合肥市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

合肥市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列4个命题：
①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4} C ．M D ．{2，7}
3． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤<
C. {}|21x x -≤≤
D. {}|22x x -≤≤
【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.
4． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）
A ．
π B ．2
π
C ．4
π
D ．
π
5． 函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
6． 如图，空间四边形OABC 中，，
，
，点M 在OA 上，且
，点N 为BC 中点，
则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
8． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 9． 设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．﹣1 10．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，1）
C ．（2，0）
D ．（0，2）
11．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．
B ．y=x 2
C ．y=﹣x|x|
D ．y=x ﹣2
12．若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .
14．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．
15． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
16．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）
A ．（0，）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
17．在（2x+
）6
的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
18．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;
⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由． 20．在中，，
，
.
（1）求的值;
（2）求的值。

21．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
22．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，且AD=2CD=2，AA 1=2，∠A 1AD=．若O
为AD 的中点，且CD ⊥A 1O （Ⅰ）求证：A 1O ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角D ﹣A 1A ﹣P 为？若存在，求出BP 的长；不存在，说明理
由．
23．一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．
24．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
合肥市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2
﹣x ≠0”，①正确； ②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确； ③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，
由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C ．
2． 【答案】D
【解析】解：∵M ∪N=M ，∴N ⊆M ， ∴集合N 不可能是{2，7}， 故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
3． 【答案】B
【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B =ð{}|21x x -≤<，故选B.
4． 【答案】C
【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4
π
故选：C ．
5． 【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为：
=π．
因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
6．【答案】B
【解析】解：===；
又，，，
∴．
故选B．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．
7．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
8．【答案】C
【解析】
考点：等差数列的通项公式．
9．【答案】A
【解析】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1 故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
10．【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f （0）=a 0
+3=1+1=2．
∴函数f （x ）=a x
+1的图象必过定点（0，2）．
故选：D ．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a 0
=1（a ＞0且a ≠1），属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=x 2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；
函数y=x ﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，
∴y=+=（a+b ）=2+
=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴y=+的最小值是4． 故选：C ．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】1 【解析】
试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，
0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，
需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是2
12121c c
b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.1
14．【答案】 平行 ．
【解析】解：∵AB 1∥C 1D ，AD 1∥BC 1，
AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，AB 1∩AD 1=A C 1D ⊂平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，C 1D ∩BC 1=C 1 由面面平行的判定理我们易得平面AB 1D 1∥平面BC 1D
故答案为：平行．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
15．【答案】①②④ 【
解
析】
16．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2
=8y ，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
17．【答案】 240
【解析】解：由（2x+
）6
，得
=
．
由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于
．
故答案为：240．
18．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M （0，﹣2）和N （0，2），动点P （x ，y ）满足||•||=m （m ≥4），
∴
•
=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x 2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故不正确；
④若P 、M 、N 三点不共线，|
|+|
|≥2
=2
，所以△PMN 周长的最小值为2
+4，正确；
⑤曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin ∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，正确． 故答案为：①④⑤．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1x =. 【解析】
（2 ，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由2
2,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2
480y my --=，∴128y y =-， 因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 20．【答案】
【解析】 解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，
，
于是
（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得
于是
所以
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴
ED
EP
EF EA =，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 2
9
=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得427=EP .
∴4
15
=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)29427(4152+⨯=
PA ，解得4
315=PA ．……………………10分 22．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A 1AD=，且AA 1=2，AO=1，
∴A 1O==
，…（2分）
∴
+AD 2=AA 12，
∴A 1O ⊥AD ．…（3分） 又A 1O ⊥CD ，且CD ∩AD=D ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ．…（5分）
（Ⅱ）解：过O 作Ox ∥AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz （如图）， 则A （0，﹣1，0），A
1（0，0，），…（6分）
设P （1，m ，0）m ∈[﹣1，1]，平面A 1AP 的法向量为
=（x ，y ，z ），
∵=
，
=（1，m+1，0），
且
取z=1，得
=
．…（8分）
又A 1O ⊥平面ABCD ，A 1O ⊂平面A 1ADD 1 ∴平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ．
又CD ⊥AD ，且平面A 1ADD 1∩平面ABCD=AD ， ∴CD ⊥平面A 1ADD 1．
不妨设平面A 1ADD 1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）
由题意得
=
=
，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP 的长为2时，二面角D ﹣A 1A ﹣P 的值为
．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
23．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，
在Rt△EOF中，，
∴，
∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2
x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
故f（x）的单调减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin（2x+）∈[0，2]，
所以，f（x）的值域为[0，2]．。