高二数学9.6空间向量的直角坐标及其运算(一)教案

立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标 分析：要求点 E 的坐标，过点 E 与 x 轴、 y 轴垂直的平面 已存在，只要过 E 作平面垂直于 z 轴交 E‘点，此时 |x|＝
| DA |, |y|＝ | DC |, |z|＝ | DE ' |，当 DA 的方向与 x 轴正向
相同时， x＞ 0，反之 x＜0，同理确定 y、 z 的符号，这样 可求得点 E 的坐标 解：D(0,0,0) ，A(2,0,0) ，B(0,2,0) ，C(0,0,2) ，A1(2,0,2) ， B1(2,2,2) ，C1(0,2,2) ，,D 1(0,0,2) ，E(2,2,1) ，F(0,1,0)
2
∴ D1F AD ，
1
11
又 AE
(0,1, ) ， AE 2
D1 F
(0,1, ) (0, , 1) 0 ， 22
∴ D1F AE ， AD AE A ，
所以， D1F 平面 ADE ．
四、课堂练习 ： 1．已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体， E、F 分别是 BB1 和 DC的中点，建
量，
则 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ( a1 ,a2, a3 ) ， 使
x
a 1a i 2 a j 3，a k
z 标系为 右
k
O i
j
A(x,y,z) y
有序实数组 (a1, a2, a3) 叫作向量 a 在空间直角坐标系 O xyz
中的坐标，记作 a (a1, a2 ,a3) ． 在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一
∴ 点 A( 2 , 3 , 关1 于 x O y平 面 的 对 称 点 为 A
C (2, 3,1) ，
z
O
y
x
关于 zOx平面及原点 O 的对称点分别为 B (2,3, 1) ， A ( 2,3,1) ．
例 3 ．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别是 BB1, CD 的中点，求证
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) ，
a b (2, 3,5) ( 3,1, 4) 29 ．
例 2． 求点 A(2, 3, 1) 关于 xOy 平面， zOx平面及原点 O 的对称点
解：∵ A(2, 3, 1) 在 xOy 平面上的射影 C (2, 3,0) ，
在 zOx平面上的射影为 B (2,0, 1) ，
x 、 y ，使得 a xi yj
把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)
其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐
标， 特别地， i (1,0) ， j (0,1) ， 0 (0,0)
2．平面向量的坐标运算
若 a (x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ， 则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ， a b ( x1 x2, y1 y2 ) ， a ( x, y) 若 A(x1, y1 ) ， B (x2, y2 ) ，则 AB x2 x1, y2 y1 3． a ∥ b ( b 0 )的充要条件是 x1y2-x 2y 1=0
z
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ．
（ 2）若 A( x1, y1, z1) ， B (x2, y2, z2 ) ，
则 AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1) ．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 三、讲解范例：
k
O i
j
x
A(x1,y1,z1) AB
2．已知 a ＝ (2 ，－ 3,5) ， b ＝ ( － 3,1 ，－ 4) ，求 a ＋ b ， a － b ，8 a ， a ? b
解： a ＋ b ＝（ 2，－ 3,5 ）＋（－ 3,1 ，－ 4）＝（－ 1，－ 2,1 ），
a － b ＝（ 2，－ 3,5 ）－（－ 3,1 ，－ 4）＝（ 5，－ 4,9 ）， 8 a ＝ 8（ 2，－ 3,5 ）＝（ 16，－ 24,40 ），
D1F 平面 ADE ．
证明：不妨设已知正方体的棱长为
1 个单位长度，设 DA i ， DC j ，
DD1 k ，
分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系 O xyz ，
则 AD
( 1,0,0) ， D1F
1 (0, , 1) ，
2
1 AD D1F ( 1,0,0) (0, , 1) 0 ，
a ? b ＝（ 2，－ 3,5 ）?（ － 3,1 ，－ 4）＝－ 6＋（－ 3）＋（－ 20）＝－ 29
3． 在正方体要 ABCD－ A1B1C1D1 中， E、 F 分别为 BB1、 CD的中点， 求证： D1F⊥平面 ADE 证明： 不妨设已知正方体的棱长为 2， 建立如图所示的空间直角坐标系 D－ xyz ，则
4 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量 a ( x1, y1 ) ，b ( x2, y2 ) ，试用 a 和 b 的坐标表示 a b 设 i 是 x 轴上的单位向量， j 是 y 轴上的单位向量，那么
a x1i y1 j ， b x2 i y 2 j 所以 a b ( x1i y1 j )( x 2i y2 j ) x1 x2i 2 x1 y 2i j x 2 y1i j y1 y2 j 2 又 i i 1， j j 1， i j j i 0
七、板书设计 （略）
八、课后记：
教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学 生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；
.点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标 原点时 .有向线段终点的坐标与向量的坐标相同 .这一点务必向学生讲清楚 .；
明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标
的有序实数组 ( x, y, z) ，使 OA xi yj zk
，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A
在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐
标， z 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
z
（ 1）若 a ( a1,a2 , a3) ， b (b1,b2, b3 ) ，
