福建省宁德市部分达标中学第一学期期终联合考试高二数学文科试卷

福建省宁德市部分达标中学第一学期期终联合考试高二数学文
科试卷
命题人： 蔡旺成 审核人： 曹齐平 （考试时间：120分钟 满分100分）
第Ⅰ卷（共48分）
一、选择题（每小题3分共36分，请将正确答案代号填在第Ⅱ卷卷首的答题栏中） 1、若a b c <<，下列结论正确的是 （ ） A. c a b a ⋅>⋅ B. bc ac ≥ C. a c b c -<- D.
111c b a
<< 2、若椭圆2
2
1y x m
+=的一个焦点是(0,2)，则 m = （ ） A. 3- B. 1- C. 3 D. 1
3、不等式
(21)(1)
0x x x +->的解集为 （ ）
A. 1(1,)(,0)2+∞⋃-
B. 1
(1,)(,)2
+∞⋃-∞-
C. 1
(,0)(0,1)2
-⋃ D. (2,0)(1,)-⋃+∞
4、已知双曲线22
21(0)x y a a
-=>的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则该双曲线的准线
方程是 （ ） A.3x = B. 45x = C. 43x =± D. 5x = 5、直线1l 的方程为210x y +-=，直线2l 与直线1l 关于直线y x =对称，则直线2l 经过点 （ ） A.(1,3)- B. (1,3)- C. (3,1)- D. (3,1)-
6、在同一坐标系下，方程2
2
1mx ny +=与2
0(0)mx ny m n +=>>的曲线大致是 （ ）
7、已知直线12:0,:(1)10l x ay a l ax a y +-=++-=，则2a =-是直线12l l ⊥的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
x y x y x y x y
O O
O O
C. 充分且必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8、若实数,x y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则24z x y =+的最小值为 （ ）
A. 5-
B. 6-
C. 10
D. 10-
9、直线cos 30()x y R αα-+=∈的倾斜角的取值范围是 （ ） A. [0,]π B. 57[
,]44ππ C. [,]46ππ- D. 3[0,][,)44
πππ⋃ 10、若不等式2
20ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎭
⎩
，则a b +的值等于（ ） A. 10- B. 14- C. 14 D. 10 11、过点(1,2)的直线与抛物线2
4y x =仅有一个公共点，则满足条件的直线共 有 （ ）
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
12、椭圆
22
1(0)x y m n m n
+=>>的两焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，椭圆恰好平分此正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 （ ） 31-3423- D. 12
二、填空题（每小题3分共12分，请将正确答案代号填在第Ⅱ卷卷首的答题横线上） 13、若直线0x y m ++=与圆2
2
x y m +=相切，则m 为_________ .
14、已知对称轴为y 轴的抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是__________________________.
15、已知椭圆的方程为2
23412x y +=，此椭圆上的点P 与右焦点距离为5
2
，则点P 到左准线的距离是_____________. 16、若,0x y >，且
14
2x y
+=，则x y +的最小值为_____________.
第Ⅱ卷（共52分）
三、解答题（共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、（8分）解关于x 的不等式：2
(1)10(0)ax a x a -++>>
18、（8分）直线l 经过点(2,5)P -，且与点(3,2)A -和(1,6)B -的距离之比为1:2，求直线
l 的方程。

19、（8分）求过点(4,1)A -且与圆:C 2
2
(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)B 的 圆的方程。

20、（8分）过点(3,2)M 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点， 求MA MB ⋅的最小值。

21、（10分）已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上， 离心率2e =
(4,10)M -，
（1）求此双曲线的方程；
（2）若点(3,)N m 在双曲线上，求证：12NF NF ⊥
22、（10分）设椭圆22
416x y +=的上半部有不同的三点A 、B 、C ，它们 到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B 的纵坐标与椭圆的半焦距相等， 求AC 的中垂线在y 轴上的截距。

