人教A版高中数学必修四课时提升作业(二十) 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运

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课时提升作业(二十)
平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
(15分钟30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2014·广东高考)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=( )
A.(-2，1)
B.(2，-1)
C.(2，0)
D.(4，3)
【解析】选B.b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).
2.已知=(5，-3)，C(-1，3)，=2，则点D坐标是( )
A.(11，9)
B.(4，0)
C.(9，3)
D.(9，-3)
【解析】选D.设点D的坐标为(x，y)，
则=(x，y)-(-1，3)=(x+1，y-3).
又因为=2=2(5，-3)=(10，-6)，
所以解得
所以点D坐标为(9，-3).
【误区警示】求向量坐标时要注意的易错点
(1)已知向量的起点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去起点坐标.
(2)要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标.
3.(2015·唐山高一检测)在▱ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对称中心为O，
则等于( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.=-=-(+)=-(1，10)=.
【补偿训练】在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=________.
【解析】==-=(-1，-1)，=+=(-2，-4)+(-1，-1)=(-3，-5).
答案：(-3，-5)
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为________.
【解析】作向量=a，则||=6，
所以点A的坐标为(6cos120°，6sin120°)，
即(-3，3)，所以a的坐标为(-3，3).
答案：(-3，3)
5.(2015·诸暨高一检测)已知点A(-1，-1)和向量a=(2，3)，若=3a，则点B 的坐标是________.
【解析】因为=3a=3(2，3)=(6，9).设O为坐标原点，
所以=+=(-1，-1)+(6，9)=(5，8).
所以B点坐标是(5，8).
答案：(5，8)
【补偿训练】已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为________.
【解题指南】“求以A，B，C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点的坐标”与“求以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的.前者的D点位置确定了，四点A，B，C，D是按同一方向(顺时针或逆时针)排列的，后者的D点位置没有确定，应分三种情况进行讨论.
【解析】设D点的坐标为D(x，y).若是平行四边形ABCD，则由=，
可得(5-3，4-2)=(6-x，7-y)，解得x=4，y=5.
故所求顶点D的坐标为D(4，5).
若是平行四边形ABDC，则由=，
可得(5-3，4-2)=(x-6，y-7)，解得x=8，y=9.
故所求顶点D的坐标为D(8，9).
若是平行四边形ACBD，则由=，
可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1.
故所求顶点D的坐标为D(2，-1).
综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1).
答案：(4，5)或(8，9)或(2，-1)
三、解答题
6.(10分)(2015·秦皇岛高一检测)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=4，∠xOA=60°，
(1)求向量的坐标.
(2)若B(，-1)，求的坐标.
【解析】(1)设点A(x，y)，则x=4cos60°=2，y=4sin60°=6，即A(2，6)，=(2，6).
(2)=(2，6)-(，-1)=(，7).
(15分钟30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·揭阳高一检测)已知e1=(2，1)，e2=(1，3)，a=(-1，2)，若a=λ1e1+λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为( )
A.(1，1)
B.(-1，1)
C.(-1，-1)
D.无数对
【解析】选B.因为a=λ1e1+λ2e2，
所以(-1，2)=λ1(2，1)+λ2(1，3)=(2λ1+λ2，λ1+3λ2)，
所以解得
所以实数对(λ1，λ2)为(-1，1).
2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=a，=b，其中a=(3，1)，b=(1，3).若=λa+μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
【解析】选 A.由题意知=(3λ+μ，λ+3μ)，取特殊值，λ=0，μ=0，知所求区域包含原点，取λ=0，μ=1，知所求区域包含(1，3).
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·苏州高一检测)已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y
∈，则x+y=________.
【解题指南】利用A(2，3)，B(1，4)表示出，结合=(sinx，cosy)，利用坐标唯一求得x，y的值.
【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故=，
所以sinx=-，cosy=，又x，y∈，所以x=-，y=±，从而x+y=
或x+y=-.
答案：或-
4.已知A(-3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||=2，且
∠AOC=.设=λ+(λ∈R)，则λ=________.
【解析】由题意得向量与x轴正向所成的角是，又||=2，
所以点C的坐标是，
即(-2，2)，所以=(-2，2)，
因为A(-3，0)，B(0，2)，
所以=(-3，0)，=(0，2)，
=λ+=λ(-3，0)+(0，2)=(-3λ，2)，
所以-3λ=-2，λ=.
答案：
三、解答题
5.(10分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若++=0，求的坐标.
(2)若=m+n(m，n∈R)，且点P在函数y=x+1的图象上，试求m-n.
【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，因为++=0，
又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故=(2，2).
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，所以=(2，3)-(1，1)=(1，2)，
=(3，2)-(1，1)=(2，1)，
因为=m+n，
所以(x0，y0)=m(1，2)+n(2，1)=(m+2n，2m+n)，
所以
两式相减得m-n=y0-x0，
又因为点P在函数y=x+1的图象上，所以y0-x0=1，所以m-n=1.
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