医药数理与概率统计学课件2
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正态分布具有中间大两头小的特点医药数理统计方法24医药数理统计方法24现在要查p275附表4标准正态分布的双侧临界值表求00500501医药数理统计方法2525随机向量一多维随机变量二独立随机变量医药数理统计方法25一多维随机变量通常把与同一个随机现象相联系的多个随机变量看作一个整体称为多维随机变量或多维随机向量
0
0.517
1
P ( A) 0.483 P ( A) 0.517
P ( X 0) 0.483 P ( X 1) 0.517
P
0.483
0.517
《医药数理统计方法》
§2.1
2、概率函数 设离散型随机变量X的所以可能取值为 xi(i=1,2,…)，相应的概率P(X=xi)=pi 称为离散型随机变量X的概率函数。 概率函数的性质：
《医药数理统计方法》
x
§2.3
注：F ( x) P( X x) P( X x) f (t )dt
《医药数理统计方法》
§2.3
2、性质 (1) f ( x) 0, x (2)
f ( x)dx
f (t )dt lim
§2.3
二、连续型随机变量的f(x)dx与离散型 随机变量的 pi 的关系
P 离散型： ( X xi ) pi
F ( x) P( X x) P( X xi ) pi
xi x xi x
《医药数理统计方法》
§2.3
连续型：
《医药数理统计方法》
§2.1
2、分类 随机变量因其取值方式的不同，通常分 为离散型和非离散型两类，而非离散型中最 重要的是连续型。
《医药数理统计方法》
§2.1
二、离散型随机变量的分布
1、定义 若随机变量只能取有限个或无限可列个 数值，则称它为离散型随机变量。
例：
e 女( A ) 男(A)
P
X
0.483
《医药数理统计方法》
§2.2
1、定义2.7 若随机变量X的概率函数为
P( X k )
k
k!
e , 0, k 0,1,2,.
则称 X 服从参数为的泊松分布， 记作 X～P()。
《医药数理统计方法》
§2.2
2、分布特点
图形是一偏左、单峰曲线。且当增大时， 图形趋于对称。泊松分布图的上升、下降情 况与二项分布类似。当k增大时，概率P(X=k) 先增大，达到最大值后，再减小。
《医药数理统计方法》
§2.3
在离散型随机变量的研究中，概率函数、 分布函数都能够全面地描述随机变量的统计规 律性。把概率函数列成表格(分布列)用来描述 随机变量的概率分布就显得既简单又直观，但 分布函数由于它不够直观，用起来往往不方便。 对于连续型随机变量X来说，由于它的取 值充满整个区间，因此考察X取值于一点的概 率意义并不大。只有确知X取值于任一区间上 的概率，才能掌握它取值的概率分布。我们 希望有一种比分布函数更为直观的描述方式。
P( X 1) 0.6 0.4 0.4 0.6 0.48
P( X 2) 0.6 0.6 0.36
分布列为 X P 0 1 2 0.16 0.48 0.36
《医药数理统计方法》
§2.1
4、分布函数 设 X 是一随机变量，x是任意的一个实 数，则函数 F( x )= P( X x ) 称为随机变量 X 的分布函数。
k 1
则称 X 服从几何分布。 2、常见的例子： 1)购买奖券，中奖后不再购买; 2)进行某种试验，直到试验成功不再做。
《医药数理统计方法》
§2.2
五、超几何分布＊ 1、若随机变量X的概率函数为 k n k CM C N M P( X k ) , k 0,1,2,, l , n CN
《医药数理统计方法》
§2.1
Ch2 随机变量及其分布
§2.1 随机变量与离散型随机变量的分布
一、随机变量
二、离散型随机变量的分布
《医药数理统计方法》
§2.1
一、随机变量
例：1)一场足球比赛的结果：
3, X X (e) 1, 0, 当e 胜 当e 平 当e 负
2)抛一枚硬币，观察其结果： 当e 正面 1, X X (e) 当e 反面 0,
《医药数理统计方法》
§2.3
一、概率密度函数
1、定义 设随机变量X的分布函数为F(x)， ( 若存在一个非负可积函数f(x)， x ) 对任意的x，都有
F ( x)
x
f (t )dt
则称X为连续型随机变量，称f(x)为随机变 量X的概率密度函数，简称概率密度或分布 密度。
1 F (c 1)
k c
k
k!
e
k c
1 P( X c 1) P( X k ) P( X c)
《医药数理统计方法》
§2.2
四、几何分布＊ 1、若随机变量X的概率函数为
P( X k ) p(1 p) , k 1,2,3,
P( X k ) C 0.2 (1 0.2)
k 20 k 20k
, k 0,1,2,,20.
