
(2)求▱OABC的周长．
22.【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．
【尝试应用】
(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的
长．
【拓展提高】
∠BAD，AE=2，
(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=1
2 DF=5，求菱形ABCD的边长．
23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是
A(1,3)，将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛
物线的对称轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB
的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设
点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在点P，使S△A′MN=5
6
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误；
B、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误；
C、“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，本选项说法错误；
D、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件，本选项说法正确；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】B
【解析】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
根据中心对称图形的概念解答．
本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．3.【答案】A
【解析】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．
故选：A．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】C
，即xy=2，点(−2,−1)坐标满足关系式，因此A选项不符合题意，
【解析】解：反比例函数y=2
x
由于k=2，因此图象位于一、三象限，因此B不符合题意，
根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此C选项符合题意，而D选项不符合题意，
而减小，进而作出判断，得到答案．
考查反比例函数的图象和性质，特别反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．连接OB，根据菱形的性质得到OA=AB，求得∠AOB=60°，根据切线的性质得到∠DBO=90°，即可得到结论．
【解答】
解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=AB=OB，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO=90°，
∵OB=1，
∴BD=√3OB=√3，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：设道路的宽为x米，根据题意得(62−x)(42−x)=2400．
故选：A．
设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程(62−x)(42−x)=2400．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．7.【答案】C
【解析】解：这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，
×2π×10×10√5=100√5π.
这个圆锥的侧面积=1
2
故选：C．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△=22−4a>0，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a=0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是一次方程，解为x=−1
，
2
当a<0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是二次方程，
∵△=22−4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
9.【答案】B
=−2，
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−12
2×(−3)
∵a=−3<0，
∴x=−2时，函数值最大，
又∵−3到−2的距离比1到−2的距离小，
∴y3<y1<y2．
故选：B．
求出抛物线的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．10.【答案】A
【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=√3
2EJ=√3
2
x，
∴y=1
2EJ⋅GH=√3
4
x2．
当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
同理，△FGJ为等边三角形．
而FJ=4−x，
∴y=1
2FJ⋅GH=√3
4
(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，AC：A′C′=OA：OA′=3：4，
∴S△ABC
S△A′B′C′=(AC
A′C′
)2=(3
4
)2=9
16
，
∴S△A′B′C′=16
9
×9=16．故答案为16．
样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
12.【答案】(4,125)
【解析】解：在y =52x +4中，令x =0得，y =4，
令y =0，得0=52x +4，解得x =−85，
∴A(−85,0)，B(0,4)，
由旋转可得△AOB≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，
∴∠ABO =∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB =90°，OA =O 1A 1=85，OB =O 1B =4，
∴∠OBO 1=90°，
∴O 1B//x 轴，
∴点A 1的纵坐标为OB −OA 的长，即为4−85=
125； 横坐标为O 1B =OB =4，
故点A 1的坐标是(4,125)，
故答案为：(4,125).
