福建省龙海市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷及解析

福建省龙海市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数
学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
命题“+∞)，2x 2−x ≥0”的否定是( )
A. ∀x ∉[0,+∞)，2x 2−x <0
B. ∀x ∉[0,+∞)，2x 2−x ≥0
C. ∃x
∈[0,+∞)，2x 2−x <0
D. ∃x
∈[0,+∞)，2x 2−x ≥0
2.椭圆
x 225+y 2
9
=1上一点P 与两焦点F 1,F 2组成一个直角三角形，则点P 到x 轴的距离是
（ ） A. 16
5
B. 9
4 C. 9
5 D. 9
5或9
4
3.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为（ ）
A. 15.5
B. 15.6
C. 15.7
D. 16
4.点(2,0)-关于直线10x y -+=对称的点的坐标为（ ） A.(2,0)
B.(0,2)
C.(1,1)
D.(1,1)--
5.已知斜率为3的直线l 与双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>交于,A B 两点，若点
()6,2P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）
C. 2
D. 6.向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（ ） A.1−√
3π6
B.34
C.√3π6
D.14
7.过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线，切点为Q ，则切线段
PQ 长的最大值为（ ）
A. C. 8.已知m >0，命题p:函数f(x)=log m x 是(0,+∞)的增函数，命题q ：g(x)=ln(mx 2−2
3
x +m)的值域为R ，且p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则实数m 的范围
是（ ） A. (
13
,+∞) B. (0,13
] C. (0,13
]∪(1,+∞) D. (1
3
,1)
第II 卷（非选择题）
二、填空题
x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标xoy 系中，以()x y ，为坐标的点落在直线21x y -=上的概率为__________. 10.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为_______．
11.为支援意大利的新冠抗疫，四川华西医院职工踊跃报名，其中报名的医生18人，护士12人，医技6人，根据国家卫健委安排，要从该医院抽取n 个人参加支援队.若采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员.当抽取1n +个人时，若采用系统抽样，则需要剔除1个报名人员，则n =______.
12.已知F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点，点P 在椭圆上，且P 到原点O 的距离
等于半焦距，POF 的面积为6，则b =______．
三、解答题
13.已知p ：方程2
122
x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线；q ：a ≤m ≤a ＋2．
（1）若命题p 为真，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
14.第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
70分的概率；
（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率. 15.某研究机构对高一学生的记忆力x 和判断力y 进行了统计分析，得出如下数据：
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为11的同学的判断力.
参考公式：1
1
22
2
1
1
()()
()
()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y
y b x
n x x x ====---=
=
--∑∑∑∑， a y bx =-
16.已知直线l ：30x y -+=，圆A ：()()2
2
434x y -+-=，点()2,3B --.
（1）求圆上一点到直线l 的距离的最大值；
（2）从点B 发出的一条光线经直线l 反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围. 17.直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点．
（1）求AB 的长度；
（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．
18.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为A ，B 是C 上关于x 轴对称的两点，1ABF 周长的最大值为8.
（1）求C 的标准方程.
（2）过C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P .问：是否存在直线l ，使得OMP 的面积为1？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
四、新添加的题型
19.已知12分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ） A.双曲线C 的渐近线方程为y x =± B.以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C.1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.12PF F ∆的面积为1
20.设a 、b 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a ，//a α，//a β
B.存在一条直线a ，a α⊂，//a β
C.存在一个平面γ，满足//αγ，//βγ
D.存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α 21.给出下列四个结论中，正确的有（ ）
A.若命题2
00
0R,10p x x x ∃∈++<：， 则2R,10p x x x ⌝∀∈++≥：； B.“(3)(4)0x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；
C.命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程
20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；
D.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题． 22.下列说法正确的是（ ）
A.直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点(3,3)--
B.圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离等于1
C.若圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =
D.若已知圆C ：224x y +=，点P 为直线
142
x y
+=上一动点（点P 在圆C 外），过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2)
参考答案
1.C
【解析】1.
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 据此可得命题“∀x
∈[0,+∞)，2x 2−x ≥0”的否定是∃x ∈[0,+∞)，2x 2−x <
0，
故选：C ． 2.D
【解析】2.
根据题意分两种情况，①两焦点连线段F 1F 2为直角边，②两焦点连线F 1F 2为斜边，计算P 点横坐标，代入方程得纵坐标，即可得到P 到x 轴距离． 解：a ＝5，b =
3，c ＝4，
第一种情况，两焦点连线段F 1F 2为直角边，则P 点横坐标为±4，代入方程得纵坐标为±9
5，则P 到x 轴距离为9
5；
第二种情况，两焦点连线F 1F 2为斜边，设P （x ，y ），则|PF 2|＝5−45
x ，|PF 1|＝5+4
5
x
∵|F 1F 2|＝8，∴（5−
45
x ）2+（5+45
x ）2＝64，∴P 点横坐标为±5√7
4，代入方程得纵
坐标为±9
4，则P 到x 轴距离为9
4； 故选：D ． 3.B
【解析】3.
