2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案北师大版必修22018082

6.1垂直关系的判定
学习目标 1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点).
知识点一直线与平面垂直的判定定理
文字
语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号
l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝P⇒l⊥α
语言
图形
语言
【预习评价】
(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？
提示用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.
(2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
提示不变，90°.
(3)下列说法中正确的个数是()
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确的是③④，故选B.
答案 B
知识点二二面角
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半概念
平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作
二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.
图示
以二面角的棱上任一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，文字
这两条射线所成的角叫作二面角的平面角
图示
平
面
角符号OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围0°≤θ≤180°
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这规定
个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角
棱为l、面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β
内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q.
记法
【预习评价】
(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
提示无关.如图，OA⊥l，OB⊥l，O′A′⊥l，O′B′⊥l，根据等角定
理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位
置无关，只与二面角的大小有关.
(2)平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
提示二面角的平面角.
知识点三平面与平面垂直
1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作α⊥β.
2.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.
3.平面与平面垂直的判定定理
文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
图形语言
符号语言l⊥α，lβ⇒α⊥β
【预习评价】
(1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直. 当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
提示都是垂直.
(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
提示不一定.平行，相交，垂直都有可能.
(3)已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()
A.有1个
B.有2个
C.有无数个
D.不存在
解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
答案 C
题型一线面垂直的判定
【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是
⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
证明∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
规律方法证明线面垂直的方法：
(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交
直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一
条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
【训练1】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
题型二面面垂直的判定
【例2】如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA⊥圆O所在的平面A，F⊥PC 于F，求证：平面AEF⊥平面PBC.
证明因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
而AF平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.
又因为AF平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
规律方法 1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经
过另一个平面的垂线，本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些.
2.证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角.
【训练2】已知三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面
AE AF
BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1).
AC AD
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
(1)证明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平
面ABC.
AE AF
∵＝＝λ(0<λ<1)，
AC AD
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC.
故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解由(1)，得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.
∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝2.
又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，
∴AB＝6，AC＝7，
AB·BC42 6 7
∴BE＝＝，∴AE＝，
AC7 7
AE 6
∴λ＝＝.
AC7
6
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
7
【探究1】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.。