首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB −OA ，即可得出答案． 本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键． 13.【答案】0
【解析】解：∵直线y =x 与双曲线y =m x 交于A ，B 两点，
∴联立方程组得：{y =x y =m x
，
解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x 2=−√m y 2=−√m
， ∴y 1+y 2=0，
故答案为：0．
联立方程组，可求y 1，y 2的值，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． 14.【答案】3(8−√3−π)
【解析】解：如图，连接OM、ON，
∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠BAC=120°，
∴∠MON=60°，
∴∠MOB+∠NOC=120°，
∵MN
⏜的长为π，
∴60πr
180
=π，
∴r=3，
∴OM=ON=r=3，
连接OA，
在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，
∴AN=√3，
∴AM=AN=√3，
∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，
∴S
阴影=S△OBM+S△OCN−(S
扇形MOE
+S
扇形NOF
)
=1
2
×3×(BM+CN)−(
120π×32
360
)
=3
2
(16−2√3)−3π
=24−3√3−3π
=3(8−√3−π)．
故答案为：3(8−√3−π)．
连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN
⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．15.【答案】√3或6−2√3
【解析】解：①当点B′落在BC边上时，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
由折叠的性质得：DB′=DB=AB−AD=2√3+2−2=2√3，B′E=BE，
∴△BDB′是等边三角形，
∴BB′=BD=2√3，
∴BE=1
2
BB′=√3；
②当点B′落在AC边上时，如图2所示：
由折叠的性质得：∠DB′E=∠B=60°，
在△ADB′中，AD=2，DB′=DB=2√3，
过点D作DM⊥B交AC于点M，
则DM=ADtanA=2×√3=2√3，
∴点M与点B′重合，
∴△ADB′=90°，∠AB′D=30°，
∴AB′=2AD=4，
∴B′C=AC−AB′=2√3−2，
∵∠EB′C=180°−∠AB′D−∠DB′E=180°−30°−60°=90°，
∴B′E=B′CtanC=(2√3−2)×√3=6−2√3，
∴BE=6−2√3；
综上所述，BE的长为√3或6−2√3；
故答案为：√3或6−2√3．
①当点B′落在BC边上时，由折叠的性质得：DB′=DB=AB−AD=2√3+2−2=2√3，B′E=BE，得出△BDB′
是等边三角形，得出BB′=BD=2√3，BE=1
2
BB′=√3；
②当点B′落在AC边上时，由折叠的性质得：∠DB′E=∠B=60°，在△ADB′中，AD=2，DB′=DB=2√3，过点D作DM⊥AB交AC于点M，则DM=ADtanA=2√3，得出点M与点B′重合，因此△ADB′=90°，∠AB′D=30°，由直角三角形的性质得出AB′=2AD=4，得出B′C=AC−AB′=2√3−2，求出B′E=B′CtanC=(2√3−
2)×√3=6−2√3即可．
本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质、锐角三角函数由运用等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，注意进行分类讨论．
16.【答案】解：(2a
a2−4−1
a−2
)÷a
a2+4a+4
=2a−a−2
a−2
⋅
a+2
a
=a−2
a−2
⋅
a+2
a
=a+2
a
，
由a2+a−6=0，得a=−3或a=2，∵a−2≠0，
∴a≠2，
∴a=−3，
当a=−3时，原式=−3+2
−3=1
3
．
【解析】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，以及分因式分解法解一元二次方程.解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a−6=0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．
17.【答案】解：(1)40；
(2)54°；
C级人数为：40−6−12−8=14(人)．
补全条形统计图，如图所示：
(3)75人
(4)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为1
【解析】
解：(1)本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(人)；
故答案为：40；
×100%=15%，
(2)∵A级的百分比为：6
40
∴∠α=360°×15%=54°；
故答案为：54°；
补全条形统计图见答案；
(3)500×15%=75(人)．
故估计优秀的人数为75人；
故答案为：75人．
(4)见答案．
【分析】
(1)由题意可得本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(人)，
(2)首先可求得A级人数的百分比，继而求得∠α的度数，然后补全条形统计图；
(3)根据A级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：作DG⊥AE于G，则∠BDG=α，
则四边形DCEG为矩形．
∴DG=CE=35m，EG=DC=1.6m
在直角三角形BDG中，BG=DG⋅×tanα=35×0.58=20.3m，
∴BE=20.3+1.6=21.9m．
∵斜坡AC的坡比为i AC=1：10，CE=35m，
=3.5，
∴EA=35×1
10
∴AB=BE−AE=21.9−3.5≈18m．
答：旗杆AB的高度为18m．
