2 全反射

2 全反射
一、全反射
1.光疏介质和光密介质
(1)光疏介质：折射率较小(填“大”或“小”)的介质. (2)光密介质：折射率较大(填“大”或“小”)的介质. (3)光疏介质与光密介质是相对(填“相对”或“绝对”)的. 2.全反射现象
(1)全反射：光从光密介质射入光疏介质时，同时发生折射和反射.若入射角增大到某一角度，折射光线完全消失，只剩下反射光线的现象.
(2)临界角：刚好发生全反射，即折射角等于90°时的入射角.用字母C 表示，光从介质射入空气(真空)时，
发生全反射的临界角C 与介质的折射率n 的关系是sin C ＝1
n .
(3)全反射发生的条件
①光从光密介质射入光疏介质. ②入射角等于或大于临界角. 二、全反射棱镜
1.形状：截面为等腰直角三角形的棱镜.
2.全反射棱镜的特点
(1)当光垂直于它的一个界面射入后，都会在其内部发生全反射，与平面镜相比，它的反射率很高. (2)反射面不必涂敷任何反光物质，反射时失真小. 三、光导纤维
1.原理：利用了光的全反射.
2.构造：由内芯和外套两层组成.内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射.
3.光纤通信的优点是容量大、衰减小、抗干扰性强等.
4.光导纤维除应用于光纤通信外，还可应用于医学上的内窥镜等.
一、全反射
1.全反射现象 (1)全反射的条件：
①光由光密介质射入光疏介质. ②入射角大于或等于临界角.
(2)全反射遵循的规律：①发生全反射时，光全部返回原介质，入射光与反射光遵循光的反射定律.②全反
射的临界角C 和折射率n 的关系：sin C ＝1
n .
(3)从能量角度来理解全反射：当光从光密介质射入光疏介质时，随着入射角增大，折射角也增大.同时折射光线强度减弱，能量减小，反射光线强度增强，能量增加，当入射角达到临界角时，折射光线强度减弱到零，反射光线的能量等于入射光线的能量.
2.不同色光的临界角：由于不同颜色(频率不同)的光在同一介质中的折射率不同.频率越大的光，折射率也越大，所以不同颜色的光由同一介质射向空气或真空时，频率越大的光的临界角越小，越易发生全反射. 例1某种介质对空气的折射率是2，一束光从该介质射向空气，入射角是60°，则下列光路图中正确的是(图中Ⅰ为空气，Ⅱ为介质)()
二、全反射棱镜
全反射棱镜改变光路的几种情况
入射方式
项目
方式一方式二方式三
光路图
入射面AB AC AB
全反射面AC AB、BC AC
光线方向改变角度90°180°0°(发生侧移)
例2空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如图2所示.方框内有两个折射率n＝1.5的全反射玻璃棱镜.下列选项给出了两棱镜的四种放置方式的示意图.其中能产生图中效果的是()
图2
三、光导纤维
1.构造及传播原理
(1)构造：光导纤维是一种透明的玻璃纤维丝，直径只有几微米到一百微米，如图3所示，它是由内芯和外套两层组成的，内芯的折射率大于外套的折射率
图3
(2)传播原理：光由一端进入，在两层的界面上经过多次全反射，从另一端射出，光导纤维可以远距离传播光信号，光信号又可以转换成电信号，进而变为声音、图像.
2.光导纤维的折射率
设光导纤维的折射率为n，当入射角为θ1时，进入光导纤维的光线传到侧面恰好发生全反射，则有：sin C
＝1
n，n＝
sin θ1
sin θ2，C＋θ2＝90°，由以上各式可得：sin θ1＝n
2－1.
由图4可知：当θ1增大时，θ2增大，由光导纤维射向空气的光线的入射角θ减小，当θ1＝90°时，若θ＝C ，则所有进入光导纤维中的光线都能发生全反射，即解得n ＝ 2.
图4
以上是光从光导纤维射向真空时得到的折射率，由于光导纤维包有外套，外套的折射率比真空的折射率大，因此折射率要比2大些.
