数学选修21之11123

人 教 A
版
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
数 学
∴椭圆的标准方程为x92＋y52＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
[例3] F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆 于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率． 人
教
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上 A 版 数
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一
人 教
A
个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2
版 数
＋c2.
学
第二章 圆锥曲线与方程
4．离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ac，ac越大，
人
∠BF2O
越小，椭圆越扁；ac越小，∠BF2O
越大，椭圆越圆．
A
形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
版
数
2．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定 学
型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨
论．
第二章 圆锥曲线与方程
3．椭圆上两个重要的三角形
(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的
△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
[例5] 2019年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船
发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞
行．该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆．选取坐
标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，
所以 e＝ac＝ 6－ 3.
教 A 版 数
学
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以，
解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间
的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－
b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平
人 教
A
方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．
教 A 版 数
学
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
1．椭圆的对称中心叫做椭圆的 中心 ，所以椭
圆是 中心 对称图形．
2．椭圆
＝1(a>b>0)既关于
x轴 对
人 教
A
称，又关于 y轴 对称，所以椭圆又是 轴 对称图
版 数
学
形．
第二章 圆锥曲线与方程
3．如图
，
椭圆＋＝1(a>b>0)与它的对称轴共有四个交点，即A1、
人 教
A2和B1、B 2，这四个点叫做椭圆的
顶点 ，线段
A 版 数
A1A2叫做椭圆的 长轴 ，它的长等于 2a ；线段B1B2叫做 学
椭圆的 短轴 ，它的长等于 2b .显然，椭圆的两个焦点
在它的 长轴 上．
第二章 圆锥曲线与方程
4．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的 离心率 ．
5．依据椭圆的几何性质填充下表
人 教
A
版
数
学
第二章 方程
圆锥曲线与方程 ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
人 教 A 版 数 学
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得
人
ac22＋yb2P2＝1，∴y2P＝ba42，
教 A 版 数
学
∴|PF1|＝ba2＝|F1F2|，即ba2＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴a2－a c2＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，
又 0<e<1，∴e＝ 2－1.
第二章 圆锥曲线与方程
[例 4] 已知椭圆ax22＋by22＝1 上一点 P，F1、F2 为椭圆的
点坐标和离心率．
[解析] 将 9x2＋y2＝81
化为标准方程3x22＋9y22＝1，
人 教
A
版
∴椭圆长轴在 y 轴上，其中 a＝9，b＝3，c＝6 2，
数 学
∴长轴长 2a＝18，短轴长 2b＝6，焦点坐标为 F1(0，－
6 2)、F2(0,6 2)，顶点坐标为 A1(－3,0)、A2(3,0)、B1(0，－
两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本 学 题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 如图所示，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝ 2m.
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.
所以|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a.
教 A
据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两 版 数
类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、 学 焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦 点．
第二章 圆锥曲线与方程
2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际
问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几
何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的
数学思想方法．
人
教
A
版
数
学
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、
中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线
的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中
应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数 人 教
9)、B2(0,9)．
离心率为
e＝ac＝2
3
2 .
第二章 圆锥曲线与方程
[例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过(3,0)，离心率 e＝ 36；
人 教 A 版
数
(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 学
直，且焦距为 8.
第二章 圆锥曲线与方程
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
人 教
A
远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.
版 数
学
第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回
舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约
6×105km，问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)，
人 教
A
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4 3.
版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 椭圆上一点P与椭圆两焦点F1、F2构成 △PF1F2，我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中， 既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．
即( 2＋2)m＝4a.
人 教
A
版
所以 m＝(4－2 2)a.
数 学
又|PF2|＝2a－m＝(2 2－2)a.在 Rt△PF1F2 中，
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
第二章 圆锥曲线与方程
即(2 2－2)2a2＋(4－2 2)2a2＝4c2.
所以ac22＝9－6 2＝3( 2－1)2.
人
人
OF 为斜边 Biblioteka 1A2 的中线(高)，教 A
版
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
数 学
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为3x22 ＋1y62 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用
待定系数法．其步骤一般是首先确定焦点位置，其次根据
已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5.①
数 学
由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2
＝(2c)2＝4.②
第二章 圆锥曲线与方程
式①两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③
式③－②得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16，
①(1)(2)均已知椭圆的某些主要性质；
②求椭圆的标准方程．
解答本题要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分 人 教 A
情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a，b，版数
学
c.
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] (1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
∵e＝ac＝ 36，
∴c＝ 6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
人
∴椭圆的方程为x92＋y32＝1.
教 A 版 数
学
若焦点在 y 轴上，则 b＝3，
∵e＝ac＝ 1－ab22＝ 1－a92＝ 36，
解得 a2＝27.
∴椭圆的方程为2y72 ＋x92＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
(2)设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，
数．
人
教
A
版
数
学
第二章 圆锥曲线与方程
椭圆焦点在 x 轴上，O 为坐标原点，A 是一个顶点，F
是一个焦点，椭圆长轴长为 6，且 cos∠OFA＝23，求椭圆的标
人 教 A
版
准方程．
数 学
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 如图，∵椭圆长轴长为 6，
∴|AF|＝3，
∴cos∠OFA＝||OAFF||＝3c＝23，
学
方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成
标准形式然后再写出性质．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 把已知方程化成标准方程1x62 ＋y92＝1，
于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7，
人
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心
教 A
版
数
率 e＝ac＝ 47，
学
两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)，
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝ac(0<e<1)
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
[例1] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离
心率、焦点和顶点坐标．
人
教
A
[分析]
由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的
版 数
在△F1PF2 中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ＝|F1F2|2＝4c2，
人
教
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2，
A 版
数
∴|PF1|·|PF2|＝1＋2bco2 sθ
学
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinθ ＝1b＋2scinoθsθ＝b2tanθ2.
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，
e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．
2．过程与方法
人 教
A
能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
版
数
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中 学
心，对称轴，范围等．
会利用椭圆有关知识解决简单的实际问题．
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质． 难点：椭圆的几何性质的实际应用． 1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地 画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根 人
版 数
学
第二章 圆锥曲线与方程
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴的垂
线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离 人
教
心率为
A 版
数
学
()
2 A. 2
2－1 B. 2
C．2－ 2
D. 2－1
第二章 圆锥曲线与方程
[答案] D [解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)如图，
第二章 圆锥曲线与方程
如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是
人
焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
教 A
版
数
学
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2.
∴c＝ a2－b2＝1.
人
又∵点 P 在椭圆上．
教
A
版
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为
标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴
上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶
人
焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积．
教 A
版
[分析]
计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与 数 学
已知条件联系最密切的当为 S△＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，所以应围
绕|PF1|·|PF2|进行计算．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 如图所示，由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a，而