山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题

【全国百强校】山东省济宁市第一中学2020-2021学年高二
下学期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z 满足23iz i =-，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换42x x y y
''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线22
1x y -=，
则曲线C 的方程为（ ） A ．2
2
4161x y -=
B ．22
1641x y -=
C ．22
1164x y -=
D ．22
1416
x y -=
4．点P 的直线坐标为()
1，则它的极坐标可以是（ ） A ．26π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，
B ．26π⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
C ．526π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，
D ．26π5⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
， 5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）
A ．
32
B ．
23
C ．
13
D ．2-
6．直线231x t y t
，
=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）上对应的0t =，2t =两点间的距离是（ ）
A ．1
B
C ．10
D ．
7．在极坐标系中，圆6cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0θ=（ρ∈R ）cos 6ρθ= B ．0θ=（ρ∈R ）cos 3ρθ= C ．2
πθ=
（ρ∈R ）cos 3ρθ=
D ．2
πθ=
（ρ∈R ）cos 6ρθ=
8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第1000个图案中的白色地面砖有（ ）
A ．3888块
B ．4000块
C ．4002块
D ．4004块
9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a ，b 对应的运算是（ ）
A ．*
B D ，*A
C B ．*B
D ，*A D C ．*B C ，*A D D ．*C D ，*A D
10．若i 为虚数单位，复数z 满足1z =，则2z i -+的最大值为（ ）
A ．6
B 1
C 1
D 2
11．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin 2x cos y sin θθ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），若
以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线N 的极坐标
方程为：sin()42
πρθ+=（其中t 为常数）.若曲线N 与曲线M 有两个公共点，则t
的取值范围是（ ）
A ．5
4t ≥-
B ．5
14t -≤<
C ．5
1
4
t -<≤
D ．11t ≤<
二、填空题
12．如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有
2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平
面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．
13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.
根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程ˆ0.6754.9y
x =+.
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为______. 14．在下列命题中，①z ∈R 的一个充要条件是z 与它的共轭复数相等：
②利用独立性检验来考查两个分类变量X ，Y 是否有关系，当随机变量K 2的观测值k 值越大，“X 与Y 有关系”成立的可能性越大；
③在回归分析模型中，若相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好； ④若a ，b 是两个相等的实数，则(a −b)+(a +b)i 是纯虚数；
⑤某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，这个推理过程是演绎推理. 其中真命题的序号为__________． 15．曲线C 的参数方程为4cos sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T
极坐标方程2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为__________．
三、解答题
16．已知z C ∈，且满足2
()52z z z i i ++=+. （1）求 z ；
（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥.
17．试比较下列各式的大小（不写过程）
（1）1
（2
2
n≥且n N
∈）的大小，并用分析法加以证明.
18．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22
⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
注：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数. 19．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线:2cos 0C a a ρθ=>（），3
:cos()32
l πρθ-=，C 与l 有且仅有一个
公共点． （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3
AOB π
∠=
，求||||OA OB +的最大值．
20．某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x （天数）与销售单价y （元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）
表中1i i w x =，10
1
110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与d
y c x
=+哪一个更适宜作价格y 关于时间x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （3）若该产品的日销售量()g x （件）与时间x 的函数关系为20
()25g x x
=-
+（*x ∈N ），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？（结果保留整数）
附：对于一组数据11()u v ，，22()u v ，，33()u v ，，，()n n u v ，，其回归直线v u
αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
1
()()
()
n
i
i i n
i
i v
v u u u
u β==--=
-∑∑，v u αβ=-.
21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程式1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22223cos 4sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点.
（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）把直线l 与x 轴的交点记为A ，求||||AP AQ •的值.
参考答案
1．C 【解析】
分析：先计算32z i =--，故对应的点为()3,2--，它在第三象限. 详解：由题设有2332i
z i i
-==--，该复数对应的点为()3,2--，为第三象限内的点，故选C.