《医药数理统计方法》
§2.2
将结果用图2.3来表示
注：二项分布的特点 图形是一偏左、单峰曲线。当k增大时， 概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.4 （与例2.3类似） (3)P(X≥1)= 1 - P(X<1)= 1 - P(X=0) 或查P261的附表1 二项分布表
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.3 某种大批量产品的一级品率为0.2，现 从中随机地抽取20件，问20件产品中恰好有k件 (k=0,1,2, …,20) 为一级品的概率是多少？ 解：这里是不放回抽取，但由于产量很大，且 抽取的件数相对于产品的总数来说又很小，因 而可以看作有放回抽取来处理。
将产品是否为一级品看成是一次试验的结 果，检查20件产品相当于做了20重伯努利试验。 设X为20件产品中一级品的件数，则X～B(20,0.2)
k Pn (k ) Cn p k (1 p)nk , (k 0,1,2,, n)
《医药数理统计方法》
§2.2
3、二项分布的定义 若随机变量 X 的概率函数为
P( X k ) C p (1 p)
k n k n k
, k 0,1,2,, n
则称 X 服从参数为n，p的二项分布， 记为 X～B(n,p)。
其中 0 M N , n N M , l min{M , n},
则称 X 服从参数为N，M，n的超几何分布。 2、常见的例子： 1)药品、疫苗等的质量检查; 2)流行病学的研究。
《医药数理统计方法》
§2.3
§2.3 连续型随机变量的分布
一、概率密度函数 二、连续型随机变量的f(x)dx与离散型 随机变量的 pi 的关系
《医药数理统计方法》
§2.2
3、泊松定理 表明泊松分布(P())是二项分布(B(n,p)) 在 n→∞时的极限分布，其中=np。 n=1 二点分布 n=n 二项分布 n→∞ 泊松分布
注：n重伯努利试验
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.6 （与例2.3、2.4类似）
P(X≥2)= 1 - P(X<2)= 1 - P(X=0) - P(X=1) 或查P264的附表2 泊松分布表
x
x
f (t )dt
lim F ( x) 1
x
(3) P(a X b) F (b) F (a ) a f ( x)dx
P( X a ) 0, a为任意常数
b
(4) 若f(x)在点x处连续，则 F ( x) f ( x)
《医药数理统计方法》
i Q(n, k , p ) Cn p i (1 p ) ni i k n n
P( X i)
i k
P( X k ) P( X k 1) P( X n) P( X k )
《医药数理统计方法》
§2.2
三、泊松分布
许多稀疏现象，如（1）生三胞胎；（2） 某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数; （3）用显微镜观察片子上每一格子内的细菌 或血细胞数；（4）用X-线照射一种细胞或细 菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等 等，都服从或近似服从泊松分布，所以泊松 分布律又称为稀疏现象律。
《医药数理统计方法》
§2.2
§2.2 常见离散型随机变量的分布
一、二点分布
二、二项分布 三、泊松分布 四、几何分布
五、超几何分布
《医药数理统计方法》
§2.2
一、二点分布
1、定义 若随机变量只能取0或1两个数值， 其概率分布为：
X P 0 1-p 1 p
其中0<p<1，则称 X 服从二点分布或0-1分布。 2、伯努利试验：只有两个可能结果的试验
0, x 0 0.16, 0 x 1 解：F ( x) P( X x) 0.64, 1 x 2 1, x 2 F (1) P( X 1) P() 0 F (0.9) P( X 0.9) P( X 0) 0.16 F (1.5) P( X 1.5) P(( X 0) ( X 1)) 0.64
(1) pi 0 (i 1, 2,); (2) pi 1.
i 1
《医药数理统计方法》
§2.1
3、分布列 若离散型随机变量X的概率分布用表格 的形式给出，则称此表格为离散型随机变量 X的分布列。 X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
《医药数理统计方法》
§2.1
例2.1 给青蛙按每单位体重注射一定剂量 的洋地黄。由以往实验获知，致死的概率是 0.6，存活的概率是0.4.今给两只青蛙注射， 求死亡只数的概率函数和分布列。
P( X 2) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.6 0.6 0.36
C (0.6) (0.4)
2 2 2 2 2
《医药数理统计方法》
§2.1
解：设死亡只数为X(只)，则X=0，1，2. 所求概率函数为
P( X 0) 0.4 0.4 0.16
《医药数理统计方法》
§2.1
分析：设死亡只数为X只，则X=0，1，2. 设Ai={第i只死亡}，i=1,2。A1与A2相互独立.
