全等三角形基础练习

全等三角形
一、全等三角形知识梳理:
全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形；
全等三角形的性质：全等三角形对应边；对应角相等；对应边上的中线相等；对应边上的高相等；对应角的平分线相等.
三角形全等的条件：（1）SSS; (2) SAS; (3) ASA; (4) AAS; (5) HL
两个三角形不全等的情况：（1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形；
（2）有三个角对应相等的两个三角形.
全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫全等变换.平移、翻折、旋转前后的图形全等，具有全等的所有性质.
（1）平移变换：把图形沿某直线平行移动.
（2）对称变换：将图形沿直线翻着1800.
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.
二、角平分线：
角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上.
三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等.
三、几何证明的一般步骤：
1. 根据题意，画出图形；
2. 根据题设、结论、，结合图形，写出已知、求证.
3. 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
考点分析
1. 全等的概念和性质；
2．三角形全等的条件：只给出三角形三角三边六个条件中的一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.
3. 全等三角形的利用：
证明角相等：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等，内错角相等；（4）角平分线的定义；（5）等式性质；（6）全等三角形的对应角相等；（7）等边对等角. 证明线段线段：（1）中点定义；（2）等式性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）等角对等边；（5）角平分线的性质；（6）中垂线性质。

证明垂直的方法：（1）证明两直线夹角等于900；（2）证明邻补角相等；（3）若三角形的两锐互余，则第三个角是直角；（4）垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线；（5）证明该角所在的三角
形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线互相垂直.
证明一条线段等于另外两条线段的和：采用截长补短法. （1）截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；（2）补短法：延长较短线段和较长线段相等.
4. 角平分线的性质及相关证明；
（1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.
5. 中线的性质相关证明：
（1）取线段中点构造全等三有形；
（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形；
（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形(倍长中线).
类型1. 全等的概念和性质
笔记
∆BF
∆DBF
ADE
DF//
DE//AC
A D
O
例2. 如图，已知DEF ABC ∆≅∆，若DE AB =，︒=∠50B ，︒=∠70C ，︒=∠50E ，求D ∠的度数. 例3. 如图, ABC ∆≌BAD ∆,点A 和点B 、点C 和点D 分别是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=7cm ，
AD=4cm ，那么BC 的长为（ ）
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 不能确定
变式题：如图，ABC ∆≌CDA ∆,并且AB=CD ，那么下列结论错误的是（ ）
A. ∠1＝∠2
B. ∠D ＝∠B
C. CA=AC
D. AC=BC
例3图 变式题图
例4. 如图所示，ABC ∆绕顶点A 顺时针旋转（旋转角度不大于1800），若∠B ＝300，∠C ＝400，问： （1）顺时针旋转多少度时，旋转后的C B A ''∆的顶点C '与原ABC ∆的顶点B 和A
在同一条直线上？
（2）再继续旋转多少度时，C 、A 、C ''在同一条直线上（原ABC ∆是指开始位置）？
类型2. 三角形全等的条件： 1、“SSS ”
例1. 如图，点E 、F 在BC 上，AB=DC ，AF=DE,BE=CF.求证：ABF ∆≌CDA ∆.
变式题：已知点B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF, AC=DE,BE=CF.求证：∠A=∠D.
例2. 如图，AC=AD,BC=BD.求证：∠C=∠D.
例3. 如图，已知：AC ，BD 相交于O 点，且CD AB BD AC ==,.
求证：∠B=∠C.
D C B A B C
A D
12C C '
A
C 'B B '
A B F E D C (2) A B E F D C (3) A
B
F E C D (4) A D B E F C (1) A
D
B E C
F
D
C
A
提升练习：如图，已知：BF CE DF AE CD AB ===,,.
求证：（1）DE AF =;(2)AE ∥DF.
2、“SAS ”
例1. 在ABC ∆中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，求证：ABD ∆≌ACD ∆
例2. 如图，AB=AC,AD=AE,∠1＝∠2.求证：ABD ∆≌ACE ∆.
例3．如图，已知：BF DE DC AB BC AD ===,,. 求证：DF BE =.
【拓展提升】
1. 如图，已知： AO CO DO BO ==,，求证：OF OE =
2.如图，已知：AD AB =，CD CB =. 求证：BD AC ⊥. A A B C
D
E 12
A
F
D
B
C
E
3、“ASA （AAS ）”
例1. 由AB ⊥BD,ED ⊥BD,垂足分别为B 、D 点，点C 在BD 上，且BC=CD,点A 、C 、E 在同一条直线
上，求证：DE=AB.