例3 如图5所示，AB 为一直光导纤维，A 、B 之间距离为s ，使一光脉冲信号从光导纤维中间入射，射入后在光导纤维与空气的界面上恰好发生全反射，由A 点传输到B 点所用时间为t ，求光导纤维所用材料的折射率n .(已知光在真空中的传播速度为c )
图5
四、全反射的应用 解决全反射问题的思路
(1)确定光是由光疏介质进入光密介质还是由光密介质进入光疏介质.
(2)若光由介质进入空气(真空)时，则根据sin C ＝1
n 确定临界角，看是否发生全反射.
(3)根据题设条件，画出入射角等于临界角的“临界光路”.
(4)运用几何关系、三角函数关系、反射定律等进行判断推理、运算及变换并进行动态分析或定量计算. 例4 一厚度为h 的玻璃板水平放置，其下表面贴有一半径为r 的圆形发光面.在玻璃板上表面放置一半径为R 的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上.已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射)，求玻璃板的折射率.
.
1.(对全反射的理解)(多选)如图6所示，半圆形玻璃砖放在空气中，三条同一颜色、强度相同的光线，均由空气沿半圆半径方向射入玻璃砖，到达玻璃砖的圆心位置.下列说法正确的是( )
图6
A.假若三条光线中只有一条在O 点发生了全反射，那一定是aO 光线
B.假若光线bO 能发生全反射，那么光线cO 一定能发生全反射
C.假若光线bO 能发生全反射，那么光线aO 一定能发生全反射
D.假若光线aO 恰能发生全反射，那么光线bO 的反射光线比光线cO 的反射光线的亮度大
2.(全反射棱镜)自行车上的红色尾灯不仅是装饰品，也是夜间骑车的安全指示灯，它能把来自后面的光线反射回去.某种自行车尾灯可简化为由许多整齐排列的等腰直角棱镜(折射率n >2)组成，棱镜的横截面如图7所示.一平行于横截面的光线从O 点垂直AB 边射入棱镜，先后经过AC 和CB 边反射后，从AB 边的O ′点射出，则出射光线是( )
图7
A.平行于AC 边的光线①
B.平行于入射光线的光线②
C.平行于CB 边的光线③
D.沿AB 边的光线④
3.(光导纤维)如图8所示是两个城市间光缆中的一条光导纤维的一段，光缆总长为L ，它的玻璃芯的折射率为n 1，外层材料的折射率为n 2.若光在空气中的传播速度近似为c ，则对于光由它的一端射入经多次全反射后从另一端射出的过程，下列判断中正确的是( )
图8
A.n 1<n 2，光通过光缆的时间等于n 1L
c
B.n 1<n 2，光通过光缆的时间大于n 1L
c
C.n 1>n 2，光通过光缆的时间等于n 1L
c
D.n 1>n 2，光通过光缆的时间大于n 1L
c
4.(全反射的应用)如图9所示的圆柱形容器中盛满折射率n＝2的某种透明液体，容器底部安装一块平面镜，容器直径L＝2H，在圆心正上方高度h处有一点光源S，要使人从液体表面上任意位置处能够观察到点光源S发出的光，h应该满足什么条件？
图9
一、选择题
考点一对全反射的理解
1.关于全反射，下列叙述中正确的是()
A.发生全反射时仍有折射光线，只是折射光线非常弱
B.光从光密介质射向光疏介质时，一定会发生全反射现象
C.光从光密介质射向光疏介质时，可能不发生全反射现象
D.光从光疏介质射向光密介质时，可能发生全反射现象
2.(多选)酷热的夏天，在平坦的柏油公路上你会看到在一定的距离之外，地面显得格外的明亮，仿佛是一片水面，似乎还能看到远处车、人的倒影.但当你靠近“水面”时，它也随你的靠近而后退，对此现象的正确解释是()
A.同海市蜃楼的光学现象具有相同的原理，是由于光的全反射作用造成的
B.“水面”不存在，是由于酷热难耐，人产生的幻觉
C.太阳辐射到地面，使地表温度升高，折射率大，发生全反射
D.太阳辐射到地面，使地面温度升高，折射率小，发生全反射
3.(多选)(2018·厦门一中高二下学期期中)夏天，海面上的下层空气的温度比上层低.我们设想海面上的空气是由折射率不同的许多水平气层组成的，远处的景物发出的光线由于不断被折射，越来越偏离原来的方向，以至发生全反射.人们逆着光线看去就出现了蜃景，如图1所示，下列说法中正确的是()图1