几何、高维向量和矩阵打下基础
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点
的距离公式 掌握直线垂直于平面的性质定理 教学过程 ：
一、复习引入：
1 平面向量的坐标表示
分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
B(x2,y2,z2) y
例 1 已知 a (2, 3,5) ， b ( 3,1, 4) ，求 a b ， a b ， | a | ， 8a ， a b ．
解： a b (2, 3,5) ( 3,1, 4) ( 1, 2,1) ，
a b (2, 3,5) ( 3,1, 4) (5, 4,9) ， | a | 22 ( 3)2 52 38 ，
i , j , k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、 z 轴，
它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
O xyz ，点 O 叫原点， 向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过
每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为
xOy 平面，
yOz 平面， zOx平面；
（ 3）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使 xOy 135 （或
所以 a b x1 x2 y1 y 2
这就是说： 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式
（ 1）设 a
(x,
y)
，则
|
a
2
|
2
x
y2或 |a |
x2 y2
（ 2 ）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
( x1 , y1 ) 、
( x2, y2 ) ，那么 | a | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式 )
6.向量垂直的判定
设 a (x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，则 a b
x1 x2 y1 y 2 0
7.两向量夹角的余弦（ 0
）
cos ＜ a, b＞= cos = a b ＝
a1b1 a2 b2
|a| |b|
a12 a22 b12 b22
8．空间向量的基本定理： 若 { a, b,c} 是空间的一个基底， p 是空间任意一向量，
在上一小节已学习向
量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难
在第
2 个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式
在
这个知识点中， 作为向量坐标计算的例题， 还顺便证明了直线与平面垂直的 “性
质定理” 通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析
课 题： 9 6 空间向量的直角坐标及其运算 (一)
教学目的：
⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方
体）的顶点坐标；
⒉掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
4. 会用中点坐标公式解决有关问题
教学重点： 空间右手直角坐标系，向量的坐标运算
→ 向量点的坐
标化 → 向量的直角坐标运算
45 ）， yOz 90 ；
（ 4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
x 轴的正方向，
食指指向 y 轴的正方向， 如果中指指向 z 轴的正方向， 称这个坐
手直角坐标系 规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量 a ，设 i , j , k 为坐标向
AD ( 2,0,0), D1F (0,1, 2), AD D1F ( 2,0,0) (0,1, 2) 0
D1F AD
又 AE (0, 2,1),
AE D1F (0, 2,1) (0,1, 2) 2 2 0 D1F AE ,
∴ D1F⊥ AE，又 AD∩ AE＝ A，∴ D1F⊥平面 ADE ①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正
则 a b ( a1 b1, a2 b2 , a3 b3) ，
A(a1,a2,a3)
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) ， a ( a1, a2 , a3)( R) ，
a b a1b1 a2b2 a3b3 ，
k
O i
j
x
B(b1,b2,b3) y
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) ，
方体各顶点的坐标均为非负，且易确定 ②原点的坐标为 (0,0,0) ， x 轴上的坐标为 (x,0,0) ， y 轴上的坐标为
(0,y,0) ，z 轴上的坐标为 (0,0,z). ③要使一向量 a＝ (x,y,z) 与 z 轴垂直，只要 z＝0 即可 事实上，要使向量
a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 a 的相应坐标为 0
教学难点： 空间向量的坐标的确定及运算
授课类型： 新授课
课时安排： 1 课时Biblioteka 教 具 ：多媒体、实物投影仪
内容分析 ：
本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离
公式 这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化
去掉基底，使空
间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便
巩固练习 P39 练习 1－ 6 五、小结 ：
⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律； 3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4. 会用中点坐标公式解决有关问题
5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标
→ 向量点
的坐标化 →向量的直角坐标运算 六、课后作业 ：
存在唯一的实数组 x, y, z使 p xa yb zc ．
二、讲解新课： 1 空间直角坐标系： （ 1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
基底 ，用 { i, j, k} 表示；
1，这个基底叫 单位正交
（ 2）在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 { i , j , k} ，以点 O 为原点，分别以