【解析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB=BE−AE可
19.【答案】解：(1)∵y 与x 满足一次函数的关系，
∴设y =kx +b(k ≠0)，b(k ≠0)，
将x =12，y =1200；x =13，y =1100代入得：
{1200=12k +b 1100=13k +b
， 解得：{k =−100b =2400
， ∴y 与x 的函数关系式为：y =−100x +2400；
(2)设线上和线下月利润总和为W 元，
则W =400(x −2−10)+y (x −10)
=400x −4800+(−100x +2400)(x −10)
=−100(x −19)2+7300，
∴当x 为19时，线上和线下月利润总和达到最大．
【解析】(1)设y = kx +b(k ≠0)，b(k ≠0)，用待定系数法求解即可；
(2)设线上和线下月利润总和为W 元，表示出W 关于x 的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，直线l ，⊙O 即为所求．
(2)12．
【解析】解：(1)见答案．
(2)如图2，过点O 作OE ⊥AB 于E ．
设OE =ON =r ，
∵BM =53，BC =2，MN 垂直平分线段BC ，
∴BN =CN =1，
∴MN =√BM 2−BN 2=√(53)2−12=43，
∵S △BNM =S △BNO +S △BOM ，
∴12×1×43=12×1×r +12×53×r ， 解得r =12．
故答案为12．
(1)作线段BC 的垂直平分线交AB 于M ，交BC 于N ，作∠ABC 的角平分线交MN 于点O ，以O 为圆心，ON 为半径作⊙O 即可．
(2)过点O 作OE ⊥AB 于E.设OE =ON =r ，利用面积法构建方程求解即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21.【答案】解：(1)∵点A(3,4)在y =k x 上，
∴k =12，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AM =MC ，
∴点M 的纵坐标为2，
∵点M 在y =
12x 上，
∴M(6,2)．
(2)∵AM =MC ，A(3,4)，M(6,2)
∴C(9,0)，
∴平行四边形ABCD的周长为2(5+9)=28．
【解析】(1)利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM=CM，推出点M的纵坐标为2．
(2)求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD
AC =AC
AB
，
∴AC2=AD⋅AB．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴BF
BC =BE
BF
，
∴BF2=BE⋅BC，
∴BC=BF2
BE =42
3
=16
3
，
∴AD=16
3
．
(3)如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//DC，∠BAC=1
2
∠BAD，
∵AC//EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∵∠EDF=1
2
∠BAD，∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，
又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，
∴ED
EG =EF
DE
，
∴DE2=EF⋅EG，
又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF2，
∴DE=√2EF，
又∵DG
DF =DE
EF
，
∴DG=√2DF=5√2，
∴DC=DG−CG=5√2−2．
【解析】(1)证明△ADC∽△ACB，得出AD
AC =AC
AB
，则可得出结论；
(2)证明△BFE∽△BCF，得出比例线段BF
BC =BE
BF
，则BF2=BE⋅BC，求出BC，则可求出AD．
(3)分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，证
明△EDF∽△EGD，得出比例线段ED
EG =EF
DE
，则DE=√2EF，可求出DG，则答案可求出．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3)，
∴抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，
∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，
∴B(3,−1)，
把B(3,−1)代入y=a(x−1)2+3可得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)2+3，即y=−x2+2x+2，
(2)①如图1中，
∵B(3,−1)，
∴直线OB的解析式为y=−1
3
x，
∵A(1,3)，
∴C(1,−1
3
)，
∵P(1,m)，AP=PA′，
∴A′(1,2m−3)，
由题意3>2m−3>−1
3
，
∴3>m>4
3
．
②∵直线OA的解析式为y=3x，直线AB的解析式为y=−2x+5，∵P(1,m)，
∴M(m
3,m)，N(5−m
2
,m)，
∴MN=5−m
2−m
3
=15−5m
6
，
∵S△A′MN=5
6
S△OA′B，
∴1
2⋅(m−2m+3)⋅15−5m
6
=5
6
×1
2
×|2m−3+1
3
|×3，
整理得m2−6m+9=|6m−8|
解得m=6+√19(舍弃)或6−√19，
∴满足条件的m的值为6−√19．
【解析】(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3)，可以假设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+3，求出点B的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
(2)①根据△A′MN在△OAB内部，构建不等式即可解决问题．
②求出直线OA，AB的解析式，求出MN，利用面积关系构建方程即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题．。