2020年河北中考数学复习课件--第6讲 相似三角形

数学
河北中考考点系统复习
相似三角形
考点解读
比例线段 1．定义：对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们 长度的比)与另两条线段的比①相等，如ba＝dc(即 ad＝② bc )，我们就说这 四条线段成比例．
2．基本性质：
性质1：若ba＝dc，则ad＝③ bc (b≠0，d≠0)．
【思路点拨】 先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的41求出点D到 AB的距离，再利用S△DEF的值求出EF即可．
【自主解答】 解：连接AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H. ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝12BC＝6. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，∴AD＝8. ∴S△ABC＝21BC·AD＝48.S△DEF＝14S△ABC＝12. 又∵S△ABD＝21AD·BD＝12AB·DH， ∴DH＝4.8.
三角 成比例．
∴Rt△ABC∽
形
Rt△A′B′C′.
图示
4.相似三角形的常见模型： 模型
图形示例
A字型及 其变形
已知BC∥DE 已知∠1＝∠B 已知∠1＝∠B
模型
X字型及 其变形
图形示例 已知AB∥DE 已知∠A＝∠D
模型 旋转型
垂直型
图形示例
双垂直型
三垂直型
模型 平移＋旋
转模型
一线三 等角型
3．相似三角形的判定：
类型
判定方法
示例
一 ⑳平行 于三角形一边的
般 直线和其他两边相交，所 ∵DE∥BC，
三 构成的三角形与原三角 ∴△ADE∽△ABC.
角 形相似．
形
图示
类型
判定方法
示例
一
三边对应成比例的 ∵AA′BB′＝BB′CC′＝AA′CC′，
般 两个三角形相似． ∴△ABC∽△A′B′C′.
(3)C六边形ABCDEF与C六边形GHIJKL的数量关系是 C六边形ABCDEF＝2C六边形GHIJKL ；
(4)S六边形ABCDEF与S六边形GHIJKL的数量关系是
S ＝4S 六边形ABCDEF
六边形GHIJKL
.
重难点选讲
重难点 相似三角形的性质与判定 如图1，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC
图形示例
5.判定两个三角形相似的基本思路：
已知条件
判定思路
有平行截线 用平行线的性质找等角
有一对等角 找另一对角相等或角的两边对应成比例
有两组对边分 夹角相等或第三边也对应成比例或有一对直角
别成比例
直角三角形 一锐角相等或斜边、直角边或两组直角边对应成比例
等腰三角形 顶角相等或一对底角相等或底边与腰对应成比例
8
16
EG＝4，则 AE＝ 3 ，GC＝ 3 ．
相似三角形的性质及判定 1．定义：对应角⑫相等，对应边⑬成比例 的两个三角形叫做相似三角 形，相似三角形对应边的比叫做⑭相似比． 2．相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角⑮相等 ，对应边⑯成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⑰相似比； (3)相似三角形周长的比等于⑱相似比 ，面积的比等于相似比的⑲平方．
4．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则： (1)△ABC与△DEF对应边上的高的比为 4∶1 ； (2)△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 4∶1 ； (3)△ABC与△DEF对应角的平分线的比为 4∶1 ； (4)△ABC与△DEF的周长的比为 4∶1 ； (5)△ABC与△DEF的面积的比为 16∶1 ．
(1)图中有相似三角形吗？请说明理由． (2)如图3，若将∠ADE在△ABC的内部 (∠ADE两边不与BC重合)绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三 角形吗？ △FBD∽△DCE ．(若有请写出相似三角形，若没有则填 “无”)
【思路点拨】 判断图2中是否有相似三角形，可以由图1进行迁移， 而理由是△ABD与△CDE本身均有一个内角是60°，且与∠ADB相加的和 为120°的角有∠BAD和∠CDE，从而由两组角对应相等得到两个三角形相 似．
【自主解答】 解：△ABD∽△DCE.理由如下： ∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°， ∴∠ADB＋∠BAD＝130°，∠ADB＋∠CDE＝130°. ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE.
【变式3】 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC 边的中点，且∠MDN＝∠B，∠MDN的两边分别交AB，AC于点F，E， 当S△DEF＝14S△ABC时，求线段EF的长．
【方法指导】 基本图形 (1)斜边高图形
有以下基本结论： ①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC； ②△ADB∽△CDA∽△CAB.