点睛：本题考察复数的几何意义，属于基础题. 2．D 【分析】
在频率等高条形图中，a a b +与c c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论． 【详解】
在频率等高条形图中，
a a
b +与
c c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强， 故选D ． 【点睛】
本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 3．B 【分析】
将42x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=化简可得到式子. 【详解】
将42x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=方程得到221641x y -=． 故答案为B. 【点睛】
本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题. 4．C 【解析】
分析：利用2
2
2
,tan y
x y x
ρθ=+=
来求极径与极角.
详解：2ρ=
=，tan θ=， 因为点在第二象限，故取52,6
k k Z π
θπ=+
∈，故选C. 点睛：本题考察直角坐标与极坐标的互化，关系式2
2
2
,tan y
x y x
ρθ=+=是关键，此类问题属于基础题. 5．C 【解析】
执行程序框图，输入2,1a n =-=时，3
2a =；2n =时，13
a =；3n =时，2a =-；4n =时，3
2
a =
，a 的值呈周期性出现，周期为3，201867232=⨯+，所以2018=n 时，1
,20193a n ==，退出循环，输出13
a =，故选C.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．D 【解析】
分析：找出参数取值时对应的点的坐标，利用两点之间的距离求解即可. 详解：当0t =时，对应的点的坐标为()2,1P -，
当2t =时，对应的点的坐标为()8,1Q ，
故PQ = D.
点睛：同一直线的参数方程有很多形式，特别地，如果直线的参数方程是
00cos sin x x t y y t θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
（θ为直线的倾斜角），那么t 的几何意义就是()()00,,,P x y Q x y 两点之间的距离. 7．D 【解析】
分析：6cos ρθ=表示的圆过极点且圆心在极轴上，故可以得到两条切线的极坐标方程.
详解：6cos ρθ=表示的圆的圆心为()3,0，与极轴的两个交点分别为()()0,0,6,0，故而垂直于极轴的两条切线方程为2
πθ=
和cos 6ρθ=，故选D.
点睛：一般地，()2cos 0a a ρθ=>表示过极点且圆心在极轴上的圆；
()2sin 0a a ρθ=>表示过极点且圆心在直线2
πθ=
的圆.
8．C 【解析】
分析：仔细分析每个图形我们会发现相邻两幅图案的白色地面砖的差是一个常数，故而可用等差数列的通项来求第1000个图案中的白色地面砖的块数.
详解：设{}n a 为第n 个图案的白色地面砖的块数，则16a = 14n n a a --=，
故()100061000144002a =+-⨯=，故选C. 点睛：此题为合情推理，属于基础题. 9．A 【解析】
分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如,A B B C **都有B 运算，而图形都有正方形，故B 运算对应作正方形，A 对应作横线，C 对应作竖线，其余类似处理.
详解：,A B B C **都有B 运算，而图形都有正方形，故B 运算对应作正方形，A 对应作横线，C 对应作竖线；,C D D A **都有D 运算，而图形都有圆，故D 运算对应作圆.所以a 对应的运算是B D *，b 对应的运算是A C *，故选A.
点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它
们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确. 10．B 【解析】
分析：2z i -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()2,1-连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.
详解：1z =表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离为1，
2z i -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()2,1-连线段的长度，
11=，故选B.
点睛：一般地，12z z -的几何意义是复数1z 对应的点与复数2z 对应的点之间的距离，而12z z +则可以化成()12z z --从而得到其几何意义. 11．C 【解析】
分析：先把曲线M 转化为直角方程，在把曲线N 的极坐标方程转化为直角方程，在直角坐标系中联立方程组，利用该方程组有解求出参数的取值范围. 详解：对于曲线M ，有
212sin cos 1sin 21x y θθθ=
+=+=+
，其中x ⎡∈⎣ ，[]1,1y ∈
-.
对于曲线N
，则有sin cos 222
ρθρθ⨯
+⨯=，也就是x y t +
=. 因为两条曲线有两个不同的交点，故
方程组2111x y
x y t y x ⎧=+⎪
+=⎪⎨-≤≤⎪
⎪≤
≤⎩
有两个不同解，
得210,x x t x +--=≤≤
有两个不同的解，
从而021021012t t ∆>⎧⎪
+->⎪⎪
⎨->⎪
⎪<<⎪⎩
，故514t -<<，选C.