P( X 0) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.4 0.4 0.16
C (0.6) (0.4)
0 2 0 20
P( X 1) P( A1 A2 A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 0.6 0.4 0.4 0.6 0.48 1 C2 (0.6)1 (0.4) 21
《医药数理统计方法》
§2.2
二、二项分布
1、n重伯努利试验： 设在同一条件下，单次试验只有两种可 能结果。将试验独立地重复进行n次，称这 种重复独立的试验系列为n重伯努利试验。
注：试验特点 ①每次试验成功的概率都等于p； ②各次试验是相互独立的。
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.2 (与P29例2.1类似) 2、Th2.1 n重伯努利试验的计算公式 在一次试验中，事件A发生的概率为p， 则在n次重复独立的试验中，事件A恰好发 生k次的概率为：
F () lim F ( x) 0
x
F () lim F ( x) 1
x
《医药数理统计方法》
§2.1
例：已知例2.1中青蛙死亡只数 X的分布列为 X 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36 试求X的分布函数以及 F (1), F (0.9), F (1.5) 。
《医药数理统计方法》
§2.1
1、定义 如果对于一个随机试验的每一种可能的 结果 e，都有一个实数值 X(e)与之对应， 则称 X(e)为随机变量，简记为 X。 注：随机变量与普通变量（函数）的区别： 随机变量的取值是随机的，试验的每一 个结果的出现都有一定的概率，因而随机变 量取各个值都有一定的概率。
《医药数理统计方法》
§2.1
注：1) x1 , x2 ( x1 x2 ) P( x1 X x2 ) P(( X x2 ) ( X x1 ))
P( X x2 ) P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
2)性质 ① F(x)是一个不减的函数； ② 0 F ( x) 1,
0
0.517
1
P ( A) 0.483 P ( A) 0.517
P ( X 0) 0.483 P ( X 1) 0.517
P
0.483
0.517
《医药数理统计方法》
§2.1
2、概率函数 设离散型随机变量X的所以可能取值为 xi(i=1,2,…)，相应的概率P(X=xi)=pi 称为离散型随机变量X的概率函数。 概率函数的性质：
《医药数理统计方法》
x
§2.3
注：F ( x) P( X x) P( X x) f (t )dt
《医药数理统计方法》
§2.3
2、性质 (1) f ( x) 0, x (2)
f ( x)dx
f (t )dt lim
§2.3
二、连续型随机变量的f(x)dx与离散型 随机变量的 pi 的关系
P 离散型： ( X xi ) pi
F ( x) P( X x) P( X xi ) pi
xi x xi x
《医药数理统计方法》
§2.3
连续型：
《医药数理统计方法》
§2.1
2、分类 随机变量因其取值方式的不同，通常分 为离散型和非离散型两类，而非离散型中最 重要的是连续型。
《医药数理统计方法》
§2.1
二、离散型随机变量的分布
1、定义 若随机变量只能取有限个或无限可列个 数值，则称它为离散型随机变量。
例：
e 女( A ) 男(A)
P
X
0.483
《医药数理统计方法》
§2.2
1、定义2.7 若随机变量X的概率函数为
P( X k )
k
k!
e , 0, k 0,1,2,.