A.海面上上层空气的折射率比下层空气的折射率要小
B.海面上上层空气的折射率比下层空气的折射率要大
C.A是蜃景，B是景物
D.B是蜃景，A是景物
4.(多选)如图2所示，ABCD是两面平行的透明玻璃砖，AB面和CD面是玻璃和空气的分界面，分别设为界面Ⅰ和界面Ⅱ.光线从界面Ⅰ射入玻璃砖，再从界面Ⅱ射出，回到空气中，如果改变光到达界面Ⅰ时的入射角，则()
图2
A.只要入射角足够大，光线在界面Ⅰ上可能发生全反射现象
B.只要入射角足够大，光线在界面Ⅱ上可能发生全反射现象
C.不管入射角多大，光线在界面Ⅰ上都不可能发生全反射现象
D.不管入射角多大，光线在界面Ⅱ上都不可能发生全反射现象
5.(2018·北京101中学高二下学期期中)如图所示，将一个半圆形玻璃砖置于空气中，当一束单色光入射到玻璃砖的圆心O时，下列情况不可能发生的是()
考点二全反射棱镜
6.自行车尾灯采用了全反射棱镜的原理，它虽然本身不发光，但在夜间行驶时，从后面开来的汽车发出的强光照在自行车尾灯上，会有较强的光被反射回去，使汽车司机注意到前面有自行车.尾灯由透明介质做成，其外形如图3所示.下列说法中正确的是()
图3
A.汽车灯光应从左面射过来，在尾灯的左表面发生全反射
B.汽车灯光应从左面射过来，在尾灯的右表面发生全反射
C.汽车灯光应从右面射过来，在尾灯的右表面发生全反射
D.汽车灯光应从右面射过来，在尾灯的左表面发生全反射
考点三光导纤维
7.光导纤维的结构如图4所示，其内芯和外套材料不同，光在内芯中传播，以下关于光导纤维的说法正确的是()
图4
A.内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射
B.内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射
C.内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生折射
D.内芯的折射率与外套的相同，外套的材料有韧性，可以起保护作用
8.光导纤维技术在现代生产、生活与科技方面得以广泛应用.如图5所示是一个质量分布均匀的有机玻璃圆柱的横截面，B、C为圆上两点，一束单色光沿AB方向射入，然后从C点射出，已知∠ABO＝127°，∠BOC ＝120°，真空中光速c＝3×108 m/s，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.则()
图5
A.光在该有机玻璃中传播速度为1.875×108 m/s
B.光在该有机玻璃中的折射率为1.8
C.光在该有机玻璃中发生全反射的临界角为53°
D.若将该材料做成长300 km的光导纤维，此单色光在光导纤维中传播的最短时间为1×10－3 s
考点四全反射的应用
9.如图6所示，光液面传感器有一个像试管模样的玻璃管，中央插一块两面反光的玻璃板，入射光线在玻璃管内壁与反光板之间来回发生反射，进入玻璃管底部，然后在另一侧反射而出(与光纤原理相同).当透明液体的折射率大于管壁玻璃的折射率时，就可以通过光液面传感器监测出射光的强弱来判定玻璃管是否被液体包住了，从而了解液面的高度.以下说法正确的是()
图6
A.玻璃管被液体包住之后，出射光强度增强
B.玻璃管被液体包住之后，出射光消失
C.玻璃管被液体包住之后，出射光强度减弱
D.玻璃管被液体包住之后，出射光强度不变
10.如图7所示，一个透明玻璃球的折射率为2，一束足够强的细光束在过球心的平面内，以45°入射角由真空射入玻璃球后，在玻璃球与真空的交界面处发生多次反射和折射，从各个方向观察玻璃球，能看到从玻璃球内射出的光线的条数是()
图7
A.2
B.3
C.4
D.5
二、非选择题
11.如图8所示，一段横截面为正方形的玻璃棒，中间部分弯成四分之一圆弧状，一细束单色光由MN端面的中点垂直射入，恰好能在弧面EF上发生全反射，然后垂直PQ端面射出.
