高考数学命题角度5_5圆锥曲线的定值、定点问题大题狂练文

命题角度5.5：圆锥曲线的定值、定点问题
1.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在原点，离心率2
2
e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ，点M 是椭圆上异于12,A A 的任意一点，直线
12,MA MA 的斜率分别为12,MA MA k k .证明： 12MA MA k k ⋅为定值.
【答案】（1）22142x y +=（2）1212
MA MA k k ⋅=- 【解析】试题分析: （I ）设椭圆的方程，利用离心率e ＝
2
,2
直线l ：y=x +2与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程； （Ⅱ）利用M 点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论．
（2）证明：由椭圆C 的方程得()()122,0,2,0A A -，
设M 点的坐标为()00,x y ，则22
00142
x y +=.
12MA MA k k ∴⋅为定值点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.
2. 已知动点P 到定直线:2l x =-的距离比到定点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离大32.
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点()2,0D 的直线交轨迹C 于A ， B 两点，直线OA ， OB 分别交直线l 于点M ，
N ，证明以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出此定值.
【答案】（I ）2
2y x =；（II ）详见解析.
【解析】试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线OA ， OB 的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：
试题解析：
解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(),x y ，因为定点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
在定直线l ： 2x =-的右侧， 且动点P 到定直线l ： 2x =-的距离比到定点1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离大32，
所以2x >-
322x =+-，
12x =+，即22y x =，
轨迹C 的方程为2
2y x =．
（Ⅱ）设()
211
2,2A t t ， ()
222
2,2B t t （120t t ⋅≠），则()
211
22,2DA t t =-，
()
22222,2DB t t =-，
∵A ， D ， B 三点共线， ∴()()
222112222222t t t t -=-， ∴()()121210t t t t -+=， 又12t t ≠，∴121t t =-，
直线OA 的方程为11
y x t =，令2x =-，得122,M t ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．
同理可得222,M t ⎛⎫--
⎪⎝⎭
． 所以以MN 为直径的圆的方程为()()1222220x x y y t t ⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
即()2
2
121212
4
22
0t t x y y t t t t +++++=． 将121t t =-代入上式，可得()()2
2122240x y t t y ++-+-=， 令0y =，即0x =或4x =-，
故以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值4．
点睛：解析几何是高中数学中重要的知识与内容，也是高考重点考查的重要考点与热点。

这
类问题的设置旨在考查借助直角坐标的关系求解几何图形问题。

求解第一问时充分依据题设条件，运用两点间距离公式建立等量关系，通过化简使得问题获解；解答第二问时，先设
()2112,2A t t ， ()
2222,2B t t ，在借助题设中的条件建立以MN 为直径的圆的方程为
()()1222220x x y y t t ⎛
⎫⎛⎫
++++
+
= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
，探究其最值关系，从而使得问题获解。

3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，左、右焦点分别为圆12F F 、， M 是
C 上一点， 12MF =，且12122?MF MF MF F M =-．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB AQ PB =，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线．
【答案】（1）22143
x y +=（2）见解析
试题解析：（1）由已知得2a c =，且0
1260F MF ∠=，
在12F F M ∆中，由余弦定理得()()()22
2022422242cos60c c c =+--⨯-，解得1c =.
则2,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （2）由题意可得直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()14y k x -=-，即()14y kx k =+-，
代入椭圆方程，整理得()()
222234832643280k x k k x k k ++-+--=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222
32864328
,3434k k k k x x x x k k ---+==++.
设()00,Q x y ，由AP QB AQ PB =得
()()()()10210244x x x x x x --=--（考虑线段在x 轴上的射影即可）， 所以()()001212842x x x x x x =++-，
于是()220022
32864328
8423434k k k k x x k k
---=+-⨯++， 整理得()00324x x k -=-，（*） 又001
4
y k x -=
-，代入（*）式得00330x y +-=， 所以点Q 总在直线330x y +-=上.
考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.
点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.
4. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在C 上.
（I ）求C 的方程；
（II ）过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点,A B ，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积
为定值.
【答案】（I ）22
143
x y +=（II ）定值1- 【解析】试题分析：（1）（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，利用定义求解,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；
试题解析：
（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，
22
2
335322042222a ⎛⎫⎛⎫
=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 3b =.
所以，椭圆C 的方程为22
143
x y +=. （II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,
2y B x y N x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
由点,A P 在椭圆C 上得， 1212
2222
1
43
{143
x y x y +=+=，两式相减得， 1222122234y y x x -=--.
1
111
3
3224BN
y y k x x ==⋅， 1212BP y y
k x x +=+.
因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即
112
112
43y y y x x x +=⋅+. 11212121212
11212121212
4413x 3AB AP y y y y y y y y y k K x x x x x x x x --+-∴⋅=
⋅=⋅⋅=⋅=---+-，为定值. 5. 已知动圆C 过点()1,0Q ，且在y 轴上截得的弦长为2. （Ⅰ）求圆心C 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 交轨迹C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，证明：
2
2
11QA
QB
+
为
定值，并求出这个定值.
【答案】（Ⅰ）2
2.y x =（Ⅱ）定值为1.
【解析】试题分析：（1）设动圆圆心C 坐标为(),x y ，根据垂径定理得
()2
2
2
22
11x x y +=-+，化简解得圆心C 的轨迹方程；
（2）设直线l 的方程为： ()()10y k x k =-≠，利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理121x x ⋅=化简
2
2
11 1..QA
QB
+
=最后讨论斜率不存在的情形
试题解析：解：（Ⅰ）设动圆圆心C 坐标为(),x y ， 由题意得：动圆半径()
2
21r x y =
-+
圆心到y 轴的距离为x ， 依题意有()2
2
2
2
2
11x x y +=-+，
化简得2
2y x =，即动圆圆心C 的轨迹方程为： 2
2.y x = （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为： 1x =
21{2x y x
==得((2,1,2A B =- 所以2QA QB ==2
2
111QA
QB
+
=为定值.
综合①②，
2
2
11QA
QB
+
为定值，且定值为1.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，
()1010,,2,22A B ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎭，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上。

