靖安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

靖安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
2．设集合M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
3．已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（）
A．f′（x0）＜0 B．f′（x0）=0
C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定
4．如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
5．已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，则实数x的值是（）
A．﹣2 B．2 C．﹣D．
6．直线在平面外是指（）
A．直线与平面没有公共点
B．直线与平面相交
C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
7．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x
8．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）
A．B．C．D．
9．命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（）
A．“∀a∈R，函数y=π”是减函数 B．“∀a∈R，函数y=π”不是增函数C．“∃a∈R，函数y=π”不是增函数D．“∃a∈R，函数y=π”是减函数
10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，
满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0
，] C．（0
，）D．
[，1）
11．已知函数
(5)2
()e22
()2
x
f x x
f x x
f x x
+>
⎧
⎪
=-≤≤
⎨
⎪-<-
⎩
，则(2016)
f-=（）
A．2e B．e C．1 D．1 e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
12．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}
二、填空题
13．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F
斜率为的直线与抛物线C
相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|
，则=．14．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．
15．的展开式中的系数为（用数字作答)．
16．已知
a=
（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2
﹣）6展开式中的常数项是．
17．已知集合{}
|03,
A x x x R
=<∈
≤，{}
|12,
B x x x R
=-∈
≤≤，则A∪B＝▲．
18．设i
是虚数单位，是复数z的共轭复数，若复数z=3﹣i，则z
•=．
三、解答题
19．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
Ⅱ10n
（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的离心率为
2
，A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的
动点，且P A P B 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
21．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如
（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）
（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
23．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．
（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．
24．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．
（1）若M是AB的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．
靖安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况：
①当a2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，
若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；
②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，
∴，解得，
综上得，实数a的取值范围是．
则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，
反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
2．【答案】B
【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，
若M∩N≠￠，
则k≥﹣1．
∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
3．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），
∴，
∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f''（x）递减，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
4．【答案】A
【解析】解：因为，
而（m∈R，i表示虚数单位），
所以，m=1．
故选A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．
5．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
6．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
7．【答案】D
【解析】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．
故选D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减．
8．【答案】D
【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，
故这种分数是可约分数的共有个，
则分数是可约分数的概率为P==，
故答案为：D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
10．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．
∴e2=＜，∴0＜e＜．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
11．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)
-==⨯+==，故选B．
f f f f e
12．【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}，
∵B={0，1，4}，
∴（C U A）∪B={0，1，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．
14．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C∈（0，π），∴角C是锐角，
由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
15．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质
【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
16．【答案】240．
【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．【答案】1－1，3]
【解析】
试题分析：A∪B＝{}{}
≤≤≤＝1－1，3]
|03,|12,
<∈-∈
x x x R x x x R
考点：集合运算
【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
18．【答案】10．
【解析】解：由z=3﹣i，得
z•=．
故答案为：10．
【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，
当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，
∴．
（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列为
20．【答案】（1）2
2
14
2
x
y
+
=；（2）22[2,7)F M F N ∈-.
【解析】
试
题解析：（1）根据题意知2
c a
=
，即
22
12
c a
=
，
∴
2
2
212
a b a
-=
，则2
2
2a b =，
设(,)P x y ，
∵(,)(,)P A P B a x y a x y =-----，
2
2
2
2
2
22
22
1()2
2
2
a
x
x a y
x a x a =-+=-+
-
=
-，
∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
m in ()22
a
P A P B =-=-，
∴2
4a =，则2
2b =.
∴椭圆C 的方程为
2
2
14
2
x
y
+
=.
11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122
12x x k
+=-+，2
122
4(1)
12k
x x k
-=
+，
∵211(2,)F M x y =-
，222()F N x y =-，
∴2
22121212)2(F M F N x x x x k x x =-
++++
+
2
2
2
1212(1))22k x x x x k =++-+++
2
2
2
2
2
2
2
4(1)
42(1)
2(1)
221212k
k
k k k
k
k
--=++
-++++
2
9712k
=-
+.
∵2
121k +≥，∴2
10112k
<≤+.
∴2
97[2,7)12k
-
∈-+.
综上知，22[2,7)F M F N ∈-.
考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
21．【答案】
【解析】解：（1），=5…
且，代入回归直线方程可得
∴=0.6x+3.2，
x=6时，=6.8，…
（2）X的取值有0，1，2，3，则
，，
，…
【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．
22．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=，则h′（x）=．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
23．【答案】
【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，
∴a2+b2+c2≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
24．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．。