图8
(1)该玻璃棒的折射率为__________；
(2)若将入射光向N端平移，当第一次射到弧面EF上时________(填“能”“不能”或“无法确定能否”)发生全反射.
12.图9为一光导纤维(可简化为一长玻璃丝)的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n，AB代表端面.已知光在真空中的传播速度为c.
图9
(1)为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端面，求光线在端面AB上的入射角应满足的条件；
(2)求光线从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间.
2 全反射
[学科素养与目标要求]
物理观念：1.知道什么是光疏介质和光密介质，理解它们具有相对性.2.理解全反射现象，掌握临界角的概念和全反射的条件.3.了解全反射棱镜和光导纤维.
科学思维：利用全反射条件，应用临界角公式解答相关问题.
科学探究：采用实验观察、猜想、验证、归纳的方法得出全反射现象的发生条件、临界角概念等.
一、全反射
1.光疏介质和光密介质
(1)光疏介质：折射率较小(填“大”或“小”)的介质. (2)光密介质：折射率较大(填“大”或“小”)的介质. (3)光疏介质与光密介质是相对(填“相对”或“绝对”)的. 2.全反射现象
(1)全反射：光从光密介质射入光疏介质时，同时发生折射和反射.若入射角增大到某一角度，折射光线完全消失，只剩下反射光线的现象.
(2)临界角：刚好发生全反射，即折射角等于90°时的入射角.用字母C 表示，光从介质射入空气(真空)时，
发生全反射的临界角C 与介质的折射率n 的关系是sin C ＝1
n .
(3)全反射发生的条件
①光从光密介质射入光疏介质. ②入射角等于或大于临界角. 二、全反射棱镜
1.形状：截面为等腰直角三角形的棱镜.
2.全反射棱镜的特点
(1)当光垂直于它的一个界面射入后，都会在其内部发生全反射，与平面镜相比，它的反射率很高. (2)反射面不必涂敷任何反光物质，反射时失真小. 三、光导纤维
1.原理：利用了光的全反射.
2.构造：由内芯和外套两层组成.内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射.
3.光纤通信的优点是容量大、衰减小、抗干扰性强等.
4.光导纤维除应用于光纤通信外，还可应用于医学上的内窥镜等.
一、全反射
当光从水中射向与玻璃的交界面时，只要入射角足够大就会发生全反射，这种说法正确吗？为什么？ 答案 不正确.要发生全反射必须是光从光密介质射向光疏介质.而水相对玻璃是光疏介质，所以不管入射角多大都不可能发生全反射.
1.全反射现象 (1)全反射的条件：
①光由光密介质射入光疏介质. ②入射角大于或等于临界角.
(2)全反射遵循的规律：①发生全反射时，光全部返回原介质，入射光与反射光遵循光的反射定律.②全反
射的临界角C 和折射率n 的关系：sin C ＝1
n .
(3)从能量角度来理解全反射：当光从光密介质射入光疏介质时，随着入射角增大，折射角也增大.同时折射光线强度减弱，能量减小，反射光线强度增强，能量增加，当入射角达到临界角时，折射光线强度减弱到零，反射光线的能量等于入射光线的能量.
2.不同色光的临界角：由于不同颜色(频率不同)的光在同一介质中的折射率不同.频率越大的光，折射率也越大，所以不同颜色的光由同一介质射向空气或真空时，频率越大的光的临界角越小，越易发生全反射. 例1 某种介质对空气的折射率是2，一束光从该介质射向空气，入射角是60°，则下列光路图中正确的是(图中Ⅰ为空气，Ⅱ为介质)( )
答案 D
解析 由题意知，光由光密介质射向光疏介质，由sin C ＝1n ＝2
2，得C ＝45°＜θ＝60°，故在两介质的界
面上会发生全反射，只有反射光线，没有折射光线，故选项D 正确. 二、全反射棱镜
如图所示，已知玻璃的折射率为1.5，甲图中当光线垂直BC 面入射时，光线到达AC 面的入射角是多少？能否发生全反射？乙图中当光线垂直AC 面入射时，光线到达AB 面的入射角是多少？能否发生全反射？
答案 45° 能发生全反射 45° 能发生全反射
全反射棱镜改变光路的几种情况
入射方式
方式一方式二方式三
项目
光路图
入射面AB AC AB
全反射面AC AB、BC AC
光线方向改变角度90°180°0°(发生侧移)
例2空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如图2所示.方框内有两个折射率n＝1.5的全反射玻璃棱镜.下列选项给出了两棱镜的四种放置方式的示意图.其中能产生图中效果的是()
图2
答案 B
解析四个选项的光路图如图所示：
可知B项正确.