则称 X 服从参数为的泊松分布， 记作 X～P()。
《医药数理统计方法》
§2.2
2、分布特点
图形是一偏左、单峰曲线。且当增大时， 图形趋于对称。泊松分布图的上升、下降情 况与二项分布类似。当k增大时，概率P(X=k) 先增大，达到最大值后，再减小。
《医药数理统计方法》
§2.3
在离散型随机变量的研究中，概率函数、 分布函数都能够全面地描述随机变量的统计规 律性。把概率函数列成表格(分布列)用来描述 随机变量的概率分布就显得既简单又直观，但 分布函数由于它不够直观，用起来往往不方便。 对于连续型随机变量X来说，由于它的取 值充满整个区间，因此考察X取值于一点的概 率意义并不大。只有确知X取值于任一区间上 的概率，才能掌握它取值的概率分布。我们 希望有一种比分布函数更为直观的描述方式。
P( X 1) 0.6 0.4 0.4 0.6 0.48
P( X 2) 0.6 0.6 0.36
分布列为 X P 0 1 2 0.16 0.48 0.36
《医药数理统计方法》
§2.1
4、分布函数 设 X 是一随机变量，x是任意的一个实 数，则函数 F( x )= P( X x ) 称为随机变量 X 的分布函数。
k 1
则称 X 服从几何分布。 2、常见的例子： 1)购买奖券，中奖后不再购买; 2)进行某种试验，直到试验成功不再做。
《医药数理统计方法》
§2.2
五、超几何分布＊ 1、若随机变量X的概率函数为 k n k CM C N M P( X k ) , k 0,1,2,, l , n CN
《医药数理统计方法》
§2.1
Ch2 随机变量及其分布
§2.1 随机变量与离散型随机变量的分布
一、随机变量
二、离散型随机变量的分布
《医药数理统计方法》
§2.1
一、随机变量
例：1)一场足球比赛的结果：
3, X X (e) 1, 0, 当e 胜 当e 平 当e 负
2)抛一枚硬币，观察其结果： 当e 正面 1, X X (e) 当e 反面 0,
《医药数理统计方法》
§2.3
一、概率密度函数
1、定义 设随机变量X的分布函数为F(x)， ( 若存在一个非负可积函数f(x)， x ) 对任意的x，都有
F ( x)
x
f (t )dt
则称X为连续型随机变量，称f(x)为随机变 量X的概率密度函数，简称概率密度或分布 密度。
1 F (c 1)
k c
k
k!
e
k c
1 P( X c 1) P( X k ) P( X c)
《医药数理统计方法》
§2.2
四、几何分布＊ 1、若随机变量X的概率函数为
P( X k ) p(1 p) , k 1,2,3,
P( X k ) C 0.2 (1 0.2)
k 20 k 20k
, k 0,1,2,,20.
《医药数理统计方法》
§2.2
将结果用图2.3来表示
注：二项分布的特点 图形是一偏左、单峰曲线。当k增大时， 概率P(X=k)先增大，达到最大值后，再减小。
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.4 （与例2.3类似） (3)P(X≥1)= 1 - P(X<1)= 1 - P(X=0) 或查P261的附表1 二项分布表
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.3 某种大批量产品的一级品率为0.2，现 从中随机地抽取20件，问20件产品中恰好有k件 (k=0,1,2, …,20) 为一级品的概率是多少？ 解：这里是不放回抽取，但由于产量很大，且 抽取的件数相对于产品的总数来说又很小，因 而可以看作有放回抽取来处理。
将产品是否为一级品看成是一次试验的结 果，检查20件产品相当于做了20重伯努利试验。 设X为20件产品中一级品的件数，则X～B(20,0.2)
k Pn (k ) Cn p k (1 p)nk , (k 0,1,2,, n)
《医药数理统计方法》
§2.2
3、二项分布的定义 若随机变量 X 的概率函数为
P( X k ) C p (1 p)
k n k n k
, k 0,1,2,, n
则称 X 服从参数为n，p的二项分布， 记为 X～B(n,p)。
其中 0 M N , n N M , l min{M , n},
则称 X 服从参数为N，M，n的超几何分布。 2、常见的例子： 1)药品、疫苗等的质量检查; 2)流行病学的研究。
《医药数理统计方法》
§2.3
§2.3 连续型随机变量的分布
一、概率密度函数 二、连续型随机变量的f(x)dx与离散型 随机变量的 pi 的关系
《医药数理统计方法》
§2.2
3、泊松定理 表明泊松分布(P())是二项分布(B(n,p)) 在 n→∞时的极限分布，其中=np。 n=1 二点分布 n=n 二项分布 n→∞ 泊松分布
注：n重伯努利试验
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.6 （与例2.3、2.4类似）
P(X≥2)= 1 - P(X<2)= 1 - P(X=0) - P(X=1) 或查P264的附表2 泊松分布表
