高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课时跟踪检测二十一简单的三角恒等变换练习文

课时跟踪检测 (二十一) 简单的三角恒等变换
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝3
5
，则sin 2x ＝( )
A ．18
25 B ．725 C ．－725
D ．－1625
解析：选C ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4－x －1，
∴sin 2x ＝－7
25
．
2．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝( )
A ． 3
B ．－ 3
C ．
33
D ．－
33
解析：选A
sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
1＋2cos 2
θ－1
＝tan θ＝3． 3．化简：cos 40°
cos 25°1－sin 40°＝( )
A ．1
B ． 3
C ． 2
D ．2
解析：选C 原式＝cos 2
20°－sin 2
20°
－
＝
cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°
cos 25°
＝2，故选C ．
4．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2
x
2
－sin x －1
sin x ＋cos x ＝________．
解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 故2cos 2
x
2－sin x －1
sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x
tan x ＋1＝－3．
答案：－3
5．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝1
3
，则sin A ＝______．
解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，
∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2
A ＝13，∴
sin A ＝
33
． 答案：
33
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2017·东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C ．1
2
D ．0
解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－1
2sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α
＝－1，
∴cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝cos 2
α－sin 2
αsin 2α＋cos 2
α＝1－tan 2
α
tan 2α＋1
＝0． 2．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－2
11
D ．211
解析：选A 由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－3
4，tan(α＋β)＝tan[2α
－(α－β)]＝
tan 2α－tan α－β
1＋tan 2αtan α－β
＝－2．
3．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )
A ．12
B ．
32
C ． 3
D ． 2
解析：选C 原式＝－－sin 20°
sin 70°
＝2
cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20°
sin 70°
＝3cos 20°
cos 20°
＝3．
4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )
A ．π4
B ．π3
C ．π2
D ．3π4
解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin
C ，
在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan
B ＋tan
C ＝－2，
又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，
即tan A ＝1，所以A ＝π
4
．
5．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－
2
10
B ．
210
C ．5210
D ．7210
解析：选A ∵sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝2tan αtan 2α＋1＝3
5，cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝cos 2
α－sin 2
αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2
α1＋tan 2
α＝－4
5
， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210． 6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝1
3，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝1
6
，
所以cos αcos β－sin αsin β＝1
6
．①
因为cos(α－β)＝1
3
，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝1
3．②
①＋②得cos αcos β＝1
4．
②－①得sin αsin β＝1
12
．
所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
3．
答案：13
7．已知方程x 2
＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________． 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1．
又∵α，β∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2，π2
，tan α＋tan β＝－3a ＜0，tan αtan β＝3a ＋1＞0，∴
tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π
4．
答案：－3π
4
8．
3tan 12°－32
12°－
＝________．
解析：原式＝
3· sin 12°cos 12°－3
2
12°－
＝23⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12sin 12°－32cos 12°cos 12°
2cos 24°sin 12°＝23－
2cos 24°sin 12°cos 12°
＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°
1
2sin 48°＝－43． 答案：－4 3
9．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的
值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝
55，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
得sin β＝25
5
，tan β＝2．
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13＋21＋2
3＝1．
∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，
∴π2<α＋β<3π
2， ∴α＋β＝5π4
．
10．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝2． (1)求A 的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以cos α＝8
17
．
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6 ＝2cos β＝8
5
，
得cos β＝45，又β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以sin β＝3
5
，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385
． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
23π9＝( ) A ．－1
8
B ．－116
C ．116
D ．18
解析：选A cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9
＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°
＝－1
4sin 80°·cos 80°sin 20°
＝－18sin 160°sin 20°＝－18si n 20°sin 20°＝－18
．
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2－2x －2f 2
(x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3
3．
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－
32＋33＝－3
6
．
(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，
∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2
x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，
∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π
6
．
∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，
故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2
(x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。