附加题（本题满分4分，计入总分, 但本题与必做题得分之和不超过100分）
已知抛物线2
4y x =的焦点是F ，准线是l ，过点F 及斜率为k 的直 线m 交抛物线于A ，B 两点.若l 上存在点P ，使△APB 为等边三角形， 求此时k 的值.
[参考答案]
第Ⅰ卷（共48分）
一、选择题（每小题3分共36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
C
A
B
D
D
A
B
D
B
C
A
二、填空题（每小题3分12分）
13. ______________________________; 14. ______________________________;
15.______________________________; 16. ______________________________.
第Ⅱ卷（共52分）
三、解答题（共52
分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、原不等式可化为(1)(1)0(0)ax x a -->>--------------------2分
当
11a >，即01a <<时， 解得1
x a >或1x <---------------------4分 当11a <，即1a >时， 解得1x >或1
x a
<---------------------6分 当1a =时， 解得 1x ≠--------------------------7分
综合以上得 当01a <<时，解集为{1
x x a
>或}1x <
当1a ≥时， 解集为{
1x x >或1x a ⎫
<
⎬⎭
----------------8分 18、 解：由条件可知直线斜率存在.
直线l 过点()2,5P -，∴ 设直线l 的方程为()52y k x +=-，
即250kx y k ---=-----------------------------------------------1分
()3,2A ∴-到直线l 的距离()12
2
3225
311
k k k d k k -----==
++()1,6B -到直线l 的距离()222
1625
3111
1
k k k d k k ⋅----+=
=
++-------------3分
12:1:2d d = 31
3112k k -∴
=+313112k k -∴
=+或31311
2k k -=-+--------------5分 12117k k ∴=-=- --------------------------------------------7分 ∴ 所求直线方程l 为30x y ++=或17290x y +-=。

----------------- 8分
答案 9
2
28x y =- 2 3
19、解：设所求圆的方程为222
()()x a y b r -+-=，---------------------1分 由条件可知两圆外切，则圆心(1,3)C -、所求圆圆心(,)a b 、切点(1,2)B 三点共线， 即
232
250111
b a b a --=⇒+-=--- 联立方程组2222
250
(4)(1)(1)(2)
a b a b a b +-=⎧⎨-++=-+-⎩ --------------------5分 解得31a b =⎧⎨=⎩--------------------------------------------------------7分
2r ∴=2222(4)(1)(34)(11)5a b -++=-++=
∴所求圆的方程为22(3)(1)5x y -+-=---------------------------------8分
20、解：设直线l 的方程为(3)2(0),y k x k =-+<------------------------1分 分别令0,0x y ==得(0,32)B k -+、2
(3,0)A k
-
+ ---------------------3分 22222
(33)(02)(03)(322)MA MB k k
⋅=-+-+--+-+-分
224
499k k
=
++2
216(
)212k k
=++≥----------------------------------------6分 0k <∴当且仅当1k =-时，MA MB ⋅取得最小值12。

----------------8分
21、解：⑴由题知：双曲线离心率2e =则
2c
a
=即2c a = 则a b =-------------------------------------1分 又
点(4,10M -在其双曲线上.又
410> ，则双曲线的焦点必在x 轴上.即：
22221x y a a -=代入得221610:1a a -= 即2:6a = ------------------------3分 则双曲线方程为22
166x y -= -------------------------------------4分 ⑵点()3,N m 在双曲线上，则代入得：2
9166
m
-
= 则23m = ， 3m =
双曲线的焦点()()
1223,0,23F F -------------------------------6分 当3m =
1NF 3323- 直线2NF 3
323
+------8分
33
1323323
=--+ 即证得直线1NF 与直线2NF 垂直 即：12NF NF ⊥
同理可证当3m =12NF NF ⊥，综合以上证得12NF NF ⊥-----------10分 22、解：设()()()112233,,,A x y B x y C x y ,----------------------------1分
AC 的中点为M ，又不妨设F 为上焦点，由焦半径公式得：
()()()()13132222AF CF a ey a ey a e y y BF a ey +=-+-=-+=-，
由2AF CF BF += ,得1322y y y += -----------------------------3分 由题设条件和椭圆方程知223y c ==，-----------------------------4分
2222
1133416416
x y x y +=+=()()()()1313131340
x x x x y y y y ∴+-++-=,
()13134430
3AC AC x x k x x k ++=+=- ----------------------------7分
AC ∴中点的坐标3
,232AC k ⎛- ⎝,-----------------------------------8分 AC 的中垂线方程为1323AC AC
y x k ⎛⎫-=-
+ ⎪ ⎪⎝⎭
， --------------------9分 令0x =得33y =
故AC 的中垂线在y 33
------------------------------10分 附加题
解：依题意，直线m 的方程为()()10y k x k =-≠
由()
241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 可得()2222220k x k x k -++= 设点A 、B 的坐标分别为()()1122,,A x y B x y ，线段AB 中点M 的坐标为()00,M x y ，点P 的坐标为()1,P t -，则()212122
22,
1k x x x x k ++=
=
21202
22x x k x k
++∴== ()()2212122
2
2241(1)(1)22k k AB AF BF x x x x k k ++=+=+++=++=
+=
()()
()2
2200222
2111
[1]()111k PM x y t x k k k
︒+=
--+-=--+=+由△APB 为等边三角形可知3
2
PM =
----------------------2分 ()()22
2
222141131k k k k k
+++= 解得 2
12
,2k k ==---------------------------------4分。