例2. ABC ∆和DEF ∆中，∠A=500, ∠B=300,AB=10, ∠B=500, ∠F=1000,DE=10,求证：ABC ∆≌
DEF ∆
变式题：如图, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC,求证：AC=DB.
例3. 如图，在ΔAFD 和ΔCEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD=CB,(2)AF=CE,(3) ∠B=∠D ,(4) AD ∥BC.请用其中三个条件，余下一个作为结论，编一道数学题并写出解答过程.
例4. 如图，已知：CE BD ACE ABD DAE BAC =∠=∠∠=∠,,. 求证：AE AD =.
例5. 如图，两条直线AC,BD 相交于O ，BO=DO,AO=CO ，直线EF 过点O 且分别交AB 、CD 于点E,F ，求证：OE=OF
例6. 如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===. B AC A B C D A B E D
C G F
A
D B C
E
F D F C O
A E B
例7.如图，已知：BC AD //，21∠=∠，43∠=∠，直线DC 过E 点交AD 于D ，交BC 于C .
求证：AB BC AD =+.
提升练习：
1、如图，已知：21∠=∠，AE AD =.求证：OC OB =.
2. 如图，已知： AD 为ABC ∆的高，且BD AD =，F 为AD 上一点，连结BF 并延长交AC 于E ，FD CD =. 求证：AC BE ⊥
3. 如图所示：在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC= 90,E 是BC 的中点，EF ⊥AB,垂足为F ，且AB=DE.
（1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm ，求AC 的长.
4. 某人在河的一岸，要测河面一只船B 与码头A 距离，他的做法是：（1）在岸边确定一点C ，使C 与A 、B 在同一直线上，（2）在AC 的垂直方向画线段CD ，取其中点O ，（3）画DF ⊥CD ，使F 、O 、A 在同一直线上，（4）在线段DF 上找到一点E ，使E 与O 、B 共线.他说只要测出线段EF 的长就是船B 与码头A 的距离.他这样做有道理吗？为什么？
5. 如图，在△ABC 中，AC ⊥BC,AC=BC,D 为AB 上一点，AF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，BE ⊥CD 于E.求证：EF=BE —AF
4、“HL ”
例1. 如图，已知AB=CD ，DE ⊥AC,BF ⊥AC,DE=BF ，求证：AB ∥CD. C E B
A F
D A C B D
E F
O A C F D
E
B D E F C
例2. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD=CE ，DF ⊥BC 于点F,EG ⊥BC,于点G ，
且DF=EG.求证：BE=CD.
例3．如图，AB=AC,点D 、E 分别在AC 、AB 上，AG ⊥BD,AF ⊥CE,垂足分别为G 、F ，且AG=AF. 求
证：AD=AE.
【拓展提升】
1. 已知，如图，△ABC 和C B A '''∆都是锐角三角形，CD 、D C ''分别是高，且C A AC ''=,B A AB ''=,D C CD ''=.求证：△ABC ≌C B A '''∆.
2、如果△ABC 和C B A '''∆都是钝角三角形，其余条件不变，结论：“△ABC ≌C B A '''∆”还成立吗？
3、如图，已知：AM EM CN DN ===,E D ∠=∠. 求证：点B 是线段AC 的中点.
典型题型分析
巩固练习：
1. 如图，已知：.,CE BE AC AB ==求证：CD BD =.
A D
B
C A '
D 'B C '
B F G
C
D
E A B C A E D
F G
2. 如图，已知：.,,CF BE DE AC DF AB ===求证：DF AB //.
3. 如图，已知：D 、E 是BC 上的两点，且.,,BE CD AE AD AC AB ===求证：CAD BAE ∠=∠.
4．已知：在ABC ∆中，M 在BC 上，D 在AM 上，DC DB AC AB ==,（如图）求证：MC MB =
5. 如图所示，已知CD CB AD AB ==,，E 是AC 上一点. 求证：AED AEB ∠=∠.
6.已知：（如图）21,∠=∠∠=∠D A . 求证：DO AO =
7. 如图，已知：DE AB =，直线AE ，BD 相交于点C ，︒=∠+∠180D B ，DE AF //，交BD 于F . 求证：CD CF =.
8. 如图，已知：OC AO BC AD CD AB ===,,，EF 过点O .求证：OF OE =.
10. 如图，已知：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于C ， 求证：AF AE =.
11. 如图：AC ⊥BC,AD ⊥BD,AD=BC,CE ⊥AB,DF ⊥AB,垂足分别是E,F ，求证：CE=DF.
C D A
E F
B。