(2)一线三等角图形
有以下基本结论： ①∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD； ②△BDE∽△CFD. 特殊地：若点D为BC的中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.
【模型拓展】 “一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、 四边形、矩形、正方形为背景：
5．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP. (1)请你添加一个条件 ∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AABP＝AACB (写出所有的情况)，使得△ABP∽△ACB，并选择其中一个条件证明 △ABP∽△ACB； (2)在(1)的条件下，若AC＝8，AP＝2，则AB＝ 4 ． 证明：答案不唯一，选∠ABP＝∠C. ∵∠ABP＝∠C，∠BAP＝∠CAB， ∴△ABP∽△ACB.
于点F，求证：△ADE∽△BEF.
【思路点拨】 由于△ADE和△BEF均为直角三角形，因此只需再找 一组锐角对应相等即可，分析题意不难得到∠AED的余角是∠ADE或 ∠BEF，所以这两个角相等．
【自主解答】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°. ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90° ∴∠AED＋∠BEF＝90°. ∴∠ADE＝∠BEF. 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE∽△BEF.
2 3
．
2．已知线段 AB＝0.3 m，BC＝60 cm. 1
(1)线段 AB 与线段 BC 的比为 2 ；
(2)若 DE＝12 dm.
①线段 AB，BC，DE，FG 成比例，则线段 FG 的长为 240 cm ；
②BC 是 AB 和 DE 的比例中项．
平行线分线段成比例
1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
相似多边形
1．概念：两个边数相等的多边形，如果它们的角对应 相等 ，边对
应 成比例 ，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做
相似比．
2．性质：(1)相似多边形的对应角 相等，对应边 成比例；
(2)相似多边形周长的比等于 平方．
相似比 ，面积的比等于相似比的
6．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则： (1)∠E与∠K的数量关系是 ∠E＝∠K ； (2)BC与HI的数量关系是 BC＝2HI ；
又由变式2易得△BDF∽△CED， ∴EDDF＝CBDF . ∵BD＝CD， ∴EDDF＝BBDF.∴DBFF＝BEDD. 又∵∠B＝∠MDN， ∴△BDF∽△DEF.∴∠DFB＝∠EFD. ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8. ∵S△DEF＝12EF·DG＝12，∴EF＝5.
性质2：若ba＝dc，则a±bb＝④
c±d d
(b≠0，d≠0)．
性质3：若ba＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，则ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝⑤ba ．
3．比例中项：如果ba＝bc，即b2＝ac，就把b叫做a，c的比例中项．
1．若ba＝dc＝23(b＋d≠0)，则a＋b b＝
5 3
，ba＋＋dc ＝
⑥成比例．如图1，若l1∥l2∥l3，则ABCB＝⑦
DE EF
或AACB＝⑧
DE DF ．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所
得的对应线段⑨ 成比例．如图2，3，若DE∥BC，则ADDB＝⑩
AE EC
，AADB＝⑪
AE
AC 等．
3．如图，在△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.若
图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似 的问题有很大帮助．
【模型构建】 这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相 似，又因为图形的特征是一条线上有三个垂直关系，也常被称为“一线三 垂直”，我们做以下变式：
【变式1】 如图2，已知等边三角形ABC，点D，E分别为BC，AC上 的点，∠ADE＝60°.
【自主解答】 解：△ABD∽△DCE.理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∴∠ADB＋∠BAD＝120°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＋∠CDE＝120°. ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE.
【变式2】 隐藏变式1图2中的线段AE，在得到的新图形(图4、图5) 中：
(1)如图4，如果∠B＝∠C＝∠ADE＝50°， 图中有相似三角形吗？请说明理由； (2)如图5，若∠B＝∠C＝∠ADE＝∠α，∠α为任意角，则有相似三角 形吗？ △ABD∽△DCE ．(若有请写出相似三角形，若没有则填“无”)
【思路点拨】 可由上述问题进行迁移，由两角对应相等的两个三角 形相似进行说明．
三 角
两边对应 对应边的
成比例 且 ∵AA′BB′＝AA′CC′， 夹角相等 ∠A＝∠A′，
形 的两个三角形相似． ∴△ABC∽△A′B′C′.
图示
类型
判定方法
示例
一般
∵∠A＝∠A′，
两角分别 相等的两
三角
∠B＝∠B′，
个三C′.
图示
类型
判定方法
示例
直角 斜边和一直角边对应 ∵AA′CC′＝AA′BB′，