2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2练习：第二章 变化率与导数 2.3 Word版含解析.pdf

§3　计算导数
课后训练案巩固提升
A 组
1.函数y=lg x 在x=1处的瞬时变化率为( )
A.0
B.1
C.ln 10
D.1ln10
解析:∵y'=,∴函数在x=1处的瞬时变化率为.
1x ln1011×ln10=1ln10答案:D
2.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x-y+1=0,则( )
A.f'(x 0)<0
B.f'(x 0)>0
C.f'(x 0)=0
D.f'(x 0)不存在
解析:由导数的几何意义可知曲线在点(x 0,f (x 0))处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以f'(x 0)=3.故选B .答案:B
3.已知f (x )=x 2,g (x )=x 3,且f'(x )<g'(x ),则( )
A.x<0
B.x>23
C.0<x<
D.x<0或x>2323
解析:∵f (x )=x 2,g (x )=x 3,且f'(x )<g'(x ),
∴2x<3x 2.∴3x 2-2x>0.
∴x (3x-2)>0.∴x<0或x>.
23
4.若曲线y=x 4的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直,则l 的方程为( )
A.4x-y-3=0
B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0
D.x+4y+3=0
解析:∵切线l 与直线x+4y-8=0垂直,
∴切线l 的斜率为4.又y'=4x 3,
由切线的斜率为4,得4x 3=4,即x=1,切点坐标为(1,1).
∴切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
答案:A
5.已知偶函数f (x )在R 上可导,且f'(1)=1,f (x+2)=f (x-2),则曲线y=f (x )在x=-5处切线的斜率为(
)
A.2
B.-2
C.1
D.-1
解析:由f (x+2)=f (x-2),得f (x+4)=f (x ),可知函数f (x )的周期为4,又函数f (x )为偶函数,所以f (-5)=f (5)=f (1),所以曲线y=f (x )在x=-5处切线的斜率k=f'(-5)=-f'(1)=-1.
答案:D
6.已知f (x )=sin x ,g (x )=cos x ,h (x )=ln x ,则f'+g'-h'= .
(π4)(π4)(12)解析:∵f'(x )=(sin x )'=cos x ,g'(x )=(cos x )'=-sin x ,h'(x )=(ln x )'=,
1x ∴f'+g'-h'-2=-2.
(π
4)(π
4)(1
2)=22‒2
2答案:-2
7.已知幂函数y=f (x )的导函数的图像过点,则f (2)= .
(1,1
2)解析:设f (x )=x α,则f'(x )=αx α-1,f'(1)=α=,
1
2∴f (x )=.∴f (2)=.x 1
22
8.在曲线y=上求一点P ,使曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.4x
2解设点P 坐标为(x 0,y 0),
∵y'=-8x -3,
∴f'(x 0)=-8=tan 135°=-1.
x -30∴x 0=2,代入y 0=,得y 0=1.4x 20
∴点P 的坐标为(2,1).
9.(1)求曲线y=e x 在x=2处的切线方程;
(2)过原点作曲线y=e x 的切线,求切线方程.
解(1)∵y=e x ,∴y'=e x .
当x=2时,y'=e 2,故所求切线方程为y-e 2=e 2(x-2),即y=e 2x-e 2.
(2)设切点坐标为(x 0,),在该点处的切线的斜率为k=,故切线方程为y-(x-x 0),当切线过原点时,有0-e x 0e x 0e x 0=e x 0e x 0
(0-x 0),解得x 0=1,因此所求切线方程为y-e =e(x-1),即y=e x.
=e x 010.导学号88184022设曲线f (x )=上有点P (x 1,y 1),与曲线切于点P 的切线为m ,若直线n 过点P x 且与m 垂直,则称n 为曲线在点P 处的法线.设n 交x 轴于点Q ,又作PR ⊥x 轴于点R ,求RQ 的长.
解∵f (x )=,∴f'(x )= .x =x 1212x -12=12x
∴f'(x 1)=
.12x 1又∵直线n 与m 垂直,∴直线n 的斜率为-2.
x 1∴直线n 的方程为y-y 1=-2(x-x 1),
x 1令y=0,得-y 1=-2(x Q -x 1),
x 1∴x Q =+x 1.
1
2又知x R =x 1,
∴|RQ|=|x Q -x R |=.|12+x 1-x 1|=12B 组
1.在下列四个命题中,真命题的个数为( )
①若函数f (x )=,则f'(0)=0;
x ②加速度是动点位移函数s (t )对时间t 的导数;
③函数y=x 5的导数的值恒大于或等于零.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:f (x )=在x=0处不可导;加速度是动点速度函数v (t )对时间t 的导数;y'=(x 5)'=5x 4≥0,所以正确的命题为③.x 答案:B
2.若指数函数f (x )=a x (a>0,a ≠1)满足f'(1)=ln 27,则f'(-1)=( )
A.2
B.ln 3
C. D.-ln 3
ln33解析:∵f'(x )=a x ln a ,则f'(1)=a ln a=ln 27,解得a=3.
∴f'(x )=3x ln 3.∴f'(-1)=.
ln3
3答案:C
3.正弦曲线y=sin x 上有一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是 . 解析:∵y'=(sin x )'=cos x ,且cos x ∈[-1,1],∴k ∈[-1,1].
设直线l 的倾斜角为α,则由k=tan α知-1≤tan α≤1,且α∈[0,π).
∴α∈.[0,π4]∪[3
4π,π)
答案:[0,π4]∪[34π,π)
4.
导学号88184023设抛物线y=x 2与直线y=x+a (a 是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处的切线分别为l 1,l 2,求a 值变化时,l 1与l 2交点的轨迹.
解将y=x+a 代入y=x 2整理得x 2-x-a=0,
①为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须Δ=(-1)2+4a>0,即a>-.
14设两交点为(α,α2),(β,β2),且α<β.
由y=x 2得y'=2x ,
则切线l 1,l 2的方程分别为y=2αx-α2,y=2βx-β2,
设两切线交点为(x ,y ),则②{x =α+β2,
y =αβ.
又α,β是方程①的解,由根与系数的关系可知α+β=1,αβ=-a ,代入②得x=,y=-a<.
1214从而,所求的轨迹为直线x=上的y<的部分.1214。