由频率分布直方图分别计算出各组得频率、频数，然后再计算出体重的平均值
由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05 频数为：3，6，7.5，7.5，4.5，1.5 则平均值为：11×3+13×6+15×7.5+17×7.5+19×4.5+21×1.5
30
=15.6
故选B 4.D
【解析】4.
点(2,0)-关于直线10x y -+=对称的点设为(,)m n ，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-,解方程即可得到所求对称点坐标. 设点(2,0)-关于直线10x y -+=对称的点坐标为(,)m n ，
可得0
12
2102
2n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨
-+⎪-+=⎪⎩11m n =-⎧⇒⎨=-⎩ 故选：D 5.A
【解析】5.设()()1122,,,A x y B x y ，
则22
11222
2
22
22
1{ 1x y a b
x y a b -=-=， 所以2222
1212220x x y y a b ---=， ()()()()1212121222
0x x x x y y y y a b -+-+-=， 所以221234
0a b ⨯-=，得a b =
，所以c =，
所以c
e a
==A 。

6.A
【解析】6.
求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案． 满足条件的正三角形ABC 如下图所示： 其中正三角形ABC 的面积S
三角形
=√3
4
×16=4√3，
满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部 分所示，则S 阴影
=2π，
则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都不小于2的概率是：
P =1−
4√3
=1−
√36
π，
故选：A ．
7.C
【解析】7.
根据勾股定理将||PQ 的最大值转化为求2||PC 得最大值，再转化为求圆心距加上小圆半径即可得到. 如图：
因为||PQ ==，
212||||11516PC C C ≤+==+=，
所以||PQ ≤=即切线段PQ 长的最大值为故选：C.
8.C
【解析】8.P 真，增函数m
>1 q 真，则y =mx 2−2
3
x +m 可以取遍所有正值
又m >0
∴△≥0
0<m ≤1
p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则p 、q 一真一假：
p 真q 假时，m >1，m >1
3
或m ≤0，解得m >1
p 假q 真时，m ≤1，0<m ≤13
解得0<m ≤1
3
综上得m
>1或0<m ≤1
3
故答案选C
9.
112
【解析】9.
试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有3666=⨯种结果，满足条件的事件是()y x ,为坐标的点落在直线21x y -=上，当1=x ，
1=y ，2=x ，3=y ；3=x ，5=y ，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到
以()y x ,为坐标的点落在直线21x y -=上的概率：121363==p ．故答案为12
1
.
10.13
【解析】10.
根据平均数的算法，可得x ，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结果.
观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8x =； 乙班学生成绩的中位数是83，故5y =. ∴13x y +=． 故答案为：13 11.6
【解析】11.
根据采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员，结合抽取人数为正整数，则可得到n =6，12， 18或36，再由采用系统抽样需剔除1个报名人员，即可得到n =6.
解：报名人员共36人，当样本容量为n 时，因为采用系统抽样和分层抽样，均不用剔除人员,
所以n 为1812636++=的正约数，又因为18:12:63:2:1= 系统抽样间隔
36n ，分层抽样比例36n ，抽取医技
6366n n ⨯=人，护士12363
n n
⨯=人，医生子
18362
n n
⨯=人； 所以n 为6的倍数，36的约数，即6n =，12，18，36 当抽取1n +人时，总人数中剔除1人为35人，系统抽样间隔35
1
N n +∈+，所以6n =. 故答案为：6.
12.
【解析】12.
运用椭圆的定义和性质，三角形面积，根据题意找到()00,P x y 坐标之间的关系，利用解方程组的方法就可得到b 的值． 设()00,P x y ，
点P 在椭圆上，2200
221x y a b
∴+=①
又点P 到原点O 的距离等于半焦距，
c =， 即222
00x y c +=②
POF 的面积为6，
01
62
c y ∴⨯⨯=， 可得012y c
=
③ 把③代入②得，2
2
02
144
x c c =-
把③代入①得，2
22
22144a x a b c =-
22
2
222144144a c a c b c
-=-
22
2
222144144a a c b c c
-=-
22
2
22
144144a b b b c
-= 2
2
22144c b b c
=
22144
b b
=
故得b =
故答案为:
13.（1）(0,)+∞ （2）(0,)+∞
【解析】13.