点睛：一般地，当曲线以参数方程或极坐标方程给出时，我们可以把它们转为直角方程，在直角坐标系中讨论曲线与曲线的位置关系.
12．2
C C C
D S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅
【解析】
结论：2
C C C
D S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.
证明如下
在△BCD 内，延长DO 交BC 于E ，连接AE ， ∵AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥AD ， 同理可得：BC ⊥AO
∵AD 、AO 是平面AOD 内的相交直线， ∴BC ⊥平面AOD ∵AE 、DE ⊂平面AOD ∴AE ⊥BC 且DE ⊥BC
∵△AED 中，EA ⊥AD ，AO ⊥DE ∴根据题中的已知结论,得AE 2=EO ⋅ED
两边都乘以2
1(),2BC 得2
111()2
22BC AE BC EO BC ED ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵AE 、EO 、ED 分别是△ABC 、△BCO 、△BCD 的边BC 的高线 ∴0
1
1
1
,,
2
2
2
ABC
BC BCD
S
BC AE S BC EO S BC ED =
⋅=
⋅=
⋅
∴有2C ().ABC
S
S S BCD ∆B O =⋅
故答案为2
C C C
D S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.
13．68 【解析】
试题分析：设表中有一个模糊不清数据为m ，由表中数据得：307
30,5
m x y +==，由最小二乘法求得回归方程0.6754.9y x ∧
=+将307
30,5
m x y +==，代入回归方程，得68m =．
考点：线性回归方程 14．①②③ 【解析】 分析：
详解：对于①，设z =a +bi,a,b ∈R ，则z 为实数的充要条件是b =0，也就是a +bi =a −bi ，即是z =z ，故①正确；
对于②，κ2的值越大，X,Y 相关的可能性越大，故②正确；
对于③，相关指数和残差平方和都可以用来判断拟合效果的好坏，相关系数越大或者残差平方和越小，则拟合效果越好，故③正确；
对于④，如果a =b =0，则a −b +(a +b )i 是实数，故④错； 对于⑤，推理过程为归纳推理（不完全归纳推理），故⑤错； 综上，真命题的序号为①②③，填①②③．
点睛：（1）两类变量相关程度的可能性的大小取决κ2的大小，值越大，可能性越高．
（2）复数z =a +bi,a,b ∈R 为纯虚数的充要条件是a =0,b ≠0．
15．2+【解析】
分析：先把曲线T 的极坐标方程化成直角方程，再算出动点到直线的距离，最后利用三角函数的知识求最大值．
详解：曲线T 的直角方程为220x y +=，曲线C 上的动点P 到直线T 的距离为
204cos 2sin 20
d αα-+-=
=
()
2sin αϕ=+，
max 2d =+2+
点睛：一般地，曲线C 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>> ，则椭圆上的动点P 的坐标可用参
数θ表示成()cos ,sin P a b θθ，这样就把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题． 16．(1)12z i =+或12z i =-;(2)见解析. 【解析】
分析：设,,z a bi a b R =+∈，找到复数()2
z z z i ++的实部和虚部，列出关于,a b 的方程组即可.
详解：（1）设z a bi =+（a b R ∈，），则2
22z a b =+，()2z z i ai +=.
由22252a b ai i ++=+得225
22
a b a ⎧+=⎨=⎩，
解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩
，
∴12z i =+或12z i =-. （2）当12z i =+时，
w zi m =+(12)i i m =++2i m =-++1.
当12z i =-时，w zi m =+(12)i i m =-+21i m =++≥， ∴1w ≥.
点睛：对于复数问题，常见的方法就是复数问题实数化，也就是设出复数的实部和虚部，再根据复数运算规则把题设中的关系式转化为实数的关系式即可. 17．见解析. 【解析】
试题分析：先比较大小，2)n <≥，
最后利用分析法加以证明，这是典型“归纳---猜想----证明”问题. 试题解析：
(1)＜ (2)
＜，猜想：＜且n ，证明：要证：＜
，即证：
＞
，
整理得：＞
，即证：
＞
，整理得：21
n -＞２
，平方并整理得：１＞０，而此不等式一定成立，故猜想正确.
