题型17 导数的分类(解析版)

秒杀高考数学题型之导函数的分类
【秒杀题型五】：导函数的分类。

『秒杀策略』：用导函数研究原函数，所以导函数的分类对于能否顺利解决导数压轴题至关重要。

【题型1】：导数为一次型：主要为)(x f e x
或)(x f e
x
-（)(x f 为一次函数）型。

①不含参。

『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的一次（因式）函数。

1.(高考题)函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是 ( )
A.)2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D.),2(+∞
【解析】：()2)('
-=x e x f x
，导函数的符号由一次函数2-=x y 确定，当()+∞∈,2x 时，)(x f 单调递增，
选D 。

※讨论函数x
e x
f x =)(的单调性，几何意义，大致图象。

【解析】:⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=2'
1)(x x e x f x
，导数的符号由一次函数1-=x y 确定，注意存在断点0≠x ，当()+∞∈,1x 时，)(x f 单调递增，当()1,0∈x 、()0,∞-时，)(x f 单调递减。

几何意义：x
e y =图象上的点()
x
e x ,与()00，
连线的斜率。

②常数含参。

『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的一次（因式）函数，讨论参数（直线平行移动）。

1.(高考题)讨论函数()()x
f x x k e =-的单调区间。

【解析】：()1)('
+-=k x e x f x
，导函数的符号由一次函数1+-=k x y 确定，当()+∞-∈,1k x 时，)(x f 单
调递增，当()1,-∞-∈k x 时，)(x f 单调递减。

③一次项系数含参。

『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的一次（因式）函数，讨论参数，一般分一次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论。

1.(高考题)讨论函数()(0)kx f x xe k =≠的单调区间。

【解析】:()1)('
+=kx e
x f kx
，导函数的符号由一次函数1+=kx y 确定。

①当0>k 时，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-
∈,1k x 时，)(x f 单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞-∈k x 1,时，)(x f 单调递减；
②当0<k 时，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-
∈,1k x 时，)(x f 单调递减，当⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-∞-∈k x 1,时，)(x f 单调递增。

【题型2】：导数为二次型：主要为)(x f e x
或)(x f e
x
-（)(x f 为二次函数）型或三次函数型。

①三次函数()0)(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 的性质。

『秒杀策略』：其定义域、值域均为R ，()023)(2
'
≠++=a c bx ax x f 。

1.当0≤∆时，当0>a 时，)(x f 在R 上单调递增，无极值；当0<a 时，)(x f 在R 上单调递减，无极值；
2.当0>∆时，设两根为1x ，2x ，且21x x <，当0>a 时，当()1,x x ∞-∈，()+∞,2x 时，)(x f 单调递增，
当()21,x x x ∈时，)(x f 单调递减，存在极小值)(2x f 与极大值)(1x f ；当0<a 时，当()1,x x ∞-∈，
()+∞,2x 时，)(x f 单调递减，当()21,x x x ∈时，)(x f 单调递增，存在极大值)(2x f 与极小值)(1x f 。

3.对称中心：令二阶导数等于0，是对称中心的横坐标，代入得对称中心的纵坐标。

1.(2013年新课标全国卷II10)已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(,下列结论中错误的是 ( )
A.0)(,00=∈∃x f R x
B.函数)(x f y =的图象是中心对称图形
C.若0x 是)(x f 的极小值点,则)(x f 在区间()0,x ∞-单调递减
D.若0x 是)(x f 的极值点,则0)(0'
=x f
【解析】： 三次项系数为正，且0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间()0,x ∞-上先增后减，选C 。

②不含参。

『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的二次（因式）函数。

1.(高考题)函数32
()31f x x x =-+是减函数的区间为 ( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2) 【解析】：x x x f 63)(2
'
-=，当()2,0∈x 时，)(x f 单调递减，选D 。

2.(高考题)设2
()(1)x f x e ax x =++，且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值，并讨论
()f x 的单调性。

【解析】：()[]
212)(2
'
+++=x a ax e x f x
，0)1('
=f ，得1-=a ；∴(
)
2)(2
'
+--=x x e x f x
=()()12-+-x x e x
，两根分别为2-，1；开口向下，当()2,-∞-∈x ，()+∞,1时，)(x f 单调递减，当
()1,2-∈x 时，)(x f 单调递增。

