【5年高考3年模拟】(新课标版)2014年高考数学真题分类汇编 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系

§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系
考点直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2014某某,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
答案 D
3.(2014,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=
4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.
(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.
当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,
故直线AB的方程为x=±.
圆心O到直线AB的距离d=.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),
即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
圆心O到直线AB的距离d=.
又+2=4,t=-,
故d===.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
4.(2014某某,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为
B.已知|AB|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l 与该圆相切.求直线l的斜率.
解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.
所以椭圆的离心率e=.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).
由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上,
故+=1.②
由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-c,代入①得y0=,
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,
整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.
所以直线l的斜率为4+或4-.
5.(2014某某,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.
(1)求C1的方程;
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).
由题意知解得a2=1,b2=2,
故C1的方程为x2-=1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得=3,因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,
因此
由x1=my1+,x2=my2+,得
因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).
由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤
将①,②,③,④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.
6.(2014某某,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线
C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(2)解法一:由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(x P,y P),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得x P=,从而y P=,
∴点P的坐标为.
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.
7.(2014某某,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值X围.
解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
即=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则
由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③
1°若由②③解得k<-1或k>.
即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2°若或则由②③解得k∈或-≤k<0.
即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.
当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
3°若则由②③解得-1<k<-或0<k<.
即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
8.(2014某某,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(1)求C的方程;
(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
解析(1)由题意知F.
设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.
因为|FA|=|FD|,
由抛物线的定义知3+=,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
由=3,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)(i)由(1)知F(1,0),
设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),
因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,
由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).
故直线AB的斜率k AB=-.
因为直线l1和直线AB平行,
设直线l1的方程为y=-x+b,
代入抛物线方程得y2+y-=0,
由题意Δ=+=0,得b=-.
设E(x E,y E),则y E=-,x E=,
当≠4时,k AE==-=,
可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),
由=4x0,
整理可得y=(x-1),
直线AE恒过点F(1,0).
当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0), 所以直线AE过定点F(1,0).
(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),
所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2.
设直线AE的方程为x=my+1,
因为点A(x0,y0)在直线AE上,
故m=,
设B(x1,y1),
直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),
由于y0≠0,
可得x=-y+2+x0,
代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.
所以y0+y1=-,
可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,
所以点B到直线AE的距离为
d=
=
=4.
则△ABE的面积S=×4≥16,
当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.
所以△ABE的面积的最小值为16.。