（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；
（3）设动点P 在椭圆上（异于点A 、B 、C ）且直线PB ， PC 分别交直线OA 于M 、N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值.
【答案】（1）221205x y +=（2）点C 的坐标为()4,1--．（3）OM ON ⋅为定值，定值为252
． 【解析】试题分析：（1）将点A ，B 的坐标代入方程即可求得2
2
,a b ，（2）设点(),C m n ，得
BC 的中点坐标，带去直线OA 联立椭圆方程即可求得m,n,从而得C 的坐标，（3）分别设出P,N,M
三点坐标，根据P,B,M 三点共线和P,C,N 三点共线得到M ，N,P 的关系，将P 点坐标代入椭圆方程即可得各系数之间的关系，于是OM ON ⋅化简得定制
（3）设()00,P x y ， ()112,M y y ， ()222,N y y ．
∵,,P B M
三点共线，∴
011022
222y y y x ++=++，整理，得()00100
222x y y y x -=+-．
∵,,P C N 三点共线，∴
022011
244y y y x ++=++，整理，得00200
422x y y y x -=--．
∵点C 在椭圆上，∴22
00420x y +=， 2200204x y =-．
从而(
)()220000
00
122
2
000000
2452205552444
16442
x y x y x y y y x y x y x y +--=
==⨯=+---．
所以122552OM ON y y ⋅==
．∴OM ON ⋅为定值，定值为252
． 点睛：本题主要考察圆锥曲线，先根据题意可以的椭圆方程，对于第二问和第三问则需要多
借助草图分析点之间的几何关系，尤其要注意三点共线在此题中的运用，明确目标逐步化简即可
7.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b
+=>>的短轴长为25，离心率为3
2，圆E 的圆心在椭
圆C 上，半径为2，直线1y k x =与直线2y k x =为圆E 的两条切线. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）试问： 12*k k 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
【答案】（1）221205x y +=；（2）1
4
-
【解析】试题分析：（1）由椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>焦点在x 轴上， 5b =，离心率
22253112
c b e a a a ==-=-=
，则22
20,5a b ==，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）
设()00,E x y ，圆E 的方程为
()()
22
004x x y y -+-=，由直线1y k x =与圆
()()2
2
00:4E x x y y -+-=相切，根据点到直线的距离公式可得12,k k 为方程
()2
2
20
000
4240x x x y x y --+-=，的两个根，由韦达定理可知： 2
0122
04
4y k k x -=-，由E 在椭圆上即可求得1214
k k =-
.
（2）因为直线1y k x =与圆()()2
2
00:4E x x y y -+-=相切，∴
100
2
1
21
k x y k -=+
整理得： ()
222
010*******x k x y k y --+-=， 同理可得： ()
2220200204240x k x y k y --+-=，
所以， 12,k k 为方程()
22200004240x x x y x y --+-=的两个根
∴2
0122044y k k x -=-，又∵()00,E x y 在椭圆22:
1205x y C +=上，∴22
005120x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴2
02
01222005142041444x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，故12·k k 是定值为14
-
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
8.在直角坐标系xOy 中， 已知定圆()2
2:136M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明: ·OS OT 为定值.
【答案】（1）22
198
x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）由两圆关系得等量关系6NM NF FM +=>，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列
直线方程，求出与x 轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算
·OS OT 为定值 .
试题解析：
解：(1)因为点()1,0F 在()2
2136M x y ++=：内，所以圆N 内切于圆M ，则
6NM NF FM +=>，由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则
2
2
9,8a b ==，所以动圆圆心N 的轨迹方程为22198
x y +=.
(2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则
1010
AP y y k x x -=
-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -
=-，令0y =，得0110
10S x y x y x y y -=-，同理
()()0110
0110
10
10
T x y x y x y x y x y y y y --+=
=
--+，于是
2222
01100110011022
101010··S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，
又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故222
2010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ()()222
2
2222222222
011
001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 所以()()22
222201011022
2210
018·989
x x x y x y OS OT y y x x --===--. 9. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为3