③一次项系数或常数含参
『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的二次（因式）函数，讨论参数，若能分解因式（十字相乘），则利用分解因式求根，若两根大小不确定，则根据两根的大小（分=、>、<三种情况）进行讨论，若不能分解因式，则讨论判别式（分0≤∆、0>∆两种情况）进行讨论。

1.(高考题)已知函数3
2
()1f x x ax x =+++，讨论函数()f x 的单调区间。

【解析】：123)(2
'
++=ax x x f ，不能分解因式，1242-=∆a ；
①当[]
3,3-∈a 时，)(x f 单调递增；
②当
()(
)
+∞
-∞-∈,33,
a 时，
3
3
22
,1-±-=
a a x ，当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---∞-∈33,
2a a x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+-,332a a 时，)(x f 单调递增，当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-----∈33,3322a a a a x 时，)(x f 单调递减。

2.(2020年新课标全国卷III20)已知函数32()f x x kx k =-+。

（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 【解析】：（1）()k x x f -=2
'
3。

①当0≤k 时，()0'
≥x f ，()x f 在R 上单调递增；
②当0>k 时，令()0'
=x f ，得33k x ±=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈33,k x 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,33k
时，()0'>x f ；()x f 单调递增；当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈33,33k k x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减；只需033>⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-k f ，033<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛k f ，解得274<
k ，k 的取值范围为⎪⎭
⎫
⎝⎛2740，。

④二次项系数含参
『秒杀策略』：求导、整理、确定影响导函数符号的二次（因式）函数，讨论参数，一般分二次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论，然后看若能分解因式（十字相乘），则利用分解因式求根，若两根大小不确定，则根据两根的大小（分=、>、<三种情况）进行讨论，若不能分解因式，则讨论判别式（分0≤∆、
0>∆两种情况）进行讨论。

1.(高考题)已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,m n R ∈,0m ≠。

（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求()f x 的单调区间。

【解析】:（1）n x m mx x f ++-=)1(63)(2
'
，063)1('
=--=m n f ，63+=∴m n 。

（2）()()[]21363)1(63)(2
'
+--=+++-=m mx x m x m mx x f ，两根分别是1，m
2
1+
； ①当0>m 时，开口向上，121>+
m ，∴当()1,∞-∈x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,21m 时，)(x f 单调递增，当⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∈m x 21,1
时，)(x f 单调递减。

②当0<m 时，开口向下，121<+
m ，∴当()1,∞-∈x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,21m 时，)(x f 单调递减，当⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∈m x 21,1
时，)(x f 单调递增。

2.(2018年北京高考题)设函数()()23132e x
f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦。

（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ；
（2）讨论)(x f 的单调性,若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围。

【解析】:（1）()[]
11)(2
'
++-=x a ax e x f x
，0)2('
=f ，得2
1
=
a ； （2）()[]
11)(2
'
++-=x a ax e x f x
=()()11--x ax e x
，
①当0=a 时，导数为一次函数型，当()1,∞-∈x 时，)(x f 单调递增，当()+∞∈,1x 时，)(x f 单调递减。

)1(f 是极大值 ；
②当0>a 时，开口向上，两根分别为
a
1
，1；两根大小不确定， i.当1>a 时，a 11>
，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈a x 1,，()+∞,1时，)(x f 单调递增，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈1,1a x 时，)(x f 单调递减，
)1(f 是极小值；
ii.当1=a 时，)(x f 单调递增，无极值 ；
iii.当10<<a 时，a 11<
，当()1,∞-∈x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a 时，)(x f 单调递增，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈a x 1,1时，)(x f 单调递 减，)1(f 是极大值；
③当0<a 时，开口向下，a 11>
，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈a x 1,，()+∞,1时，)(x f 单调递减，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈1,1a x 时，)(x f 单
调递增，)1(f 是极大值；综上可知1>a 。

【题型3】：导数为伪（定义域）．．．．．．一次型：主要为)(ln x f x +（)(x f 为一次函数）型。

①不含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的次次（因式）函数。

1.(高考题改编)讨论函数1ln )(+-=x x x f 的单调性。

【解析】：()0111)('
>-=
-=
x x
x
x x f ，导函数的符号由一次函数1+-=x y 确定，当10<<x 时)(x f 单调递增，当1>x 时)(x f 单调递减。

②常数含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的一次（因式）函数，讨论参数（但注意参数与定义域端点比较是讨论分界点）。