x
x
f (t )dt
lim F ( x) 1
x
(3) P(a X b) F (b) F (a ) a f ( x)dx
P( X a ) 0, a为任意常数
b
(4) 若f(x)在点x处连续，则 F ( x) f ( x)
《医药数理统计方法》
i Q(n, k , p ) Cn p i (1 p ) ni i k n n
P( X i)
i k
P( X k ) P( X k 1) P( X n) P( X k )
《医药数理统计方法》
§2.2
三、泊松分布
许多稀疏现象，如（1）生三胞胎；（2） 某种少见病（如食管癌、胃癌）的发病例数; （3）用显微镜观察片子上每一格子内的细菌 或血细胞数；（4）用X-线照射一种细胞或细 菌，细胞发生某种变化或细菌死亡的数目等 等，都服从或近似服从泊松分布，所以泊松 分布律又称为稀疏现象律。
《医药数理统计方法》
§2.2
§2.2 常见离散型随机变量的分布
一、二点分布
二、二项分布 三、泊松分布 四、几何分布
五、超几何分布
《医药数理统计方法》
§2.2
一、二点分布
1、定义 若随机变量只能取0或1两个数值， 其概率分布为：
X P 0 1-p 1 p
其中0<p<1，则称 X 服从二点分布或0-1分布。 2、伯努利试验：只有两个可能结果的试验
0, x 0 0.16, 0 x 1 解：F ( x) P( X x) 0.64, 1 x 2 1, x 2 F (1) P( X 1) P() 0 F (0.9) P( X 0.9) P( X 0) 0.16 F (1.5) P( X 1.5) P(( X 0) ( X 1)) 0.64
(1) pi 0 (i 1, 2,); (2) pi 1.
i 1
《医药数理统计方法》
§2.1
3、分布列 若离散型随机变量X的概率分布用表格 的形式给出，则称此表格为离散型随机变量 X的分布列。 X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
《医药数理统计方法》
§2.1
例2.1 给青蛙按每单位体重注射一定剂量 的洋地黄。由以往实验获知，致死的概率是 0.6，存活的概率是0.4.今给两只青蛙注射， 求死亡只数的概率函数和分布列。
P( X 2) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.6 0.6 0.36
C (0.6) (0.4)
2 2 2 2 2
《医药数理统计方法》
§2.1
解：设死亡只数为X(只)，则X=0，1，2. 所求概率函数为
P( X 0) 0.4 0.4 0.16
《医药数理统计方法》
§2.1
分析：设死亡只数为X只，则X=0，1，2. 设Ai={第i只死亡}，i=1,2。A1与A2相互独立.
P( X 0) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.4 0.4 0.16
C (0.6) (0.4)
0 2 0 20
P( X 1) P( A1 A2 A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 0.6 0.4 0.4 0.6 0.48 1 C2 (0.6)1 (0.4) 21
《医药数理统计方法》
§2.2
二、二项分布
1、n重伯努利试验： 设在同一条件下，单次试验只有两种可 能结果。将试验独立地重复进行n次，称这 种重复独立的试验系列为n重伯努利试验。
注：试验特点 ①每次试验成功的概率都等于p； ②各次试验是相互独立的。
《医药数理统计方法》
§2.2
例2.2 (与P29例2.1类似) 2、Th2.1 n重伯努利试验的计算公式 在一次试验中，事件A发生的概率为p， 则在n次重复独立的试验中，事件A恰好发 生k次的概率为：
F () lim F ( x) 0
x
F () lim F ( x) 1
x
《医药数理统计方法》
§2.1
例：已知例2.1中青蛙死亡只数 X的分布列为 X 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36 试求X的分布函数以及 F (1), F (0.9), F (1.5) 。
《医药数理统计方法》
§2.1
1、定义 如果对于一个随机试验的每一种可能的 结果 e，都有一个实数值 X(e)与之对应， 则称 X(e)为随机变量，简记为 X。 注：随机变量与普通变量（函数）的区别： 随机变量的取值是随机的，试验的每一 个结果的出现都有一定的概率，因而随机变 量取各个值都有一定的概率。
《医药数理统计方法》
§2.1
注：1) x1 , x2 ( x1 x2 ) P( x1 X x2 ) P(( X x2 ) ( X x1 ))
P( X x2 ) P( X x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
2)性质 ① F(x)是一个不减的函数； ② 0 F ( x) 1,