第07讲 控制系统的数学模型及其相互转换

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4. 状态空间表达式 设线性定常连续系统的状态空间表达式为
& x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
式中 A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r : : : : 如果传递函数（ 各元素为严格真有理分式， 如果传递函数（阵）各元素为严格真有理分式， 则D＝0，此时上式可写为 ＝ ，
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例 已知系统传递函数为 5( s + 20) G ( s) = s ( s + 4.6)( s + 1) 利用MATLAB将上述模型表示出来。 将上述模型表示出来。 利用 将上述模型表示出来 解：>>k=5;z=-20;p=[0;-4.6;-1]; >>sys=zpk(z,p,k) 运行结果为： 运行结果为： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------s (s+4.6) (s+1)
printsys：显示 ： 或打印系统
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当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘 积表示时，它可由MATLAB提供的多项式乘法运算 积表示时，它可由 提供的多项式乘法运算 函数conv( 来处理， 函数 conv( ) 来处理 ， 以便获得分子和分母多项式 系数向量， 系数向量，此函数的调用格式为 c=conv(a,b) 其中： 分别为由两个多项式系数构成的向量， 其中：a和b分别为由两个多项式系数构成的向量， 多项式的乘积多项式系数向量。 而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv( ) 函数的调用是允许多级嵌套的。 函数的调用是允许多级嵌套的。
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对具有r个输入和m个输出的多变量系统， 对具有r 个输入和m个输出的多变量系统， 可把m 的传递函数矩阵G(s)写成和单变量 可把 m×r 的传递函数矩阵 写成和单变量 系统传递函数相类似的形式， 系统传递函数相类似的形式，即
式中： 均为m 实常数矩阵， 式中：B0,B1,…,Bn均为m×r 实常数矩阵，分 母多项式为该传递函数矩阵的特征多项式。 母多项式为该传递函数矩阵的特征多项式。
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控制系统工具箱中， 在MATLAB控制系统工具箱中，提供了 控制系统工具箱中 表示单输入多输出系统的表示方法， 单输入多输出系统的表示方法 表示单输入多输出系统的表示方法，即 num=[B0 B1 … Bn]; den=[1 a1 a2 … an] 其中：分子系数包含在矩阵num中，num行数 其中： 分子系数包含在矩阵num中 num行数 num 与输出y的维数一致 每行对应一个输出， 的维数一致， 与输出 的维数一致 ， 每行对应一个输出 ， den是行向量 是行向量, den是行向量 为传递函数矩阵公分母多项式 系数。 系数。
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例2-3 对于单输入多输出系统
则可将其用下列MATLAB语句表示 解 则可将其用下列 语句表示 >>num=[0 0 3 2;1 0 2 5];den=[3 5 2 1]; >>printsys(num,den) num(1)/den = 3s+2 ----------------------3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1 num(2)/den = s^3 + 2 s + 5 ----------------------3 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 1
j =1 n i=1
∏(s − z j )
m
式中： (j=1 (i=1 ,n)称 式中 ： zj(j=1,2,…,m) 和 pi(i=1,2,…,n) 称 ,m) ,n) 为系统的零点和极点， 为系统的零点和极点，它们既可以为实数又 可以为复数， 称为系统的增益。 可以为复数，而K称为系统的增益。 称为系统的增益
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在线性定常系统（连续系统、离散系统） 在线性定常系统（连续系统、离散系统） 理论中，一般常用的数学模型形式有： 理论中，一般常用的数学模型形式有： 传递函数模型（系统的外部模型） 传递函数模型（系统的外部模型） 状态空间模型（系统的内部模型） 状态空间模型（系统的内部模型） 零极点增益模型 部分分式模型 这些模型之间都有着内在的联系， 这些模型之间都有着内在的联系，可以 相互进行转换。 相互进行转换。
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为了对系统的性能进行分析首先要建立 其数学模型 ，在MATLAB中提供了四种数 中提供了四种数 学模型描述形式： 学模型描述形式： （1）传递函数模型tf( ) 传递函数模型tf( （2）零极点增益模型zpk( ) 零极点增益模型zpk( （3）状态空间模型ss( ) 状态空间模型ss( （4）部分分式模型residue( ) 部分分式模型residue(
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本章内容
(1) 利用 利用MATLAB描述控制系统中常见的几种数学 描述控制系统中常见的几种数学 模型； 模型； (2) 利用 利用MATLAB实现任意数学模型之间的相互转 实现任意数学模型之间的相互转 换； (3) 利用 利用MATLAB求解经过串联、并联和反馈连接 求解经过串联、 求解经过串联 后的系统模型； 后的系统模型； (4) 利用 利用MATLAB获取一些典型系统的模型； 获取一些典型系统的模型； 获取一些典型系统的模型 (5) 利用 利用MATLAB实现连续系统的离散化和离散系 实现连续系统的离散化和离散系 统的连续化； 统的连续化； (6) 利用 利用MATLAB求取系统的特性函数。 求取系统的特性函数。 求取系统的特性函数
3s + 2 s3 + 2s + 5 G(s) = 3 2 3s + 5s + 2s +1
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2. 零极点增益形式 单输入单输出系统的零极点模型可表示 为
(s − z1)(s − z2 )L(s − zm ) =K G(s) = K (s − p1)(s − p2 )L(s − pn ) ∏(s − pi )
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den=[1 a1 a2 … an]
Y(s) 6s3 +12s2 + 6s +10 例2-1 若给定系统的传递函数为 G(s) = = 4 U(s) s + 2s3 + 3s2 + s +1