1.(高考题改编)讨论函数x a x x f ln 1)(--=的单调性。

【解析】：()01)('
>-=
-
=x x
a
x x a x f ，导函数的符号由一次函数a x y -=确定， ①当0≤a 时，)(x f 在()+∞∈,0x 上单调递增；
②当0>a 时，当()a x ,0∈时，)(x f 单调递减，当()+∞∈,a x 时，)(x f 单调递增。

③一次项系数含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的一次（因式）函数，讨论参数，一般分一次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论（但注意每种情况与定义域端点比较是讨论新的分界点）。

1.(高考题改编)讨论函数x ax x f ln 1)(--=的单调性。

【解析】:()01
1)('
>-=
-
=x x
ax x a x f ，导函数的符号由一次函数1-=ax y 确定， ①当0≤a 时，)(x f 在()
+∞∈,0x 上单调递减；
②当0>a 时，1-=ax y 与x 轴交点是a x 1=
，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，)(x f 单调递减，当⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1a x 时，)(x f 单调递增。

【题型4】：导数为伪（定义域）二．．．．．．．次型：主要为)(ln x f x +（)(x f 为二次函数）型（考题频率最高） ①不含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的二次（因式）函数，若能分解因式，要写为因式分解形式，确定某因式是否在定义域范围内容符号确定，若确定，则转化为一次函数型。

1.(2012年辽宁卷)函数x x y ln 2
12
-=
的单调递减区间为 ( ) A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.()+∞,0
【解析】:()()x
x x x x x x x f 1111)(2'
-+=-=-=，导函数的符号由一次函数1-=x y 确定，当()1,0∈x 时， )(x f 单调递减，选B 。

②一次项或常数含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的二次（因式）函数，讨论参数，若能分解因式（十字相乘），要写为因式分解形式，确定某因式是否在定义域范围内容符号确定，若确定，则转化为一次函数型。

否则利用分解因式求出两根，若两根大小不确定，则根据两根的大小（分=、>、<三种情况）进行讨论，不论两根大小确定与否，必须讨论两根与定义域端点的大小，若不能分解因式，则讨论判别式（分0≤∆、0>∆两种情况）进行讨论，但亦注意在定义域范围内讨论。

1.(2011年辽宁卷)讨论函数x a ax x x f )2(ln )(2
-+-=的单调性。

【解析】:()()()()01121
22221)(2'
>-+-=+-+-=
-+-=x x
ax x x x a ax a ax x x f ，导函数的符号由一次
函数1+-=ax y 确定。

①当0≤a 时，)(x f 在()+∞∈,0x 上单调递减；
②当0>a 时，1+-=ax y 与x 轴交点是a x 1=
，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，)(x f 单调递增，当⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈,1a x 时，)(x f 单调递减。

2.(2009年辽宁卷改编)讨论函数()x a ax x x f ln 12
1)(2
-+-=
的单调性。

【解析】:()()()01111)(2'
>-+-=-+-=-+-=x x
a x x x a ax x x a a x x f 。

①当1≤a 时，导函数的符号由一次函数1-=x y 确定，当()1,0∈x 时，)(x f 单调递减，当()+∞∈,1x 时，
)(x f
单调递增；
②当1>a 时，导函数的符号由二次函数()()a x x y -+-=11确定，两根分别为：1，1-a ， i.当2>a 时，11>-a ，当()1,0∈x ，⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,1a 时，)(x f 单调递增，当⎪⎭
⎫
⎝⎛a 1,1时，)(x f 单调递减； ii.当2=a 时，)(x f 在()+∞∈,0x 上单调递增；
iii.当21<<a 时，110<-<a ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,
0，()+∞,1时，)(x f 单调递增，当⎪⎭
⎫
⎝⎛11，
a 时，)(x f 单调递减。

③二次项系数含参。

『秒杀策略』：求导、整理（主要是通分）、确定影响导函数符号的二次（因式）函数，讨论参数，一般分二次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论，若能分解因式（十字相乘），要写为因式分解形式，确定某因式是否在定义域范围内容符号确定，若确定，则转化为一次函数型。

否则利用分解因式求出两根，
若两根大小不确定，则根据两根的大小（分=、>、<三种情况）进行讨论，不论两根大小确定与否，必须讨论两根与定义域端点的大小，若不能分解因式，则讨论判别式（分0≤∆、0>∆两种情况）进行讨论，但亦注意在定义域范围内讨论。