【点睛】推理有三类，一是归纳推理，是有特殊到一般的推理，二是类比推理，这是一种由特殊到特殊的推理，三是演绎推理，这是一种由一般到特殊的推理，归纳推理和演绎推理的结论需要证明.
18．（1）列联表见解析， 没有95%的把握认为优秀与文化程度有关. (2)4.5万. 【解析】
分析：（1）根据二联表计算2κ并且与3.841比较大小即可. （2）计算样本中的优秀率即可估算优秀等级的人数. 详解：（1）由条形图可知22⨯列联表如下：
22
100(45151030)100
3.030 3.8417525455533
K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.
（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为753
1004
=. ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为3
6 4.54
⨯
=万人. 点睛：两类变量的相关程度的可能性的大小取决于2κ的值.总体中特定变量的值的估计可以用样本来估算.
19．（1）1a =（2）
【解析】 【详解】
试题分析（I ）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a ；
（II ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ+，则|OA |+|OB |=2cosθ+2cos （θ+）=2cos （θ+），利用三角函数的单调性即可得出．
解：（Ⅰ）曲线C ：ρ=2acosθ（a ＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x 2+y 2=2ax ，即（x ﹣a ）2+y 2=a 2． ∴曲线C 是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆； 由l ：ρcos （θ﹣）=，展开为，
∴l 的直角坐标方程为x +y ﹣3=0． 由直线l 与圆C 相切可得
=a ，解得a =1．
（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ+， 则|OA |+|OB |=2cosθ+2cos （θ+） =3cosθ﹣sinθ=2cos （θ+），
当θ=﹣时，|OA |+|OB |取得最大值2． 考点：简单曲线的极坐标方程． 20．(1)见解析;(2)50
50y x
=+;(3)该产品投放市场第8天的销售额最高，最高约为1266元. 【解析】
分析：（1）题设中给出的散点图类似于反比例函数，据此可以选出回归方程的类型.
（2）根据给出的公式计算回归方程即可.
（3）根据回归方程和()g x 得到日销售额的函数，配方后可求函数的最大值. 详解：（1）由散点图可以判断d
y c x
=+
适合作作价格y 关于时间x 的回归方程类型； （2）令1w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于42.50
500.85
d =
=， ∴91.5500.8350c =-⨯=，∴y 关于w 的线性方程为5050y w =+， ∴y 关于x 的线性方程为50
50y x
=
+ （3）设日销售额为()h x ，则()h x 505020
(
50)()(50)(25)g x x x x
=+⋅=+⋅-+
2211511811000(
)1000[()]44864
x x x =---=---， ∴8x =时，()1266h x ≈（元）
即该产品投放市场第8天的销售额最高，最高约为1266元.
点睛：回归方程类型的确定依据散点图的特征，如果回归方程不是线性的，则可以通过换元把问题转化为线性回归方程的计算. 21．(1)见解析；（2）18
.7
【解析】 试题分析：
（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，将cos ,sin x y ρθρθ==代入极坐标方程可得直角坐标方程．（Ⅱ）方法一：将问题转化为直角坐标系中处理，即通过弦长公式求解．方法二：利用直线参数方程中参数的几何意义求解． 试题解析：
（Ⅰ）消去方程1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩中的参数可得10x y --=．
将cos ,sin x y ρθρθ==代入2222
3cos 4sin 12ρθρθ+=，
可得22
3412x y +=．
故直线l 的普通方程为10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为2
2
3412x y +=. （II ）解法1：在10x y --=中，令0y =，得1x =，则()1,0A ．
由22341210
x y x y ⎧+=⎨--=⎩消去y 得27880x x --=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，其中12x x < ， 则有1287x x +=
，1287
x x =-.
故)1111AP x =-=-
，)2211AQ x =-=-，
所以AP AQ ⋅ ()()12211x x =--- ()121218
217
x x x x ⎡⎤=--++=
⎣⎦.
解法2
：把(
)()112,22,
2x t y t ⎧==+
⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
代入22
3412x y +=，
整理得21490t +-=， 则129
14
t t =-
， 所以AP AQ ⋅ ()()1212182247
t t t t =-⋅=-=
.。