【2019届高考二轮臻品资源-数学】专题二 第4讲 数列(学生版)
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(2)(2017·北京海淀区质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-2,若数列{bn}满足 bn=10-log2an,
则使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为________.
解析 (1)∵数列an 为等比数列, a4a5 1 , a8a9 16 ,
2������������ = 1 ⋅ 22 + 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 23 + ⋯ + ������ ⋅ 2������+1.
∴������������ = (������ − 1)2������+1 + 2 探究提高 1.本例题常见错误: (1)忽略 an+1≠0,由 an+1(an+2-an)=λan+1 直接得出 an+2-an=λ. (2)由{a2n-1}是等差数列,{a2n}是等差数列,直接得出数列{an}为等差数列. 2.判定等差(比)数列的主要方法:
≥
2),
∴{������������ − 1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(2)由(1)得������������ = 2������ − 1,������������ = ������ ⋅ 2������,
∴������������ = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋯ + ������ ⋅ 2������,
数学
解 (1)由 a2n+2an=4Sn+3,可知 a2n+1+2an+1=4Sn+1+3. 两式相减可得 a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=a2n+1-an2=(an+1+an)(an+1-an). 由于 an>0,可得 an+1-an=2. 又 a21+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
数学
热点三 数列的求和问题 1.分组转化求和 【例 3.1】 (2017·石家庄三模)已知等差数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的首项 b1=1, 且 a2=b3,S3=6b2,n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足 cn=bn+(-1)nan,记数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q. ∵a1=2,b1=1,且 a2=b3,S3=6b2,
∴23+(d2=+q222+,2d)=6q.解得dq==22,.
∴an=2+(n-1)×2=2n,bn=2n-1. (2)由题意:cn=bn+(-1)nan=2n-1+(-1)n2n. ∴Tn=(1+2+4+…+2n-1)+[-2+4-6+8-…+(-1)n·2n], ①若 n 为偶数: Tn=11--22n+{(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]}=2n-1+n2×2=2n+n-1. ②若 n 为奇数: Tn=11--22n+{(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-2)+2(n-1)]-2n}=2n-1+2×n-2 1-2n=2n-n-2. ∴Tn=22nn+-nn--12,,nn为为偶奇数数,. 探究提高 1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想,把一般的数列求和转化为等差数列或等比 数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数 n 进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个 表达式. 2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组;(2)根据正号、负号分组. 2.裂项相消法求和 【例 3.2】 (2015·全国Ⅰ卷)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,an2+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=ana1n+1,求数列{bn}的前 n 项和.
∴ a8a9 q8 a4a5 ,即 q8 16 ,∴ q4 4 ,
则 a6a7 q4 a4a5 4 .故选 B. (2)∵Sn=2an-2,∴n=1 时,a1=2a1-2,解得 a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),∴an=2an-1. ∴数列{an}是公比与首项都为 2 的等比数列,∴an=2n. ∴bn=10-log2an=10-n.由 bn=10-n≥0,解得 n≤10. ∴使数列{bn}的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10. 答案 (1) B (2)9 或 10
相消法适用于形如anacn+1(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c 为常数)的数列.
数学
热点题型
热点一 等差(比)数列的性质
【例 1】(1)(2018·南昌联考)等比数列an 中,若 a4a5 1 , a8a9 16 ,则 a6a7 等于( )
A.−4
B.4
C.±4
D.127
知识与技巧的梳理
1.等差数列 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d; (2)求和公式:Sn=n(a12+an)=na1+n(n- 2 1)d; (3)性质: ①若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; ②an=am+(n-m)d; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式:an=a1qn-1(q≠0); (2)求和公式:q=1,Sn=na1;q≠1,Sn=a1(11--qqn)=a11--aqnq; (3)性质: ①若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq; ②an=am·qn-m; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(Sm≠0)成等比数列. 3.数列求和 (1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成 几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并. (2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项
∵ Sn Sn1 2an n 2an1 n 1 (������ ≥ 2),∴ an 2an1 1,
从而由������������
+
1
=
2(������������−1
+
1)得 ������������+1
������������−1+1
=
2(������
(2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,己知 S2=3,S4=15, ������2 = ������1 + ������2 = 3, ������4 = ������1 + ������2 + ������3 + ������4 = (1 + ������2)(������2) 代入数值得到 q=-2 或 2,
(2)由 an=2n+1 可知 bn=ana1n+1=(2n+1)1(2n+3)=122n1+1-2n1+3.
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,
则 Tn=b1+b2+…+bn=1213-51+15-17+…+2n1+1-2n1+3=3(2nn+3).
探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵 消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项. 2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
(2)若数列{������������(������4������+2)}的前������项和为������������Βιβλιοθήκη ,证明:12≤
������������
<
1.
解 (1)因为2������������ = (������ + 1)������������,当������ ≥ 2时,2������������−1 = ������������������−1
两式相减得:2������������ = (������ + 1)������������ − ������������������−1 即(������ − 1)������������ = ������������������−1,
数学
专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列
第 4 讲 数列
考向预测
1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现; 2.数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档以下. 3.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和, 难度中档偏下.
(1)定义法:对于任意 n≥1,n∈N*,验证 an+1-an或aan+n 1为与正整数 n 无关的一常数.
(2)中项公式法 ①若 2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列; ②若 a2n=an-1·an+1(n∈N*,n≥2)且 an≠0,则{an}为等比数列. 【训练 2】 (2017·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.已知 S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列. 解 (1)设{an}的公比为 q,由题设可得aa11( (11+ +qq) +=q2)2,=-6, 解得 q=-2,a1=-2. 故{an}的通项公式为 an=(-2)n.
探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入
手选择恰当的性质进行求解.
2.活用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质
解题.
【训练 1】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则( )
当公比为 2 时,������2 = ������1 + ������2 = 3 解得������1 = 1,S3=7;
当公比为-2 时,������2 = ������1 + ������2 = 3解得������1 = -3,S3=-9. 故答案为 C. 答案 (1)D (2)C
热点二 等差(比)数列的判断与证明 【例 2】(2018·哈市附中在)已知数列{������������}满足������������ = 2������������ − ������(������ ∈ ������∗). (1)证明:数列{������������ + 1}是等比数列; (2)令������������ = ������(������������ + 1),数列{������������}的前������项和为������������,求������������. 解(1)由������1 = 2������1 − 1得:������1 = 1,
数学
(2)由(1)得 Sn=a1(11--qqn)=-21[-1-((--2)2)n]=23[(-2)n-1], 则 Sn+1=23[(-2)n+1-1],Sn+2=23[(-2)n+2-1], 所以 Sn+1+Sn+2=23[(-2)n+1-1]+23[(-2)n+2-1]=23[2(-2)n-2]=43[(-2)n-1]=2Sn, ∴Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列.
A.d>0
B.d<0
C.a1d>0
D.a1d<0
(2) (2018·银川一中)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,己知 S2=3,S4=15,则 S3=( )
A.7
B.-9
C.7 或-9
D.683
解析 (1)因为数列{2a1an}为递减数列,所以 2a1an<2a1an-1,则 a1an<a1an-1,∴a1(an-an-1)<0,从而 a1d<0.
【训练 3.2】 (2019·广元一模)设������������为数列{������������}的前������项和,已知������1 = 2,对任意������ ∈ ������∗,都有2������������ = (������ + 1)������������.
(1)求数列{������������}的通项公式;