（1）p 为真命题，那么有>2m 0和+20m >成立，直接解得m 的取值范围；（2）由充要条件可知q p ⇒，故[],2a a +包含于（1）中所求得的m 取值范围内，解不等式即可得a 的取值范围。

解：（1）因为方程22
122
x y m m -=+表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线，
所以20,+20,
m m >⎧⎨>⎩解得0m >，所以命题p 为真时实数m 的取值范围为(0,)+∞．
（2）因为p 是q 的必要条件，所以q p ⇒，所以[](),20,a a +⊆+∞，故0a >． 综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞．
14.（1）100a =，20b =，0.20c =，0.5；（2）710
.
【解析】14.
（1）利用频率分布表即可求出a 、b 、c 的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人，则第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人，利用古典概率公式即可求解. （1）151000.15a =
=，1000.2020b =⨯=，2
0.20100
c ==， 由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：
0.200.200.100.5p =++=..
（2）因为第3、4、5组共有50名学生，
所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为： 第3组：
205250⨯=人，第4组：205250⨯=人，第5组：20
5150
⨯=人， 所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人
设第3组的3位同学为1A 、2A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，
第5组的1位同学为1C ，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：
()1,2A A ，()1,1A B ，()1,2A B ，()1,1A C ，()2,1A B ，()2,2A B ， ()2,1A C ，()1,2B B ，()1,1B C ，()2,1B C ，
其中第4组的2位同学1B 、2B 至少有一位同学是负责人有7种抽法，
故所求的概率为
710
. 15.（1）答案见解析；（2）0723y x =-．
．；（3）5.4.
【解析】15.
（1）利用已知条件，画出散点图即可；
（2）求出回归直线方程的相关系数，然后求解回归直线方程即可； （3）当11x =时，求出y 即可. （1）散点图如图：
（2）因为
4
1
6283105126158i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
6810122356
9,444
x y ++++++=
===，
4
2
22221
681012344i
i x
==+++=∑，
所以2
15849414
073444920
b -⨯⨯=
==-⨯．， 40.79 2.3a y bx =-=-⨯=-，
故线性回归方程为0723y x =-．
．． （3）由（2）中线性回归方程可知，当11x =
时，07112354y =⨯-=．
．．所以预测记忆力 为11的同学的判断力约为5.4.
16.（1）2；（2）50,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【解析】16.
（1）求出圆心到直线l 的距离d ，则圆上一点到直线l 的最大距离为d r +；
（2）求出点B 关于直线l 的对称点()',B m n ，则反射光线过点()'
,B m n .设反射光线2l 的方
程为61y kx k =++.圆心A 到直线2l 的距离小于等于半径2，即得反射光线的斜率的取值范围.
（1）∵圆心()4,3A ，半径2r ，
圆心A 到直线l
的距离d =
=
∴圆上一点到直线的最大距离：
max 2d d r =+=.
（2）设点()2,3B --关于直线l 对称的点为()'
,B m n ，
由23
3022311
2
m n n m --⎧-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪+⎩得61m n =-⎧⎨=⎩，∴()'
6,1B -.
∵反射光线过'B ，
∴设反射光线2l ：61y kx k =++，
则圆心()4,3A 到反射光线2l ：61y kx k =++的距离
2d r =
≤=，
解得5
012
k ≤≤
， ∴反射光线的斜率的取值范围是50,
12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 17.（1
）22
2
63)3
AB a a a =<≠-且；（2）1a =±.
【解析】17.
【试题分析】（1）依据题设条件借助直线与双曲线的位置关系及两点距离公式求解；（2）借助题设建立以线段A B ，的端点的坐标为变元的方程，进而借助韦达定理将其转化为含参数k 的方程分析求解．
联立方程组22
1{31
y ax x y =+-=消去y 得()
22
3220a x ax ---=，因为有两个交点，所以
()222{304830
a a a -≠∆=+->，解得22
1212
22
22
6,3,,33a a a x x x x a a -<≠+=
=--且．
(1)
22
1263)AB x a a =-==<≠且． (2)由题意得 ()()121212121,0,110oa ob k k x x y y x x ax ax =-+=+++=即即 整 理得2
1,1a a ==±符合条件，所以
18.（1）22
143
x y +=；（2）不存在，理由见解析.
【解析】18.
（1）由题意可知，当AB 过右焦点2F 时，1ABF 的周长取最大值48a =，求得2a =
，而b =
（2）直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx t =+，与椭圆方程联立成方程组，消元后得到关于的一元二次方程，由于直线与椭圆相切，所以判别式等于零，可求出2243t k =+，得到
4M k x t
=-
，再由直线OP 与直线l 的方程联立方程组，求出21P kt x k =-+，再利用弦长
公式可得M P =
OP =
，从而可得
2111
1212OMP
k S k k k
=⋅=⋅
++△，再利用基本不等式可得其最大值，从而可得结论.
（1）设AB 与x 轴的交点为H ， 由题意可知2AH AF ≤，
则112||2AF AH AF AF a +≤+=，
当AB 过右焦点2F 时，1ABF 的周长取最大值48a =， 所以2
a =，且
b =
所以椭圆C 的方程为22143
x y +=.
