2016-2017年上海市静安区高三(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年上海市静安区高三（上）期中数学试卷
一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=．
2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于．3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为．4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．5．（5分）设f（x）为R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值为．
6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：
（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．
7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，
都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k的取值范围是．
8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．
9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是．10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为．
11．（5分）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2=f （a n），且a n＞0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为．
二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5
分，否则一律得零分.
12．（5分）已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i
14．（5分）当时，方程的根的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）
（1）曲线C一定经过原点；
（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
（3）△MPN的面积不大于8；
（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
16．（12分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．
（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；
（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．
17．（14分）设函数．
（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
19．（16分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．
（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；
（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项
和T n；
（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足
．是否存在实数λ，使得数列{c n}是
单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
2016-2017学年上海市静安区高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=（1，log23）．【解答】解：A={x|lnx＞0}={x|x＞1}，
B={x|2x＜3}={x|x＜log23}，
则A∩B=（1，log23）；
故答案为：（1，log23）．
2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于12．【解答】解：由约束条件，
作出可行域如图，
联立方程组，
解得：A（3，3），
化目标函数z=x+3y为y=﹣+，
由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．
故答案为：12．
3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为2．
=x7﹣r=（﹣a）r x7﹣2r，
【解答】解：通项公式T r
+1
令7﹣2r=3，解得r=2．
∴84=（﹣a）2，a＞0，
解得a=2．
故答案为：2．
4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2
个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10
所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6
由古典概型概率公式知P=
故答案为
5．（5分）设f（x）为R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值为﹣3．
【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数．则有f（0）=0，
又由当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，则f（0）=20+b=0，解可得b=﹣1，
则x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，
则f（1）=21+2﹣1=3，
又由函数为奇函数，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3；
故答案为：﹣3．
6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：
（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．
【解答】解：由题意，曲线C：，消去参数θ：
可得曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．
直线（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y﹣6=0．由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径r=
．
那么：圆心到直线的距离d==
可得|PQ|的最小值为：d﹣r==；
故答案为：
7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，
都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．
【解答】解：由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，
∵对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量，
∴k=﹣=﹣+•，
∴k∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．
8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、
N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，
又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，
∴∠EAO为所求二面角的平面角．
又EO=AO=a，AO=a，∴AE=a
∴cos∠EAO=．
∴截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．
9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是[）．
【解答】解：对于任意的x＞0，都有，得到，因为，所以，解得a；