三、光导纤维
如图所示是光导纤维的结构示意图，其内芯和外套由两种光学性能不同的介质构成.构成内芯和外套的两种介质，哪个折射率大？为什么？
答案内芯的折射率大.因为当内芯的折射率大于外套的折射率时，光在传播时能发生全反射，光线经过多次全反射后能从一端传到另一端.
1.构造及传播原理
(1)构造：光导纤维是一种透明的玻璃纤维丝，直径只有几微米到一百微米，如图3所示，它是由内芯和外套两层组成的，内芯的折射率大于外套的折射率
图3
(2)传播原理：光由一端进入，在两层的界面上经过多次全反射，从另一端射出，光导纤维可以远距离传播光信号，光信号又可以转换成电信号，进而变为声音、图像. 2.光导纤维的折射率
设光导纤维的折射率为n ，当入射角为θ1时，进入光导纤维的光线传到侧面恰好发生全反射，则有：sin C ＝1n ，n ＝sin θ1sin θ2，C ＋θ2＝90°，由以上各式可得：sin θ1＝n 2－1. 由图4可知：当θ1增大时，θ2增大，由光导纤维射向空气的光线的入射角θ减小，当θ1＝90°时，若θ＝C ，则所有进入光导纤维中的光线都能发生全反射，即解得n ＝ 2.
图4
以上是光从光导纤维射向真空时得到的折射率，由于光导纤维包有外套，外套的折射率比真空的折射率大，因此折射率要比2大些.
例3 如图5所示，AB 为一直光导纤维，A 、B 之间距离为s ，使一光脉冲信号从光导纤维中间入射，射入后在光导纤维与空气的界面上恰好发生全反射，由A 点传输到B 点所用时间为t ，求光导纤维所用材料的折射率n .(已知光在真空中的传播速度为c )
图5
答案
ct
s
解析 设光导纤维所用材料的折射率为n ，则有
sin α＝sin C ＝1
n
n ＝c v
t ＝s sin αv ＝s v sin α 由以上三式解得t ＝s c n ·1n
＝sn 2c
，所以n ＝
ct s
. [学科素养] 例3是全反射知识的应用，注意挖掘题目中隐含条件，“恰好”“刚好”暗含的条件是入射角等于临界角.本题意在考查学生灵活运用相关知识解决实际问题的能力，体现了“科学思维”的学科素养.
四、全反射的应用 解决全反射问题的思路
(1)确定光是由光疏介质进入光密介质还是由光密介质进入光疏介质.
(2)若光由介质进入空气(真空)时，则根据sin C ＝1
n 确定临界角，看是否发生全反射.
(3)根据题设条件，画出入射角等于临界角的“临界光路”.
(4)运用几何关系、三角函数关系、反射定律等进行判断推理、运算及变换并进行动态分析或定量计算. 例4 一厚度为h 的玻璃板水平放置，其下表面贴有一半径为r 的圆形发光面.在玻璃板上表面放置一半径为R 的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上.已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射)，求玻璃板的折射率. 答案
1＋(h R －r
)2
解析 如图所示，从圆形发光面边缘的A 点发出的一条光线射到玻璃板上表面A ′点恰好发生全反射，
则有sin C ＝1
n
又由几何关系：sin C ＝
L
L 2＋h 2
，其中L ＝R －r 联立以上各式解得n ＝L 2＋h 2
L
＝
1＋(h R －r
)2
.