（2）不存在直线l ，使得OMP 的面积为1.理由如下.
显然直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y kx t =+，联立方程组22
3412y kx t
x y =+⎧⎨+=⎩
得(
)2
2
23484120k
x
ktx t +++-=，
由(
)()22
2
2
644344120k t k t
∆=-+-=，得2243t k =+，
所以()
284234M kt k
x t k -=
=-+，
因为直线OP l ⊥，所以直线OP 的方程为1
=-
y x k
， 由1y x k y kx t
⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得2
1P kt x k =-+，
所以(
)322244411k kt k k kt t k t k MP --+=-+==++.
又OP =
所以
211
1111
1222124OMP k S MP OP k k k
=
⋅==⋅=⋅≤
++△，
当且仅当1k =±时成立.
因此不存在直线l ，使得OMP 的面积为1. 19.ACD
【解析】19.
求出双曲线C 渐近线方程，焦点12,F F ，12PF F ∆的面积即可判断. A .代入双曲线渐近线方程得y x =±,正确.
B .
由题意得12(F F ，则以12F F 为直径的圆的方程
不是2
2
1x y +=，错误.
C
.1F ，渐近线方程为
y x =，距离为1，正确. D .
由题意得12(F F ,设00(,)P x y ，根 据12
0PF PF ⋅=
，解得0x =
02
y =±
12PF F ∆的面积为1.正确.
故选：ACD. 20.CD
【解析】20.
A 、
B 选项，直接判断出α、β的位置关系；
C 选项，利用面面平行的性质可判断α、β的位置关系；
D 选项，根据面面平行的判定定理可判断α、β的位置关系.结合充分条件的定义可得出结论.
对于选项A ，若存在一条直线a ，//a α，//a β，则//αβ或α与β相交. 若//αβ，则存在一条直线a ，使得//a α，//a β， 所以选项A 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项B ，存在一条直线a ，a α⊂，//a β，则//αβ或α与β相交. 若//αβ，则存在一条直线a ，a α⊂，//a β，
所以，选项B 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项C ，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C 的内容是//αβ的一个充分条件；
对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知//γα，//γβ，则//αβ， 所以选项D 的内容是//αβ的一个充分条件. 故选：CD. 21.AC
【解析】21.
A 利用命题的否定即可判断出；
B 由30(3)(4)0x x x -=⇒--=，反之不成立，充分必要条件即可判断出；
C 由逆否命题的意义即可得出；
D 写出逆命题，由不等式性质知不正确．
A 选项，由命题的否定可得：若命题2
000:,10p x R x x ∃++<，则:p x R ⌝∀∈，
210x x ++，正确；
B 选项，由30(3)(4)0x x x -=⇒--=，反之不成立，因此“(3)(4)0x x --=”是“30x -=”的必要非充分条件，故不正确；
C 选项，由逆否命题的意义可得：命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ”，因此正确；
D 选项，“若22am bm <，则a b <”的逆命题为“若a b <，则22am bm <”，因为
2m 可能为0，因此不正确．
故选：AC 22.BCD
【解析】22.
对于A ，直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确； 对于B ，计算可知圆心到直线的距离等于1，故B 正确；
对于C ，转化为两圆外切，利用圆心距等于两圆半径之和求出4m =，故C 正确； 对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用0PA CA ⋅=，可得 01014x x y y +=，同理可得02024x x y y +=，从而可得直线AB 的方程为004x x y y +=，根据00
142
x y +=可得044(2)x x y y -=-，可得直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确. 对于A ，将(3)4330m x y m ++-+=化为(3)3430x m x y +++-=，由
303430x x y +=⎧⎨
+-=⎩得3
3
x y =-⎧⎨=⎩，所以直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确；
对于B ，圆2
2
4x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离
1
d =
=，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距
离等于1，故B 正确；
对于C ，因为圆1C ：2
2
20x y x ++=与圆2C ：2
2
480(20)x y x y m m +--+=<恰有
三条公切线，所以两圆外切，因为1(1,0)C -,半径11r =，2(2,4)C ，半径2r =
所以12||5C C ==，所以15+，解得4m =，故C 正确； 对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1010(,)PA x x y y =--，11(,)CA x y =， 因为PA CA ⊥，所以101101()()0PA CA x x x y y y ⋅=-+-=，所以
220101114x x y y x y +=+=，
同理02024x x y y +=，所以直线AB 的方程为004x x y y +=，又
00
142
x y +=， 所以0042x y =-，所以00(42)4y x y y -+=，即044(2)x x y y -=-，
由
440
20
x
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
得1,2
x y
==，所以直线AB经过定点(1,2)，故D正确.
故选：BCD。