故答案为：[）．
10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为8．
【解答】解：因为x的最大值为3，故x﹣3＜0，
原不等式等价于|x2﹣4x+k|﹣x+3≤5，
即﹣x﹣2≤x2﹣4x+k≤x+2，
则x2﹣5x+k﹣2≤0且x2﹣3x+k+2≥0解的最大值为3，
设x2﹣5x+k﹣2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，
x2﹣3x+k+2=0的根分别为x3和x4，x3＜x4．
则x 2=3，或 x 4=3．
若x 2=3，则9﹣15+k ﹣2=0，k=8， 若x 4=3，则9﹣9+k +2=0，k=﹣2． 当k=﹣2时，原不等式无解， 检验得：k=8 符合题意， 故答案为：8．
11．（5分）已知
，数列{a n }满足
，对于任意n ∈N *都满足a n +2=f
（a n ），且a n ＞0，若a 20=a 18，则a 2016+a 2017的值为 ．
【解答】解：由题意，
，a n +2=f （a n ），且a n ＞0，
∴a 3=，a 5=，a 7=，a 9=，…，∴a 2017=，
∵a n +2=f （a n ），∴a n +4=f （a n +2），∴a n +4==a n ，即数列的周期为4
a 20=a 18=t ，则t=，∴t 2+2t ﹣1=0，∵t ＞0，∴t=
﹣1，
∴a 2016=
﹣1，
∴a 2016+a 2017==，
故答案为：．
二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
12．（5分）已知a ，b ∈R ，则“log 3a ＞log 3b”是“（）a ＜（）b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a ，b ∈R ，则“log 3a ＞log 3b”
∴a＞b＞0，
∵“（）a＜（）b，
∴a＞b，
∴“log3a＞log3b”⇒“（）a＜（）b，
反之则不成立，
∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，
故选：A．
13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1 C．1 D．﹣i
【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），
∴1+z=i﹣iz，∴z====i．
则z的虚部为1．
故选：C．
14．（5分）当时，方程的根的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作出y=与y=k（x+1）的函数图象，如图所示：
显然当k＞0时，两图象在（﹣∞，0）上必有一交点，
设y=k（x+1）与y=相切，切点坐标为（x0，y0），
则，解得k=，x0=1，y0=1．
∴当0时，直线y=k（x+1）与y=有两个交点，
∴直线y=k（x+1）与y=有三个交点．
故选：C．
15．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）
（1）曲线C一定经过原点；
（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
（3）△MPN的面积不大于8；
（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：设P（x，y），则•=16，
（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；
（2）以﹣x代替x，﹣y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；
（3）x=0，y=，△MPN的最大面积==4＜8，故正确；（4）令y=0，可得x=±2，曲线C在一个面积为4=16的矩形范围内，不正确．
故选：B．
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
16．（12分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．
（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；
（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．
【解答】解：（1）；（3分）
S==2π（2）（3分）
（2）如图建立空间直角坐标系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）由三角比定义，得D（2cosθ，2sinθ，0），（1分）
则，，，（2分）
，得，θ∈[0，2π），（2分）
所以，．﹒﹒（1分）
17．（14分）设函数．
（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．
【解答】解：（1）函数．
化简可得：==
．
∴函数y=f（x）的最大值为，
最小正周期T==π；
（2）由，
得，
∵0＜C＜π，
∴0＜C＜
∴
解得，．
∴△ABC是直角三角形．
因此，．
18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
【解答】解：（1）据题意g（3）=32+3k=309，解得k=100，
∴g（n）=n2+100n，（n≤5）
第5个月的净收入为g（5）﹣g（4）=109万元，
所以，g（8）=g（5）+3×109=852万元．
（2）g（n）=即﹒
若不投资改造，则前n个月的总罚款3n+=n2+2n，
令g（n）﹣500+100＞70n﹣（n2+2n），
得：g（n）+n2﹣68n﹣400＞0．
显然当n≤5时，上式不成立；
当n＞5时，109n﹣20+n2﹣68n﹣400＞0，即n（n+41）＞420，
又n∈N，解得n≥9．
所以，经过9个月投资开始见效．
19．（16分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．
（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；
（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：根据题意，分2种情况讨论：
若点P、F1、F2构成三角形，又由，则．
整理得，即|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．
若点P、F1、F2不构成三角形，即P、F1、F2三点共线；
也满足|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．
所以动点P的轨迹为椭圆．
（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程为．
抛物线的焦点坐标为（m，0）与椭圆的右焦点F2重合．
假设存在实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．
因为|PF1|+|PF2|=4m=2|F1F2|，
不妨设||AF1|=2m+1，．
由抛物线的定义可知|AF2|=2m﹣1=x A+m，解得x A=m﹣1，
设点A的坐标为（m﹣1，y A），
整理得7m2﹣22m+3=0，解得或m=3．
所以存在实数m=3，使得△AF1F2的边长为连续自然数．
20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项
和T n；
（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足
．是否存在实数λ，使得数列{c n}是
单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得，∴，
∵a2∈Z，即﹣9+d是整数，∴d=2﹒∴a n=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11．
（2）当n为偶数时，．
①当n为奇数时（n≥3），T n=b1+（b2+b3）+（b4+b5）+…+（b n﹣1+b n）=
=．
当n=1时也符合上式．
②当n为偶数时，﹒
∴﹒
（3），
假设{c n}是单调递增数列，
则对任意n∈N*都成立，
当n为奇数时，，
令f（n）=﹣•42n，则f（n）单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣，∴﹒
当n为偶数时，，
令g（n）=•42n，则g（n）单调递增，∴g（n）≥g（2）=，∴λ＜．
综上：．。