正弦定理知识讲解

正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中
（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0
180A B C ++=；
（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）0
90B A +=， （2）2
2
2a b c += （3）sin a A c =
，sin b
B c =，sin 1
C =； cos b A c =，cos a
B c
=，cos 0C =
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c
A B C
==
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：sin a A c =
， sin b
B c =， sin 1
C =， 即：sin a c A =，sin b c B =，sin c
c C =，
∴sin sin sin a b c A B C
==
． 斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法
（1）当ABC ∆为锐角三角形时
过A 作单位向量j 垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得j ⋅r (+)=j ⋅r
， 即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅r u u u r r u u u r r u u u r
∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ⋅+⋅-=⋅-o o
r u u u r r u u u r r u u u r ，
∵0j AC ⋅=r u u u r ，||1j =r ，||CB a =u u u r ，||AB c =u u u r ，cos(90)sin C C -=o ，cos(90)sin A A -=o
∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c
A C
=
， 同理：若过C 作垂直于CB 得：sin sin b c
B C
=
∴sin sin sin a b c A B C
==
， （2）当ABC ∆为钝角三角形时
设90A ∠>o
，过A 作单位向量垂直于向量， 同样可证得：sin sin sin a b c
A B C
==
．
法二：圆转化法
（1）当ABC ∆为锐角三角形时
如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，
∴sin sin 2c C D R
==， ∴2sin c
R C
=
（R 为ABC ∆的外接圆半径） 同理：2sin a R A =，2sin b
R B =
故：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== （2）当ABC ∆为钝角三角形时
如图，sin sin sin 2a A E F R
===. 法三：面积法
任意斜ABC ∆中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =
111
sin sin 222
ABC S AB CH AB AC A bc A ∆=
⋅=⋅=
同理：1sin 2ABC S ab C ∆=，1
sin 2ABC S ac B ∆= 故111
sin sin sin 222
ABC
S ab C ac B bc A ∆===， 两边同除以abc 2
1
即得：
sin sin sin a b c
A B C
==
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆半径）
； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 要点诠释：
已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；
(1)若A 为锐角时：a bsin A
a bsin A
()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪
=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩
无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角
如图：
(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()
≤⎧⎨>⎩无解一解锐角
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。

但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。

比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。

此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o
，求,a b 和B.
【答案】102,5652,105a b B ===o
【解析】sin sin a c
A C
=
Q
， ∴sin 10sin 45102sin sin 30
c A a C ⨯===o
o
∴ 180()105B A C =-+=o
o
， 又
sin sin b c
B C
=
， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 30c B b C ⨯+=
====o o
o 【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三：
【变式1】（2015 广东高考）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若13,sin ,26
a B C π
==
=，
则b=________.
【答案】6
56,21sin ππ或
=∴=
B B Θ，又6π=
C Θ，故6π=B ，所以 32π
=A 由正弦定理得，B
b
A a sin sin =
，所以b=1。

【变式2】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==
，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 【变式3】（2016 宝鸡一模）在ABC ∆，2,3,3
a b B π
===
，则A 等于（ ）
A.
6π B. 4
π
C. 34π
D. 344ππ或
【答案】由正弦定理可得：2sin 23sin A=
23
a B b
π
==
23a b =<=Q ，03
A π
∴<∠<
，,4
A π
∴∠=
故选B 。

例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o
中，，求a 和A ，C ．
【解析】由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=
， ∴sin 1
sin 23
c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o
， 当150C =o 时，210180B C +=>o o
，（舍去）； 当30C =o 时，90A =o
，∴222a b c =+=． （方法二）∵b c >，60B =o
， ∴C B <， ∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0
sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C . 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：
【变式1】在ABC ∆中，6c =
45A =o ，2a =，求b 和,B C ．
【答案】∵sin sin a c
A C
=， ∴sin 6sin 453sin c A C a ⨯===o ，
∵0180C <<o ， ∴60C =o 或120C =o
∴当60C =o
时，75B =o
，sin 1sin c B b C ===；
∴当120C =o
时，15B =o
，sin 1sin c B b C =
==；
所以，1,75,60b B C =
==o o 或1,15,120b B C ===o o ．
【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =o
, 求B 和c ；
【答案】 ∵
sin 45o a =， ∴1
sin 2
B =
∵0180B <<o
， ∴30B =o
或150B =o
①当30B =o 时，105C =o
，)13(10c +=；
②当150B =o 时，195180A B +=>o o
（舍去）。

【变式3】在ABC ∆中，60B =o
，14a =, b =求A ∠.
【答案】由正弦定理，得22
6
760sin 14sin sin 0=
⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A <<o
∴45A =o
类型二：正弦定理的综合运用
例3.（2015 湖南高考文）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =。

（I ）证明：sin cos B A =； (II)若3
sin sin cos 4
C A B -=
，且B 为钝角，求,,A B C 。

【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===o
o
o
【思路点拨】
（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A A
A B =
，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23
sin 4
B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,
由三角形内角和可得角C. 【解析】
（I ）由tan a b A =及正弦定理，得
sin sin cos sin A a A
A b B
==
，所以sin cos B A =。

（II ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-o
sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=
3cos sin 4
A B ∴=
有（Ｉ）知sin cos B A =，因此2
3
sin 4
B =
，又Ｂ为钝角，所以3sin 2B =，
故120B =o
，由3cos sin 2
A B ==
知30A =o
，从而180()30C A B =-+=o o ， 综上所述，30,120,30.A B C ===o
o
o
【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。

举一反三：
【变式1】在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________． 【答案】 在△ABC 中，大角对大边，故b 为最大边长，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(105°＋15°)＝60°. 据正弦定理b ＝a sin B sin A ＝5sin 105°sin 60°＝152＋566
.
【变式2】（2016 浙江文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =
2
3
，求cos C 的值． 【答案】 （1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，
故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，
又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =， 所以，2A B =. （2）由2cos 3B =
，得5sin B =，21
cos 22cos 19
B B =-=-，
故1
cos 9
A =-
，5sin 9A =，
22
cos cos()cos cos sin sin 27
C A B A B A B =-+=-+=
.
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在ABC ∆中，若2
2
tan :tan :,A B a b =试判断ABC ∆的形状.
【解析】由已知条件及正弦定理可得22sin cos sin cos sin sin A B A
A B B
=，
,A B Q 为三角形的内角，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，B A 2sin 2sin =，
B A B A 2222-==∴π或A B ∴=或2
A B π
+=
，
所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形。

【总结升华】
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。

举一反三：
【变式】在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状. 【答案】利用正弦定理将边转化为角. ∵cos cos b A a B
=又2sin ,2sin b R B a R A ==
∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴0
)sin(=-B A
∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴0=-B A 即B A =
故此三角形是等腰三角形.。