可以将其用下列MATLAB语句表示 解 可以将其用下列 语句表示 >>num=[6 12 6 10];den=[1 2 3 1 1]; >>printsys(num,den) num/den = 6 s^3 + 12 s^2 + 6 s + 10 ---------------------------s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s + 1 >>sys=tf(num,den) Transfer function: 6 s^3 + 12 s^2 + 6 s + 10 --------------------------s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s + 1
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MATLAB工具箱中的函数 poly( ) 和roots( ) 工具箱中的函数 可用来实现多项式和零极点间的转换， 可用来实现多项式和零极点间的转换，例如在命令 窗口中进行如下操作可实现互相转换。 窗口中进行如下操作可实现互相转换。 >>P=[1 3 5 2]; >>R=roots(P) R= -1.2267+1.4677i -1.2267-1.4677i -0.5466 >>P1=poly(R) P1= 1.0000 3.0000 5.0000 2.0000 16
23表21数学模型转换函数及其功能函数名函数功能ss2tf将系统状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp将系统状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss将系统传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp将系统传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss将系统零极点增益模型换为状态空间模型zp2tf零极点增益模型换为传递函数模型residue将传递函数形式与部分分式形式的数学模型相互转换的函数24如果系统的状态空间表达式为
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2.1 线性系统数学模型的基本描述 方法
1. 传递函数
b0sm + b1sm−1 +L+ bm Y(s) G(s) = = n n−1 U(s) s + a1s +L+ an
传递函数在MATLAB下可以方便的由其分子和 下可以方便的由其分子和 传递函数在 分母多项式系数所构成的两个向量唯一确定出来。 分母多项式系数所构成的两个向量唯一确定出来。 即 num=[b0 b1 … bm]; sys=tf(num,den)
3. 部分分式形式 传递函数也可表示成部分分式或留数形式， 传递函数也可表示成部分分式或留数形式，即 n ri G(s) = ∑ + h(s) i=1 s − pi 式 中 ： pi(i=1,2,…,n) 为 该 系 统 的 n 个 极 点 ， ri (i=1,2,…,n)是对应各极点的留数； h(s)则表示传递 是对应各极点的留数； 是对应各极点的留数 则表示传递 函数分子多项式除以分母多项式的余式。 函数分子多项式除以分母多项式的余式。 下它也可由系统的极点 在 MATLAB下它也可由系统的 极点 、 留数和 下它也可由系统的 极点、 余式系数所构成的向量唯一确定出来， 余式系数所构成的向量唯一确定出来，即 P=[p1;p2;…;pn];R=[r1;r2;…;rn]； ; ; ; ； H=[h0 h1 … hm-n]
第2章 控制系统的数学模型 章 及其转换
控制系统的数学模型在控制系统的研究 中有着相当重要的地位， 中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真 处理，首先应当知道系统的数学模型， 处理，首先应当知道系统的数学模型，然后 才可以对系统进行模拟。 才可以对系统进行模拟。 同样，如果知道了系统的模型， 同样，如果知道了系统的模型，才可以 在此基础上设计一个合适的控制器， 在此基础上设计一个合适的控制器，使得系 统响应达到预期的效果， 统响应达到预期的效果，从而符合工程实际 的需要。 的需要。
& x(t) = Ax(t) + Bx(t) y(t) = Cx(t)
它们可分别简记为Σ(A,B,C,D) 和 Σ(A,B,C系统的状态空间表达式在MATLAB下可以用一 下可以用一 系统的状态空间表达式在 个矩阵组Σ(A,B,C,D) Σ(A,B,C)来唯一确定 Σ(A,B,C,D)和 来唯一确定。 个矩阵组Σ(A,B,C,D)和Σ(A,B,C)来唯一确定。 用函数ss( )来建立控制系统的状态空间模型 来建立控制系统的状态空间模型， 用函数ss( )来建立控制系统的状态空间模型， )函数的调用格式为 函数的调用格式为： ss( )函数的调用格式为： sys=ss(a,b,c,d) 函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模 函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模 sys 函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A a,b,c,d分别对应于系统的 型。函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A，B， 参数矩阵。 C，D参数矩阵。
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例2-2 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来。 将上述模型表示出来。 利用 将上述模型表示出来 命令为： 解：其MATLAB命令为： 命令为 >>num=7*[2,3]; >>den=conv(conv(conv([1,0,0,0],[3,1]),conv([1,2],[1,2])),[ 5,0,3,8]); >>sys=tf(num,den) 运行结果： 运行结果： Transfer function: 14 s + 21 ----------------------------------------------------------------------------15s^9+65s^8+89s^7+83 s^6 +152 s^5 +140 s^4 + 32 s^3 或 >>den=conv([1 0 0 0],conv([3 1],conv([1 2],conv([1 2],[5 0 3 8]))));
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下零极点增益模型可以由增益K和 在 MATLAB下零极点增益模型可以由增益 和 下零极点增益模型可以由增益 极点所构成的列向量唯一确定出来。 列向量唯一确定出来 零、极点所构成的列向量唯一确定出来。即 Z=[z1;z2;…;zm]; P=[p1;p2;…;pn] sys=zpk(z,p,k) 对于单输入多输出系统，列向量 中储存为系 对于单输入多输出系统，列向量P中储存为系 统的极点；零点储存在矩阵Z的列中 Z的列数等于 统的极点；零点储存在矩阵 的列中, 的列数等于 的列中 输出向量的维数，每列对应一个输出， 输出向量的维数，每列对应一个输出，对应增益则 在列向量K中 在列向量 中。