碧江区二中2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析

碧江区二中2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）
A ．B．C．D．
2．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
3．设为虚数单位，则（）
A． B． C． D．
4．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．4D．
5．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（）
π+π
A.4π
B.5π
C. 5π
D. 225
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
6．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），
将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B
C
D
7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）
A． B．（4+π）C． D．
8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若=4，则=（）
A．3 B．4 C．D．13
9．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）
A ．4320
B ．2400
C ．2160
D ．1320
10．函数2
()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．[]2,4
C ．(,2]-∞
D ．[]0,2
11．已知是虚数单位，若复数22ai
Z i
+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）
A ．-2
B ．1
C ．2
D ．3
12．若双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线
的离心率等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
二、填空题
13．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2
＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切
点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．
14．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 .
15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
16．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
17．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
18．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题:
①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立；
②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-的零点个数为m
，函数
{}()[]13
x
g x x x =⋅--的
零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

三、解答题
19．已知全集U 为R ，集合A={x|0＜x ≤2}，B={x|x ＜﹣3，或x ＞1}
求：（I ）A ∩B ；
（II ）（C U A ）∩（C U B ）；
（III ）C U （A ∪B ）．
20．设函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）为奇函数，其图象在点（1，f （1））处的切线与直线x ﹣6y ﹣7=0垂直，导函数 f ′（x ）的最小值为﹣12． （1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数f （x ）的单调递增区间，并求函数f （x ）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
21．已知m ≥0，函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
22．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
23．已知函数f（x）=lnx+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调；
（Ⅲ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线f（x）上的两点，试探究：当a＜0时，是否存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
24．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，
BC AD ,相
交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
碧江区二中2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】
设的公比为，则，，
因为也是等比数列，所以，
即，所以
因为，所以，即，所以，故选D
答案：D
2．【答案】B
【解析】解：根据选项可知a≤0
a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C
4．【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线
的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（x E2，y E2，24）
根据相识三角形易知：
x E2=2x E=2×4=8，
y E2=2y E=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

7．【答案】D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，
是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，
圆柱的底面直径和母线长都是2，
四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，
四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，
∴几何体的体积是=，
故选D．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．
8．【答案】D
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，
∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），
解得=13．
故选：D．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
9．【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有
•=388，
第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，
故选D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质． 11．【答案】A 【解析】 试题分析：
()()()()
2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-，对应点在第四象限，故40
220a a +>⎧⎨
-<⎩
，A 选项正确. 考点：复数运算． 12．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x ﹣2）2
+y 2
=2的圆心（2，0），半径为
，
双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，
可得：
， 可得a 2
=b 2
，c=
a ，
e==．
故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9. 圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ） ＝2
PC2－AC2＋2AC ＝2
PC2－9＋6.
当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0
，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，
即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝9
2
.
即△ABC 的面积为9
2
.
答案：92
14．【答案】12 【解析】
考点：分层抽样
15．【答案】 4+ ．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O 的半径为3，球O 1 的半径为1，
则
，
在Rt △OMO 1中，OO 1=4，
，
∴
=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+
．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
16．【答案】 （0，
）∪（64，+∞） ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），
又f （x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，
∴x ＞64或0＜x ＜
．
即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}
故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
17．【答案】 [﹣1，3] ．
【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2
﹣1，﹣1≤sinx ≤1，
∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2
﹣1≤3．
∴函数y=sin 2
x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
18．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由
{}22sin cos []1x x +=得，{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，
011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方
程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []
x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，
3313a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；
对
于
④
，
由
三、解答题
19．【答案】
（I）A∩B={x|1＜x≤2}；
（II）C U A={x|x≤0或x＞2}，C U B={x|﹣3≤x≤1}
（C U A）∩（C U B）={x|﹣3≤x≤0}；
（III）A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，C U（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}．
【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c，∴c=0．
∵f′（x）=3ax2+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．
又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2，
∴a=2，b=﹣12，c=0；
（2）由（1）知f（x）=2x3﹣12x，∴f′（x）=6x2﹣12=6（x+）（x﹣），
）
，
）
，
∵f（﹣1）=10，f（）=﹣8，f（3）=18，
∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（）=﹣8．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2| ∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…
此时，（x＞0）．
所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．…
（Ⅱ）（x＞0）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
（
所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．
所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区
间（m，+∞）上不单调．…
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…
证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…
由，得．…
令，，则p（x），q（x）在
区间[x1，x2]上单调递增．
且，
，
结合（*）式可得，，
．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…
所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，
即
成立，从而命题成立．…
（注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴ED
EP
EF EA =
，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 2
9
=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得
4
27=EP . ∴4
15
=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)2
9
427(4152+⨯=PA ，解得4315=
PA ．……………………10分。