2，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆
()2
22:1(01)M x y r r ++=<<过椭圆C 的上顶点A 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交
于,B D 两点（不同于点A ），直线,AB AD 的斜率分别为12,k k . （1）求椭圆C 的方程；
（2）当r 变化时，①求12·
k k 的值；②试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）见解析.
由
122
1
{1
4
y k x x y =++=，得
()
22114180
k
x k x ++=，于是有
22
11222222
1122841841,,,41414141k k k k B D k k k k ⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
，直线BD 的斜率为123BD k k k +=-，直线BD 的方程为
21121221141841341k k k k y x k k ⎛⎫
-++--=- ⎪
+-+⎝⎭
，令
x =，得
()
2211211222
1114182055
·413413
341k k k k k y k k k -+++=+==-+-+-+，即可证明直线BD 过定点. 试题解析：（1）由题设知，
2c a =， 1
2242
a b ⨯⨯=，又222a b c -=， 解得2,1a b ==.
故所求椭圆C 的方程是2
214
x y +=. （2）①1:1AB y k x =+
r =，化简得()222111210r k k r --+-=，
对于直线2:1AD y k x =+，同理有()
22
2221210r k k r --+-=，
于是12,k k 是方程()
2221210r k k r --+-=的两实根，故12·
1k k =. 考虑到1r →时， D 是椭圆的下顶点， B 趋近于椭圆的上顶点，故BD 若过定点，则猜想定点在y 轴上.
由
122
1
{1
4
y k x x y =++=，得
()
22114180
k
x k x ++=，于是有
22
11222222
1122841841,,,41414141k k k k B D k k k k ⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
. 直线BD 的斜率为12
3
BD k k k +=
-， 直线BD 的方程为21121221141841341k k k k y x k k ⎛⎫
-++--=- ⎪+-+⎝⎭
，
令0x =，得()
22112112221114182055
·413413
341k k k k k y k k k -+++=+==-
+-+-+， 故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
10.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点()1,0F 的距离与到定直线3x =的距离之
比为
33
． （1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知P 为定直线3x =上一点.
①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G （G 不在y 轴上），求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；
②若点P 的坐标为()3,3，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R T 、，线段RT 上的点H 满足
PR RH
PT HT
=
，求证：点H 恒在一条定直线上. 【答案】（1）22132x y +=（2）①直线PG 与OG 的斜率之积为定值23
-． ②点H 在定直线2320x y +-=上．
【解析】试题分析：（1）设动点坐标(,x y ），直接利用轨迹方程定义计算即可；（2）()3,P t 令，
①令()00,G x y ，由FG FP ⊥，得·0FG FP =，即()()001,?2,0x y t -=，即0022ty x =-，
又因为点()00,G x y 在椭圆22132x y +=上，所以2
2
00223
x y =-，而PG OG 、的斜率分别为00
00
3PG OG y t y
k k x x -=
=-、，于是
()()()2
2020000000222
00000000
222223233·33333PG OG
x x x x y t y y ty k k x x x x x x x x --+----=====-----，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值23-； ②令(0)PR RH
PT HT
λλ==>，则,PR PT RH HT λλ==，
代入椭圆，消元即可证明点H 在定直线2320x y +-=上．
试题解析：（1）设(),M x y ，则()2
21MF x y
=-+，点M 到直线3x =的距离3d x =-，
由
3
MF d
=，得()2
22
1133
x y x -+=-，化简得22132x y +=， 即点M 在轨迹C 的方程为22
132
x y +=；
②令
(0)PR RH
PT HT
λλ==>，则,PR PT RH HT λλ==， 令点()()()1122,,,,,H x y R x y T x y ，则()()
()()
112211223,33,3{
,,x y x y x x y y x x y y λλ--=----=--，
即121212123333{x x y y x x x x
y y y y
λλλλλλλλ-=--=--=--=-，即21
21212131
31{11
x x y y
x x x y y y λλλλλλλλ-=
--=-+=++=+①②
③
④
由①×③，②×④，得222
212
222
21
231
{31
x x x y y y λλλλ-=--=-⑤⑥
，
因为()()1122,,,R x y T x y 在椭圆22
132x y +=上，所以22112222236{236
x y x y +=+=， ⑤×2+⑥×3，得()()
2222222222
22211
212122
232322336911x y x y x x y y x y λλλλλ+-+-+-+==-- ()
2
2226166611
λλλλ--===--，即2320x y +-=， 所以点H 在定直线2320x y +-=上．
本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出2
2
,a b 即可，注意222,c
a b c e a
=+=
的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．。