1.(2010年辽宁高考试题改编)讨论函数.1ln )1()(2
+++=ax x a x f 的单调性。

【解析】:()()01221)(2'
>++=++=x x
a ax ax x a x f ，，导函数的符号由函数()122
++=a ax y 确定，
①当0≥a 时，)(x f 在()+∞∈,0x 上单调递增； ②当1-≤a 时，)(x f 在()+∞∈,0x 上单调递减；
③当10->>a 时，开口向下，两根为：a a 21+-
-（舍去），a a 21+-，∴当a
a x 21
0+-<<时，)(x f 单调递增，当a
a x 21
+-
>时，)(x f 单调递减。

【题型5】：导数为纯指数、对数、三角型。

①不含参数。

『秒杀策略』：求导、转化为指数、对数、三角函数初等函数研究。

1.(高考题改编)函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 。

【解析】：()01ln )('
>+=x x x f ，当e x 1=
时0)('
=x f ，∴当e x 10<<时，)(x f 单调递减，当e
x 1>时， )(x f 单调递增。

2.(高考题改编)讨论函数x
x
x f ln )(=
的单调性，几何意义，大致图象。

【解析】：()0ln 1)(2
'
>-=
x x
x
x f ，导函数的符号由函数x y ln 1-=确定，当e x =时0)('=x f ，∴当e x <<0时，)(x f 单调递增，当e x >时，)(x f 单调递减。

几何意义：x y ln =图象上的点()x x ln ,与()00，
连线的斜率。

3.(2019年高考题天津卷)已知R a ∈，设函数()⎩⎨
⎧>-≤+-=1
,ln 1
,222x x a x x a ax x x f ，若关于x 的不等式()0≥x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围为 ( )
A.[]0,1
B.[]0,2
C.[]
0,e D.[]1,e
【解析】：分离参数法：①0222
≥+-a ax x (1≤x )恒成立 ，()122
-≥x a x ，当1=x 时R a ∈，当1≠x 时，
()()()211111121122
2+-+-=-+-+-=-≥x x x x x x x a ，而()021
11≤+-+-x x ，0≥a ，
②0ln ≥-x a x 恒 成立，即x x a ln ≤
，而e x
x
≥ln ，即e a ≤，e a ≤≤0，选C 。

4.(2021年模拟题精选)已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为 （ ） A ．e
B
C ．1
e D ．1
【解析】：21
12x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <，构造函数()ln x
f x x
=，在()0,m 上为增函数，
()2
1ln 00e x
f x x x >⇒'-=
<<，m 的最大值为e ，选A 。

5.(2020年模拟题精选)已知函数x
x
x f ln )(=。

（1）试说明()f x 的单调性；
（2）试比较2021log 2020与2020
2021
的大小。

【解析】:（1）同上； （2）构造函数x
x
x f ln )(=
，可知当e x <<0时，)(x f 单调递增，当e x >时，)(x f 单调递减。

即
20212021ln 20202020ln >，即
2021log 2020
ln 2021
ln 202020212020=>。

6.(高考题改编)讨论函数1)(--=x e x f x
的单调性。

【解析】:1)('
-=x
e x
f ，当0>x 时，0)('
>x f ，)(x f 单调递增，当0<x 时，0)('
<x f ，)(x f 单调
递减。

②含参数。

『秒杀策略』：求导、讨论指数、对数、三角函数与x 轴位置。

1.(2012年新课标全国卷改编)讨论函数2)(--=ax e x f x
的单调区间。

【解析】:a e x f x
-=)('，0>x e ， ①当0≤a 时，)(x f 在R 上单调递增；
②当0>a 时，当a x ln =时0)('
=x f ，∴当a x ln <时，)(x f 单调递减，当a x ln >时，)(x f 单调递增。

【题型6】：导数为超越函数可分解因式型（每个因式是初等函数）。

『秒杀策略』：求导、分解因式、对每个因式（初等函数）进行讨论。

1.(2016年新课标全国卷I21改编)讨论函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-的单调性。

【解析】:()()()()a e x x a x e x f x x 21121)('+-=-+-=，导函数的符号由函数1-=x y 和a e y x 2+=（含参数）确定。