1.(对全反射的理解)(多选)如图6所示，半圆形玻璃砖放在空气中，三条同一颜色、强度相同的光线，均由空气沿半圆半径方向射入玻璃砖，到达玻璃砖的圆心位置.下列说法正确的是( )图6 A.假若三条光线中只有一条在O 点发生了全反射，那一定是aO 光线 B.假若光线bO 能发生全反射，那么光线cO 一定能发生全反射 C.假若光线bO 能发生全反射，那么光线aO 一定能发生全反射
D.假若光线aO 恰能发生全反射，那么光线bO 的反射光线比光线cO 的反射光线的亮度大 答案 ACD
解析 在玻璃砖直径界面，光线aO 的入射角最大，光线cO 的入射角最小，它们都是从光密介质射向光疏介质，都有发生全反射的可能.假若只有一条光线发生了全反射，那一定是aO 光线，因为它的入射角最大，所以选项A 对；假若光线bO 能发生全反射，说明它的入射角等于或大于临界角，光线aO 的入射角更大，所以光线aO 一定能发生全反射，光线cO 的入射角可能大于或等于临界角，也可能小于临界角，因此光线cO 不一定能发生全反射，所以选项B 错，C 对；假若光线aO 恰能发生全反射，则光线bO 和光线cO 都不能发生全反射，但光线bO 的入射角更接近于临界角，所以光线bO 的反射光线比光线cO 的反射光线强，即光线bO 的反射光线亮度较大，所以D 对.
2.(全反射棱镜)自行车上的红色尾灯不仅是装饰品，也是夜间骑车的安全指示灯，它能把来自后面的光线反射回去.某种自行车尾灯可简化为由许多整齐排列的等腰直角棱镜(折射率n >2)组成，棱镜的横截面如图7所示.一平行于横截面的光线从O 点垂直AB 边射入棱镜，先后经过AC 和CB 边反射后，从AB 边的O ′点射出，则出射光线是( )图7 A.平行于AC 边的光线① B.平行于入射光线的光线② C.平行于CB 边的光线③ D.沿AB 边的光线④ 答案 B
解析 由题意可知，等腰直角棱镜的折射率n >2，且sin C ＝1
n ，得临界角小于45°，由题图可得，光从空
气进入棱镜，因入射角为0°，所以光线不偏折.当光从棱镜射向空气时，入射角等于45°，发生全反射，根据几何关系，结合光路可逆可知，出射光线是②，即平行于入射光线，故B 正确，A 、C 、D 错误.
3.(光导纤维)如图8所示是两个城市间光缆中的一条光导纤维的一段，光缆总长为L ，它的玻璃芯的折射率为n 1，外层材料的折射率为n 2.若光在空气中的传播速度近似为c ，则对于光由它的一端射入经多次全反射后从另一端射出的过程，下列判断中正确的是( )图8
A.n 1<n 2，光通过光缆的时间等于n 1L
c
B.n 1<n 2，光通过光缆的时间大于n 1L
c
C.n 1>n 2，光通过光缆的时间等于n 1L
c
D.n 1>n 2，光通过光缆的时间大于n 1L
c
答案 D
解析 光从光密介质射入光疏介质，才可能发生全反射，故n 1>n 2；光在内芯传播的路程s ＝L
sin θ
，光在内
芯的传播速度v ＝c n 1，所以光通过光缆的时间t ＝s v ＝n 1L
c sin θ，故D 正确.
4.(全反射的应用)如图9所示的圆柱形容器中盛满折射率n ＝2的某种透明液体，容器底部安装一块平面镜，容器直径L ＝2H ，在圆心正上方高度h 处有一点光源S ，要使人从液体表面上任意位置处能够观察到点光源S 发出的光，h 应该满足什么条件？图9 答案 H >h ≥(3－1)H
解析 要使人从液体表面上任意位置处能够观察到点光源S 发出的光，点光源发出的光必须全部能折射进入空气，根据对称性，作出点光源经平面镜所成的像S ′，如图 所示，当光射向水面时，入射角不大于临界角，光线才能射入空气中.
则入射角i ≤C ，C 为全反射临界角，则有：sin C ＝1
n
根据几何关系得：sin i ＝L 2
(L 2)2
＋(H ＋h )2，且L ＝2H
解得：h ≥(3－1)H 故H >h ≥(3－1)H .。