中考数学压轴试题复习第一部分专题六因动点产生的相切问题

（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP 是菱形时，圆D与直线AB恰好相切．
思路点拨
1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．
2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．
3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．
图文解析
（1）如图2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为．
3
3
4
y x
=+
所以直线AB//CD．
在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四边形ACDP总是平行四边形．
（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．
所以4－0.8t＝t．解得t＝．20 9
此时OD＝0.6t＝．所以BD＝＝．
4 3
3 -
作DE⊥AB于E．
在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．
因此OD＝DE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径．
所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）．
图2 图3 考点伸展
在本题情境下，点P运动到什么位置时，平行四边形ACDP的面积最大？
S平行四边形ACDP＝AC·DO＝＝＝．
43
(4)
55
t t
-⨯2
1212
+
255
t t
-2
125
()3
252
t
--+
当时，平行四边形ACDP的面积最大，最大值为3．
5
2 t=
此时点P是AB的中点（如图5）．
图4 图5
例 43 20__年湖南省__市中考第23题
如图1，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（如图1）；
（2）设∠AOB＝，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求的范围（如图2，直接写出答案）；αα
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长（如图3）．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A在圆上运动，可以体验到，当点A在直线AB与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB与圆有一个交点．还可以体验到，当AO⊥PM 时，NO、MQ是中位线，此时等腰三角形AOM的高MN是确定的．
思路点拨
1．过点B画圆O的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．
2．第（3）题发现AO//MQ很重要，进一步发现NO、MQ是中位线就可以计算了．
图文解析
（1）如图4，连结OA．
当线段AB所在的直线与圆O相切时，OA⊥AB，A为切点．
此时在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，所以AB＝，∠ABO＝30°．3
此时等边三角形ABC的高为，所以S△ABC＝．
3
3sin60
2
︒=
33
4
（2）0°≤≤60°．α
（3）如图5，连结MQ，那么∠PMQ＝90°．当AO⊥PM时，AO//MQ．
由于Q是OB的中点，所以，M是AB的中点．所以CM⊥AB．
1
2 MQ AO
=
由于O是PQ的中点，所以．所以．
1
2
NO MQ
=
111
244
N O M Q A O
===
如图6，连结MO．在Rt△OMN中，，MO＝1，所以MN2＝．
1
4
N O=
15
16
在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2＝．所以AM＝．
2
315243 ()
416162
+==
6
2
于是在Rt△CAM中，CM＝AM＝＝．3
6
3
2
⨯
32
2
图4 图5 图6
考点伸展
第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B画圆O的切线，切点为G．
如图8，弧上的每一个点（包括点G、Q）都是符合题意的点A，即线段AB与圆O只有一个
公共点（即A点）．G Q
如图9，弧上的每一个点A（不包括点Q）与点B连成的线段AB，与圆O都有两个交点A、M．G P
图7 图8 图9。