①当0≥a 时，02>+=a e y x
，导函数的符号由函数1-=x y 确定，∴当1<x 时，)(x f 单调递减，当1>x 时，)(x f 单调递增；
②当0<a 时，0)('
=x f 的两根分别是：1，()a 2ln -，可看作开口向上的二次函数，两根大小不确定，所 以由两根大小分三种情况讨论。

i.当2
0e a ->>时，()12ln <-a ，当()()a x 2ln ,-∞-∈，()+∞,1时，)(x f 单调递增，当()()1,2ln a x -∈ 时，)(x f 单调递减；
ii.当2
e a -=时，)(x
f 在R 上单调递增； iii.当2e a -
<时，()12ln >-a ，当()1,∞-∈x ，()()+∞-,2ln a 时，)(x f 单调递增，当()()a x 2ln 1-∈，
时，)(x f 单调递减。

【题型7】：导数为超越函数（能代特值）型。

『秒杀策略』：求导、确定是超越函数、代入特值（一般情况0→→x e x
，1ln →→x x ），验证导数是否等于0，若是则特值是导数符号的分界点，然后设导函数为新函数，再求导，依此进行，一直到导数不超越或能确定符号或能确定单调性终止，最后逐级逆推到原函数，确定原函数的单调性。

1.(高考题改编)讨论函数x
x x f sin )(=()()π,0∈x 的单调性，几何意义，大致图象。

【解析】:2
'sin cos )(x x x x x f -=，导函数的符号由函数x x x y sin cos -=确定，且是超越函数，当0=x 时，0=y ，设x x x x g sin cos )(-=，则x x x g sin )('-=0<（符号确定）
，∴)(x g 在()π,0∈x 上单调递增，0)0()(=>∴g x g ，即0)('>x f ，)(x f 在()π,0∈x 上单调递增。

几何意义：x y sin =图象上的点()x x sin ,与()00，
连线的斜率。

2.(2015年新课标全国卷II21改编)讨论函数mx x e
x f mx -+=2)(的单调性。

【解析】:m x me x f mx -+=2)('（超越函数），当0=x 时，)('x f 0=，设m x me x f x g mx -+==2)()('，则02)(2'>+=mx e m x g ，∴)(x g 在R 上单调递增，0)0('=f ，∴当0<x 时，0)('<x f ，当0>x 时，0)('>x f ，∴当0<x 时，)(x f 单调递减，当0>x 时，)(x f 单调递增。

3.(2020年新课标全国卷II21)已知函数()1ln 2+=x x f 。

（1）若()c x x f +≤2，求c 的取值范围；
（2）设0>a 时，讨论函数()()()a
x a f x f x g --=的单调性。

【解析】：（1）分离参数法：只需()()max 2x x f c -≥，令()()12ln 22+-=-=x x x x f x T ，()()x
x x x T -=-=1222'()0>x ，导数为伪一次函数型，当()1,0∈x 时，()x T 单调递增；当()∞+∈，1x 时，()x T 单调递减。

()()11max -==T x T ，即1-≥c 。

（2）()()()a x a
x a x x g ≠--=ln ln 2，()()2'ln ln 1a x a x x a x g -+--=，设()a x x a x h ln ln 1+--=，()0=a h ，导数为超越函数可代特值型，()22'1x
x a x x a x h -=-=，当()a x ,0∈时，()x h 单调递增；当()∞+∈，a x 时，()x h 单调递减。

()()0max =<a h x h ，即()0'<x g ，即()x g 在()a x ,0∈，()∞+∈，a x 单调递减。

【题型8】：导数为超越函数（不能代特值）型。

『秒杀策略』：求导、确定是超越函数且不能代入特值 、然后设导函数为新函数，再求导，依此进行，一直到导数不超越或能确定符号或能确定单调性终止，最后逐级逆推到原函数，确定原函数的单调性。

1.(高考题)设函数bx xe
x f x a +=-)(，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为()41+-=x e y 。

（1）求b a ,的值；
（2）求()f x 的单调区间。

【解析】:（1）()b x e x f x a +-=-1)('，1)2(2'-=+-=-e b e f a ，2222)2(2+=+=-e b e f a ，得2=a ，e b =，ex xe x f x +=-2)(；
（2）()e x e x f x +-=-1)(2'，设()e x e x f x g x +-==-1)()(2'，则()2)('2-=-x e x g x ，∴当2<x 时，0)('<x g ，当2>x 时，0)('>x g ，∴当2<x 时，)('x f 单调递减，当2>x 时，)('x f 单调递增，01)2()('min '>-==∴e f x f ，0)('>∴x f ，∴)(x f 在R 上单调递增。